Соболев С.К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах (2004) (1003962)
Текст из файла
Московский государственный технический университет киени Н,З. Баумана ф~~* МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Г-Т"'. а!и им. Н.Э. БАУМАНА ИССЛБДОВАНИБ И ПОСТРОБНИБ ! ПЛОСКИХ КРИВЫХ, ! ЗАДАННЫХ ПАРАМБТРИЧБСКИ И В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Методические указания к выполнению типового расчета Гес.т« аа .1 ) з нлл. Н Москва — '-'-': . 1669411 Соболев С.К. Исследование и построение плоских кривых„заданных параметрически и в полярных координатах 66 60 ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока ЩЩ666йй й $ Щей., ййййййй л ~вН С.К. СОБОЛЕВ, А.Т, ИЛЬИЧЕВ Издательство МГТУ им. НЭ.
Баумана 2004 УЦК 51728 ББК 22,161.1 С547 Рецензенты: СВ. Галкин, ЕИ. 7имокип 15ВН 5-7038-2443-5 УДК 517.28 ББК 22Л61.1 Сергей Коггп автииович Соболеп Андрей Теймуразоанч Ильичев Редактор Сиа Серебрякова Корректор ЛО Моп>о>пипа © МГГУ нм. П.Э. Баумана, 2004 1ЗВН 5-7038-2443-5 Соболев С. К., Ильичев А.Т. с547 Исследование н построение плоских кривых, заданных параметрически н а полярных координатах: Методкческис указания к выполнению типового расчета.
— М.. Изд-ео МГТУ им, Н.Э, Баумана, 2004. — 80 сц ил. В пособии подробно изложены методы исследования плоских кривых, заданных параметрнчески и е полярных координатах: определение положения кривой относительно координатных осей; выявление бесконечных ветвой и аснмптот, красных и асимптотнческих точен кривой; определенно оринтацин наса елъиого вектора и знака выпуклости; нахождение точек перегиба и возврата, верн|пи кривой, Солержнтся болыпое число разобранных примеров н графических иллюстраций, В конце пособия приведены задачи и упражнения для самостоятельного регцения и 30 вариантов типового раст.
чета: задача № 1 на исследование кривой, заданной парамегрически, № 2- кривой, заданной в полярных координатах, Пособие предназначено для студентов первого курса всех факультетов и, главным образом, факультета фундаментальных наук. Ия. 59. Табл. 12. Библиогр. 4 вазе, ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ> ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ И В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Методическио указания Подписано в печать 02.02.04.
<поймат 60х 84/16. Буыага офсетная. Печ. л. 5,0. Уел. печ, л. 4,б5, Уч.-изд. л, 4,53, Тираж 1ОО зкз. Изд. № 55, Заказ. ВЦ Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. ввкджние Наиболее общим способом задания кривой на декартовой плоскости является параметрическое представление кривой в виде пары функций х = х(е),1/ = р($)„где 1 — независимая переменная, называемая параметром. Обычное функциональное задание кривой, т, е.
задание ее в виде графика некоторой функции р = 1'(х), является частным случаем параметрического; х = $, р = />(8). ДРУгим альтернативным способом является задание кривой в полярных координатах т = т(уз). Методы исследования функций и построения их графикон подробно изложены во всех учебниках по дифференциальному исчислению. Построению же кривых, заданных параметрическн, в этих книгах отводится крайне мало места„а методы исследования и построения кривых в полярных координатах с помощью дифференциального исчисления отсутствуют вовсе, Настоящее пособие призвано восполнить этот пробел. В нем систематически излагаются методы исследования плоских кривых, заданных параметрически нли в полярных координатах, Затронуты такие аспекты, как расположение кривой относительно координатных осей, ее оси симметрии, асимптоты, вершины, направления > выпуклости и точки перегиба.
В конце пособия приведены задачи н упражнения для самостоятельного решения, а также 30 вариантов задач типового расчета для студентов 1-го курса факультета фундаментальных наук. Рис, 1 Рис, 2 х = х('Е) ( у= у(Е) ~ '=г(Е) =х(Е)1+у(Е)3, 1яВ х= хо+ аЕ Е С Н., у=ус+ "Е х =- хо+ ЕЕ сов 1 Е С И., у =- ус + ЕЕ вй~ Е 1, ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ Пусть х(Е) и у(Е) — две функции действительного аргумента Е, Тогда пара уравнений задает на плоскости некоторую линию Е, состоящую из всех точек вида М(Е) = М(х(Е)); у(Е)), когда Е пробегает все действительные значения, для которых существуют х(Е) и у(Е). Переменная Е называется параметром, уравнения (1) — паралееьчрическими уравненн.
ями кривой Е па плоскости, а функции х(Е) и у(Е) — ее коардинащными Функциялин Пример 1. а) Уравнения где ая + бз;е 11, задают на плоскости прямую, проходящую через точку Мс(хо~ уо) парвллслыю вектору пз(а, 6), см. рис. 1. б) Уравнения тле Л .- 11, задьчот на плоскости окружность радиуса Яс центром в точке Ме(з:о, уо), см. рнс.
2. С! Пару функций х(Е) и у(Е) можно рассматривать как одну жарнУ1а ФУнкцию скалярного аргумента Е: Тогда линия ь"„задаваемая уравнениями (1), является гадаграфаи атой вектор-функции, т, е. представляет собой геометрическое место концов вектора ОМ = г(Е), когда параметр Е пробегает все допустимые значения. Под областью определения пары функций х(Е) и у(Е) мы будем понимать множество .0 всех значений параметра Е, для которых существуют обе функции х(Е) и у(Е). Каждому значению параметра Е б Ел отвечает точка М(Е) кривой л", с координатами х(Е) и у(Е), а различным значениям параметра Еы Ез,..., Е„б Р отвечают точки Мм Мз,, М„кривой ь" (не обязательно различные), причем если обе функции х(е) и у(е) непрерывны на интервале (ол Е3), содержащем значения параметра Еы Ез,...,Е„, то соответствующие точки Мы Мз,,, М„расположены на кривой в том же порядке, что и числа Ег>..., Е,„. Кривые, заданные параметрическн, мы будем считать ариенаированными, причем направление на них соответствует возрастанию параметра Е (рис.
3). Рнс. 3 Рнс. 4 а г й гт гз Ф» гз,В Простейший способ построения кривой х = х(1), у = у(е) — «по точкам», Для зтого берут несколько значений параметра 1ы 1з,..., 1„(чем больше — тем лучше), вычисляют в ннх значения координатных функпий хг = хз(1г),уг = уг(гг),...,х„= = х„(1»), у„= у„(1„), затем на дека1тгову плоскость В.з наносят точки Мг(х~, уг),..., М„(х„; у„) и «плавно» последовательно соединяют их. Понятно, что если точек относительно немного, то могут бьггь упущены весьма важные качественные характеристики криаой, например вершины, лервгибы л псимшяоты.
1+ гз Пример 2. Построим «по сочкам» кривую х =- —, 1з 1з у = —, выбрав значения параметра 1, =- х1, х2 н хЗ, 12 Решение. Вычислим значения координатных функций х(1) и у(1) зшя выбранных значений 1: Последовательно соединив полученные точки Мт( — 2 аз, 3~), Мз(-14,'24), Мз(Р; 2), Ма(2', Р), Мз(24 — 14) и Ма(Зз(-2з) мы получим кривую, например, подобную представленной на рнс.4. Однако в действительности кривая имеет совсем другой вид, в частности, имеет асимптоты у = х и у = — х (см.
рис, 5), Приведем несколько известны раметрически (всюду а = сонм > 1. Трактриса; х = а1п(13 — ) + 2 (см. рис. б). Зае 2. Декартов лист: х = —, гз+ 1' 3. Циклоида (траектория точ щейся по прямой); х = а(1 — вша) 4, Эпициклоида (траектория т тяшейся внешним образом по окру к)1): Рис. 8 Рис, 9 Рис,7 ж = ай соа Ф вЂ” а сои Щ, у = айа1п$ — аа1пй, На рис. 9 представпена зпициклоида при Й = 4.
(2) (3) Рис. 10 х = айсов1+ асов(И), у = аде)п1 — аегп 21, Рис. 11 Рис, 12 1О 5. Гипсцинлоидв (траектория точки окружности радиуса а, катящейся внутренним образом по окружности радиуса 6 = ()с+ 1)а, й > О): В частности, нрн й = 3 получаем линию х = Засов(+ а сов 31 = 4а сов 1, ,,з у =- 3ае(п 1 — а е1н 31 = 4а ага 1, з которая нх|ывастся остяроидой (см. рис.
1О), 2. КРИВЫЕ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Напомним, что полярная система координата задается точкой 0 (называемой полюсам) и лучом, выходящим из пошоса (называемым лоляриой осью). Положение точки М в полярной системе координат задается двумя числами у и т, где (о — ориентированный угол между полярной осью и радиус-вектором ОМ, а т — расстояние между точками 0 и М. Отметим, что, по смыслу расстояния, всегда т > О и что точки Мт(~р, т) и Мз(<р + 2иц, т), где и Е Е, всегда совпадают. При рассмотрении на плоскости одновременно декартовой и полярной систем координат полюс О обычно совмещают с началом координат, а полярную ось — с осью абсцисс 0Х. Тогда декартовы координаты М(х; у) и полярные координаты М(зз, т) одной и той же точки М связаны соотношениями (рис. 11): х = тсое~р; у = та(пр, х +у =т; -=ей(о.
з з з, у х Если т( р) — некоторая функция, то уравнение т = т(ср) (4) задает в полярной системе координат некоторую линию,б, состоящую из всех точек вида М (р, т), где т = т(р) > О (рис. 12), я =- г (гр) сов ~р, ~ 1г = г~~р)а(п~р, ') Рис. 14 Ргге 13 12 Подставляя формулы (2) в уравнение (4) кривой Ю, получим уравнения этой кривой в виде Таким образом, задание кривой в полярной системе координат уравнением (4) можно рассматривать как частный случай параметрического задания этой кривой в декартовой системе координат в виде (5), причем г(гр) > О, где в роли параметра выступает угол гр между осью ОХ н радиус-вектором ОМ.
Кривые, заданные в полярных координатах, также проще всего строить «по тачкам», Для этого берут несколько значений угла гр, для которого г(гр) > 0: гры грз,, гр„, и вычисляют соответствующие значения радиуса гфрг), г (~рз),, г(у„), Затем в полярной системе координат строят точки Мг(1см г(р,)), т, е. из полюса проводят лучи, образующие с полярной осью углы <р;, и на этих лучах отмечают точки М;, отстоящие от полюса О на расстояние гг = георг), 1 =- 1,, и, и плавно последовательно соединяют их (рис. 13), Пример 3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
