Соболев С.К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах (2004), страница 7

Далее: х' = 0 при з1пг = О, т, е, при г = 0 и г = я-, р' = О прн соз 2г = О„т, е. при 21 = $ + Ьг, т. е, 1 = т и б = ф; 3 = 0 при сов з = О, т. е, при $ = — ", 42 а. Критические точки: Мг (1, О) при 1 = О, Мз( —; 1) прн 1 = —, 2' 4' ,Гг Згг Мз(0;О) при З = —, Мз(- —,-1) при 1 = — и Мз( — 1;О) при г = гг, а также симметричные им относительно оси ОХ точки; Л Зк к Л Мз(- — 1) при Г = — —, Мг(0; О) при 1 = --, Мз( —; -1) при 6 2' 2' 4 Составляем таблицу, Теперь строим кривую (рис,54). Это одна из так называемых кривьп Лиссажу. Точка Мз (О; 0) = Мг(0; 0) — единственная точка самопересечения, соответствующая значениям г = х-.

П 2' соа гр т, 2~(в(пЗ гр р' = 0 при р = з; Рис.54 1 1 т(я — р) = жг:~г 65 Построим далее несколько линий в полярных координатах, 1 Пример 24, Исследовать и построить кривую т = —. ~/згп р Решение. Кривая существует прн 0 < у < гг (при других значениях гр, когда также гйп гр > О, точки кривой повторяются в силу периодичности функции гйп у). Поскольку то кривая симметрична относительно луча у = з.

Кривая имеет две бесконечные ветви, соответствующие стремлениям гр -+ О+ и гр -> !г —, Проверим наличие асимптот: з(п ~р 1) при гр -+ О+: р = 1пп т( р) з(п(гр — О) = 1пп —, = 0; т-+с+ т-+О ~ гв(п гр зш гр 2)прнег-+ гг —: р = 11ш т(гр)вш(гр-к) = — 1!ш —, =О. т И~Г т-+ ь/з1п гр Равенствор= Овуравнениипрямойт з1п(гр-д) =розначает, что зта прямая проходит через полюс и образует с полярной осью угол д, Таким образом, луч гр = 0 (т, е, правая часть прямой и = О) является асимптотой ветви у -г О+, а луч гр = я (т, е. левая часть прямой р = О) — ветви гр — > гг —. Теперь найдем производные и критические точки; т'= Оприсоз р= О,т, е.при(с = "-, 1+ з(пз гр ж = г' созгр — т згпгр = — < 0 ! ьйпз гр при всех р; ! / соз гр р = т з1п~р+тсозу = —, У 2~/зБу' 2+сова Р з „, з 2 — 3соз гР 3 т" = , у(~р) = т — т т + 2(т ) 4~/Йпб гр 4з1п гр 2 !2 — О при соззег = —; т.

е. при (р = агссову — и при 3'' ' Чз !2 ~р = гг — агссоз~ —, Вычисляем полярные координаты критических точек: М (агссоз Я',,4!3), М (~; 1) и Мз(гг — агссоз ф,У3), или в декартовых координатах, Мг((у-);(у-)), Мз(0;1) и 'У'3 ' 73 ' М.(-('„("-) 1(~"-)) -~3 ~3 Составляем таблицу: Теперь строим кривую (рис, 55), () при,р = О, <р = гг и р = 2зк; р,', = т'в(п~Р + тсов~р = 2соа р+ 3 +савгр — 1 = (соа~р+ 1)(2созгр — 1); у' = 0 при у = а игр = зг; а = -сав р,.у(~о) = т' — т т" +2(т')з = 3(1+совр) > Одлявсех ,р,7(гр) = Опригр = О при сз= я. Итак, имеем следующие критические точки в полярных кооря 3 2я 1 3'2 ' 3'2 ипатах: Мг(0 2), Мз(-; -), Ма( —; -) и М4(я;0),атакжесимме- 27Г 1 я тричные им Ма( — —; — ) и Мв(--; 3/2), или в декартовых коарди- 3'2 3' 3 3з/3 1 ~~3 1 43 натах; Мг(2; О), Мз (-; — ), Мз ( — —; — ), М4(0; О), Ма(--; — ) и Ма( ), Точка М4(0 О), соответствующая р = я, асо 3 33.' '.

и а бая, так как х'(я) = и'(гг) = О. Составляем таблицу: Рис, 55 Пример 25. Исследовать и построить кривую т = 1+сов р(кардиаида), Рещение. Кривая всюду определена, так как т(гр) > 0 при всех ьо. Функция г (гр) непрерывная и периодическая с периодом 2я, поэтому кривая представляет собой замкнутую линию, охватывающую один раз полгос.

Поскольку функция т(гр) — четная, кривая симметрична относительно полярной оси, В силу сказанного, достаточно исследовать кривую на [О; гг), Функция т(Зз) — ограничена и поэтому бесконечных ветвей и асимптат нет. Найдем производные н критические точки: т' = — а1пу, т' = 0 при у = 0 и У Ф = я; х'(р) = тг соььз — т .)п р = — Игу(1+ 2 ' вгр), хг = 0 Для уточнения поведения кривой находим ее точки пересечения с осью ОУ, т.

е, при ~р = ~я/2 получаем т = 1. Кроме того, нужно определить коэффициент касательной в особой точке М4. Имеем: у', соя 2у+ сов ~р ~0~ й = йгп — = 1пп г-иг х' г-нг- в1п2ьз+в!пгр ~0~ -2 гйп 2у — гйп ~р = оп = О. г-+ ° — 2 сов 2гр — сав ~р Заметим, что И4 — точка возврата, являющаяся одновременно правой и ближней вершиной, Точек перегиба нет.

Наконец, строим кривую (рис. 56), это кардиоида. П Рис. Вб 1 бк = О при вшу = — — т. е, у = — — и у = — — ' У'(у) = т ' 'Р 2 6 6' 2(2 сов у+ 1) 1 ° в!пу+ т сову = (2+в)ну+сову)з' " 2 , у' = О при созу = --, Зи „4(сову+в)пу — в1пусову)+6 т. е, у = ~ —: т (у) 3 ' у (2+ з4пу+ сову)з 8 Г(у) = тз — т т" + 2(т) > Одля (2+ з)пу+ сову)з всех у. Получаем критические точки (в полярных координабл 2 Згг 21г 2 тах): М1(- —; 2 + — ), Мз( — —; 2 + Л), Мз( — — ) 2 + ) 6' «/3' 4' ' 3' ~/3' гг 2 М4(--; 2 — — ), 6' ~/3 ' Я ~- 27Г 2 Мз( —; 2 — ч'2), Ма( —; 2 — — ), или в декартовых координатах: 4' ' 3' ~/3' 1 И,(- /З вЂ” 1; -1 — — ), М,(-1 —,/2; -1 — /2), ~/3 ' 1 1 и,(-1- —;-~/з-1), и,(~/з-1; — -Ц, и, = ( /2-1; Л-1), ,/3' ' ' /з 1 Ме( — — 1; ~/3 — 1). Особых точек нет.

Л Составляем таблицу: Приме~ Зб. Исследовать и построить кривую т 2+ сову+ з)ну Решение. Поскольку ~зшу + совф < Л для всех у, то т(у) всюду определена и > О. Далее, т(у) имеет период 2гг, значит кривая — замкнутая линия, один раз ахвагывиощая полюс, Поскольку 2+ сову+ вшу > 2 — ~/2, функция т(у) ограничена, значит бесконечных ветвей и аснмптот нет. Найдем производные и критические точки (отвечающие значениям $ б (-гг, х)): 2(з)п у — соз у) Зя ~р = (,,з, т'(у) = О при Вур = 1, т, е.

у = —— + з1п у+ совр) г 2(2в)пу+ 1) иу = — гх(у) = т сову — т зшу =.— 4' (2+ вшу+ сову)з' где Рнс, 57 71 Точек перегиба нет. Для уточнения положения линии находим точки ее пересечения с осями ОХ и ОУ: с осью ОХ:т = 2/3 приор = Опт = 2 при у = ~х; 7Г к с осью ОУ: т = 2 при у = — — и т = 2/3 при ~р = —.

2 2 Получаем еще четыре точки: А(0; — 2), В(-,'0), С(0;-) и 2 2 17( — 2; 0), Вычисляем кривизну К(у) и находим главные вершины; 8(3 + 2 абп у + 2 соз ~р) т +(т) (2+ 31п~д+ собф)4 Ыз )! К()=, „,,),,„= (2+з1пу+соаср)з (й(4)) ~ 2,т2(3+2а1 р+2 р)з(з ~ 2,) (2+ $)з I хт й(1) = —, 4 = вшу+ соз у = ~/2 а!и ~у+ -), 3+2$ ' 4)' $ Е ( — ъ'2,ъ'2], Находим экстремумы кривизны, т. е.

наибольшее н наименьшее значения функции й(т) на отрезке ( — ~/2; ~/2): й'(1) =,,й'(4) = Оприз = -1и1= — 2 ~ [-Л; ~/2), 2(2 + $) (1 + 4) й'(г) ( О при $ ~ ( — 3/2; — 1) и й'(т) > 0 прн 1 > -1, й(-Л) = й(Л) = 2, й(-1) = 1, й(З) = г ри С = +Л, пппй(1) = 1 при $ = — 1. Следовательно, Км,„= 1 при $ = ~2 а1п(у+ — ) = ~ъ 2, т. е, при р = — и у = — —, К~м =— 4 * 4 4' " 4 прн у = х и у = — —. Таким образом„кривая имеет четыре главные вершины: точки 54а и Мз (максимум кривизны) н точки А н В (мнннмум кривизны).

Теперь строим кривую (рнс, 57), Фигура в высшей степени напоминает эллипс, И это действительно эллипс с одним из фокусов в полюсе. Более того, можно показать, что вообще линия т=, (С > О,П > О,Аз+За > 0)есть А соз у+ В а1п у+ С и л .~ В~ кривая второго порядка с зксцентрнситетом е = , т. е. эллипс (при е с 1), парабола (при е = 1) нлн одна ветвь гиперболы (при е > 1) с фокусом в полюсе. П 11.

УПРАЖНЕНИЯ И 37~ЦАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Дана кривая О, заданная в Гьз уравнениями х = 7" (с), у = д(т). Описать преобразования, позволяющие получить из ь", кривую: а) х = о+ 7(ь'), у = Ь+ д(ь); б) х = а7" (й), у = Ьд(Х) (а > О, Ь > О); в) х = -г'(т), и = д(Е); г) х = 7"($), у = — д(т); д)*= — 1И), р= -дФ е) х = д(г), у = 7" (т); ж) х = — д(З), у = — 7" ($); з) х = — д(г), у =. 7" (т); и) х = д(т), р =- -7".(т); к) = $7'(1)$, у = д(г); )*=у(з).у= ~д(т)~. 2. На рис. 58 представлена кривая х = 7" (ь), у = д(е).

Нарисовать следующие кривые: а) х = 3 — 7" (й), у = 2+ д(Х); Рис. 58 72 б) х = 1 + 27'(3), у = — д(Ф) ', 1 2 в)х=д(т) у=7"Ф г) х = -д(з), и = 7'(ь); д) =!Л6, у = д(з): е) х = У(Ь) р = ЫЗ)! 3. Используя связь между декартовыми и полярными координа- тами, написать формулу для декартовых координат точки М', полу- ченной из точки М(х; у) поворотом на угол а вокруг начала коор- динат, 4.

Написать уравнения линии, полученной из кривой х = 7 (3), р = д(г) поворотом вокруг начала координат на угол: а) 45'; б) -120с, 5, Что можно сказать о кривой А"., заданной уравнениеми х = у(г), у = д(ь), если для некоторых Т > О и а, д б К для всех допустимых значений $7 (г + Т) = а + 7($), д(с+ Т) = Ь + д(З) 7 б. Применить результат упражнения 5 к циклоиде х = с(ь' — в)па), у = с(1 — сов ь). 7. Что можно сказать о кривой Е, заданной уравнениями х = 7"(~),у = д(т), если для некатор)ах Т > О и угла а для всех допустимых значений $ у(Ф+Т) =- сова ° г(Ь) — в1па д(ь), д(т+Т) = в1па,г(ь) + сова д(Ф), 2а в частности, если а = — для некоторого натуральнога гп.