Соболев С.К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах (2004)

Московский государственный технический университет киени Н,З. Баумана ф~~* МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Г-Т"'. а!и им. Н.Э. БАУМАНА ИССЛБДОВАНИБ И ПОСТРОБНИБ ! ПЛОСКИХ КРИВЫХ, ! ЗАДАННЫХ ПАРАМБТРИЧБСКИ И В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Методические указания к выполнению типового расчета Гес.т« аа .1 ) з нлл. Н Москва — '-'-': . 1669411 Соболев С.К. Исследование и построение плоских кривых„заданных параметрически и в полярных координатах 66 60 ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока ЩЩ666йй й $ Щей., ййййййй л ~вН С.К. СОБОЛЕВ, А.Т, ИЛЬИЧЕВ Издательство МГТУ им. НЭ.

Баумана 2004 УЦК 51728 ББК 22,161.1 С547 Рецензенты: СВ. Галкин, ЕИ. 7имокип 15ВН 5-7038-2443-5 УДК 517.28 ББК 22Л61.1 Сергей Коггп автииович Соболеп Андрей Теймуразоанч Ильичев Редактор Сиа Серебрякова Корректор ЛО Моп>о>пипа © МГГУ нм. П.Э. Баумана, 2004 1ЗВН 5-7038-2443-5 Соболев С. К., Ильичев А.Т. с547 Исследование н построение плоских кривых, заданных параметрически н а полярных координатах: Методкческис указания к выполнению типового расчета.

— М.. Изд-ео МГТУ им, Н.Э, Баумана, 2004. — 80 сц ил. В пособии подробно изложены методы исследования плоских кривых, заданных параметрнчески и е полярных координатах: определение положения кривой относительно координатных осей; выявление бесконечных ветвой и аснмптот, красных и асимптотнческих точен кривой; определенно оринтацин наса елъиого вектора и знака выпуклости; нахождение точек перегиба и возврата, верн|пи кривой, Солержнтся болыпое число разобранных примеров н графических иллюстраций, В конце пособия приведены задачи и упражнения для самостоятельного регцения и 30 вариантов типового раст.

чета: задача № 1 на исследование кривой, заданной парамегрически, № 2- кривой, заданной в полярных координатах, Пособие предназначено для студентов первого курса всех факультетов и, главным образом, факультета фундаментальных наук. Ия. 59. Табл. 12. Библиогр. 4 вазе, ИССЛЕДОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ> ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ И В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Методическио указания Подписано в печать 02.02.04.

<поймат 60х 84/16. Буыага офсетная. Печ. л. 5,0. Уел. печ, л. 4,б5, Уч.-изд. л, 4,53, Тираж 1ОО зкз. Изд. № 55, Заказ. ВЦ Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. ввкджние Наиболее общим способом задания кривой на декартовой плоскости является параметрическое представление кривой в виде пары функций х = х(е),1/ = р($)„где 1 — независимая переменная, называемая параметром. Обычное функциональное задание кривой, т, е.

задание ее в виде графика некоторой функции р = 1'(х), является частным случаем параметрического; х = $, р = />(8). ДРУгим альтернативным способом является задание кривой в полярных координатах т = т(уз). Методы исследования функций и построения их графикон подробно изложены во всех учебниках по дифференциальному исчислению. Построению же кривых, заданных параметрическн, в этих книгах отводится крайне мало места„а методы исследования и построения кривых в полярных координатах с помощью дифференциального исчисления отсутствуют вовсе, Настоящее пособие призвано восполнить этот пробел. В нем систематически излагаются методы исследования плоских кривых, заданных параметрически нли в полярных координатах, Затронуты такие аспекты, как расположение кривой относительно координатных осей, ее оси симметрии, асимптоты, вершины, направления > выпуклости и точки перегиба.

В конце пособия приведены задачи н упражнения для самостоятельного решения, а также 30 вариантов задач типового расчета для студентов 1-го курса факультета фундаментальных наук. Рис, 1 Рис, 2 х = х('Е) ( у= у(Е) ~ '=г(Е) =х(Е)1+у(Е)3, 1яВ х= хо+ аЕ Е С Н., у=ус+ "Е х =- хо+ ЕЕ сов 1 Е С И., у =- ус + ЕЕ вй~ Е 1, ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ Пусть х(Е) и у(Е) — две функции действительного аргумента Е, Тогда пара уравнений задает на плоскости некоторую линию Е, состоящую из всех точек вида М(Е) = М(х(Е)); у(Е)), когда Е пробегает все действительные значения, для которых существуют х(Е) и у(Е). Переменная Е называется параметром, уравнения (1) — паралееьчрическими уравненн.

ями кривой Е па плоскости, а функции х(Е) и у(Е) — ее коардинащными Функциялин Пример 1. а) Уравнения где ая + бз;е 11, задают на плоскости прямую, проходящую через точку Мс(хо~ уо) парвллслыю вектору пз(а, 6), см. рис. 1. б) Уравнения тле Л .- 11, задьчот на плоскости окружность радиуса Яс центром в точке Ме(з:о, уо), см. рнс.

2. С! Пару функций х(Е) и у(Е) можно рассматривать как одну жарнУ1а ФУнкцию скалярного аргумента Е: Тогда линия ь"„задаваемая уравнениями (1), является гадаграфаи атой вектор-функции, т, е. представляет собой геометрическое место концов вектора ОМ = г(Е), когда параметр Е пробегает все допустимые значения. Под областью определения пары функций х(Е) и у(Е) мы будем понимать множество .0 всех значений параметра Е, для которых существуют обе функции х(Е) и у(Е). Каждому значению параметра Е б Ел отвечает точка М(Е) кривой л", с координатами х(Е) и у(Е), а различным значениям параметра Еы Ез,..., Е„б Р отвечают точки Мм Мз,, М„кривой ь" (не обязательно различные), причем если обе функции х(е) и у(е) непрерывны на интервале (ол Е3), содержащем значения параметра Еы Ез,...,Е„, то соответствующие точки Мы Мз,,, М„расположены на кривой в том же порядке, что и числа Ег>..., Е,„. Кривые, заданные параметрическн, мы будем считать ариенаированными, причем направление на них соответствует возрастанию параметра Е (рис.

3). Рнс. 3 Рнс. 4 а г й гт гз Ф» гз,В Простейший способ построения кривой х = х(1), у = у(е) — «по точкам», Для зтого берут несколько значений параметра 1ы 1з,..., 1„(чем больше — тем лучше), вычисляют в ннх значения координатных функпий хг = хз(1г),уг = уг(гг),...,х„= = х„(1»), у„= у„(1„), затем на дека1тгову плоскость В.з наносят точки Мг(х~, уг),..., М„(х„; у„) и «плавно» последовательно соединяют их. Понятно, что если точек относительно немного, то могут бьггь упущены весьма важные качественные характеристики криаой, например вершины, лервгибы л псимшяоты.

1+ гз Пример 2. Построим «по сочкам» кривую х =- —, 1з 1з у = —, выбрав значения параметра 1, =- х1, х2 н хЗ, 12 Решение. Вычислим значения координатных функций х(1) и у(1) зшя выбранных значений 1: Последовательно соединив полученные точки Мт( — 2 аз, 3~), Мз(-14,'24), Мз(Р; 2), Ма(2', Р), Мз(24 — 14) и Ма(Зз(-2з) мы получим кривую, например, подобную представленной на рнс.4. Однако в действительности кривая имеет совсем другой вид, в частности, имеет асимптоты у = х и у = — х (см.

рис, 5), Приведем несколько известны раметрически (всюду а = сонм > 1. Трактриса; х = а1п(13 — ) + 2 (см. рис. б). Зае 2. Декартов лист: х = —, гз+ 1' 3. Циклоида (траектория точ щейся по прямой); х = а(1 — вша) 4, Эпициклоида (траектория т тяшейся внешним образом по окру к)1): Рис. 8 Рис, 9 Рис,7 ж = ай соа Ф вЂ” а сои Щ, у = айа1п$ — аа1пй, На рис. 9 представпена зпициклоида при Й = 4.

(2) (3) Рис. 10 х = айсов1+ асов(И), у = аде)п1 — аегп 21, Рис. 11 Рис, 12 1О 5. Гипсцинлоидв (траектория точки окружности радиуса а, катящейся внутренним образом по окружности радиуса 6 = ()с+ 1)а, й > О): В частности, нрн й = 3 получаем линию х = Засов(+ а сов 31 = 4а сов 1, ,,з у =- 3ае(п 1 — а е1н 31 = 4а ага 1, з которая нх|ывастся остяроидой (см. рис.

1О), 2. КРИВЫЕ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Напомним, что полярная система координата задается точкой 0 (называемой полюсам) и лучом, выходящим из пошоса (называемым лоляриой осью). Положение точки М в полярной системе координат задается двумя числами у и т, где (о — ориентированный угол между полярной осью и радиус-вектором ОМ, а т — расстояние между точками 0 и М. Отметим, что, по смыслу расстояния, всегда т > О и что точки Мт(~р, т) и Мз(<р + 2иц, т), где и Е Е, всегда совпадают. При рассмотрении на плоскости одновременно декартовой и полярной систем координат полюс О обычно совмещают с началом координат, а полярную ось — с осью абсцисс 0Х. Тогда декартовы координаты М(х; у) и полярные координаты М(зз, т) одной и той же точки М связаны соотношениями (рис. 11): х = тсое~р; у = та(пр, х +у =т; -=ей(о.

з з з, у х Если т( р) — некоторая функция, то уравнение т = т(ср) (4) задает в полярной системе координат некоторую линию,б, состоящую из всех точек вида М (р, т), где т = т(р) > О (рис. 12), я =- г (гр) сов ~р, ~ 1г = г~~р)а(п~р, ') Рис. 14 Ргге 13 12 Подставляя формулы (2) в уравнение (4) кривой Ю, получим уравнения этой кривой в виде Таким образом, задание кривой в полярной системе координат уравнением (4) можно рассматривать как частный случай параметрического задания этой кривой в декартовой системе координат в виде (5), причем г(гр) > О, где в роли параметра выступает угол гр между осью ОХ н радиус-вектором ОМ.

Кривые, заданные в полярных координатах, также проще всего строить «по тачкам», Для этого берут несколько значений угла гр, для которого г(гр) > 0: гры грз,, гр„, и вычисляют соответствующие значения радиуса гфрг), г (~рз),, г(у„), Затем в полярной системе координат строят точки Мг(1см г(р,)), т, е. из полюса проводят лучи, образующие с полярной осью углы <р;, и на этих лучах отмечают точки М;, отстоящие от полюса О на расстояние гг = георг), 1 =- 1,, и, и плавно последовательно соединяют их (рис. 13), Пример 3.