Соболев С.К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах (2004), страница 8

8, Применив результат упражнения 7, показать, что а) гипоциклоида х = 2 сов т+ сов 2$, у = 2 в1п $ — в1п 2Ф обладает центральной симметрией порядки 3; б)зпициклоидах = бсовс-совбт,у = бв1пз-в1пбз обладает центральной симметрией порядка 4. Обобщить этот результат на гипоциклоиды и эпициклоиды с произвольным натуральным параметром )с. 9. Кривая Е задана уравнениями х = Д4), у = д($). Описать преобразование, позволяющее из Т, получить кривую х = аз'(Ф)— — Ьд(ь), у = Ь,) (Ф) + ад(з).

а) т = 1? + 10 аш ~р, б)т = 4 в) т= 1 з1пд+ «усову — 2 1 д) т = — (гиперболическая 2 — сов 2~р 2 /З «/3(сов ~р — а1п ~р) — 2 1 спираль), е) т = <р+— Ю Рис. 59 10. Что представляет собой линия х = 1~ + 1, у = $з + 31? 11. Пусть К(т) и у(6) — кривизна и показатель выпуклости (кривизны) кривой х = т(1), у = д(т), Найти кривизну Кз(1) и показатель выпуклости для кривой, полученной из данной поворотом иа угол а. 12. Как изменится кривизна К(6) и показатель выпуклости 7(6), если кривую, заданную уравнениями х = Д1), у = д($), подвергнуть преобразованием подобия с коэффициентом И 13. При каких соотношениях между а и 6 (а > 6) имеет точки перегиба кривая: а) т = а+ 6 сову; б) т = а+ 6 сов 2Ф7 14, На рис.

59 представлена кривая, заданная уравнениями х = = 1(1), у = д(8), причем значениям 8 = — 1, $ = 0 и т = 1 отвечают точки А, В, С соответственно. Нарисовать кривые: а) х = ~(36 — 1), у = д(31 — 1); б) х = Д2 — 1), у = д(2 — 1); В) х = у(тз), у = д($2); г) х = ~(2Ф вЂ” ез), у = д(21 — тз); д) х = У(з1п Ф), у = д(аш т), 15.

Нарисовать кривые, заданные параметрически: а) х = (1 — 1)е',у = (31+1)е ', б) х = Е~ — 31, у = 31~ + 101; 225 225 в) х = 21+, у = 2$ — — ~ тз 1 14' 1з.1 14' 13 262 51 13 1 462 1 41 (т + 1)' ' (1 + 1)' 3$ 31з д)х=,з, у=,з е) х = 2совт+ соа21, у = 2в1п$ -а1п 21; ж) х = 14 сов 1+ 3 соа 2й у = 14 а1п1 3 в1п 21; з) х = 3 сова — сов 36, у = 3 а1п1 — в!п3$; и) х = 4 сове — сов 31, у = 4 вше — вш 3$, 16, Нарисовать кривые в полярных координатах: 17, Написать общий вид уравнения нормали в точке Мс кривой, заданной: а) параметрнчески1 б) в полярных координатах.

Продовжение табвииы Вариант т = сов- У 2 10 -1 ., 18+48 т= 2+ сов — Лзш $8 х=— 18 3 =,Л=Ъ Ж 12 т = 1/8!П21Р М, и = 388+ 108 т =вшгв1 х = 4сов1, у = 3в1п1 — 81ПЗФ т = 2 — виз 21р х = 3 сов 3 — сов 31, у = 281пв 13 , = З,ш1 — 81п31, и = гсоз1 т = 2 — сов 1р+ вш'Р 12. ЗАДАЧИ ТИПОВОГО РАСЧЕТА Исследовать и построить кривые, заданные а) параметрически; б) в полярных координатах: Вв 288 фв + 18 + гев 9 ш 88 х = 1+ сов 1+ со82$~ д = 81П4+81П21 38+ 218 — 1 вв+ 21+1 Вз + 488 + 4$ 28 1 218 + 18 х=— 1+9 ' 18 — 288 т=в '' т'86'Р 7Г 0 < 1р <— 2 т=Л+ —. 1 81П 1Р 2 сова у т= зш 9Р 1 2 т= —, вш 1р 31/3 Окончание таблицы Вариант 811 х=1+— вз + 4 261 0=31-— !в 4 ~ = етлт сФур.

0 < 1о < н/2 х = 31~ — 101, 31 х= (Ф-1)е ', у = (1 — 1)е~ 243 — 3 в!и!о — 3 сов!о 281п 1о сов ~р х = 3 вше, р = сов 31 — 3 сав Ф т =- 2 + сав 2у х = 101 — $~, д = 271 — 1з (1+ 2) в у = (1 + 2)е " 2+ в1п р+ Лсовзв 231 х = -31+ —, сз+4' 311 в=1+в вз+4 т = 17 — 10ссв~р х = 3'+в + 3 ', у =3~ — З~ ' 29 2+ Лв!пср — ~/Зсов1в т = 18— У 2 30 Ф х=( — + т~т3 + 1)(1- ), 2 ЗГЗ+1з ' $ 2 и = ( — — 1)(1- ) 3 3 3+вз СПИСОК РККОМИНДУЕМОИ ЛИТИРАТУРЫ 1, Савелов А.А. Плоские кривые.

систематика, свойства, применения, М Фнзматгнз 19бО 293 с 2, Бронннлебн ИН., Смвндлее К.А. Справочник по математике длл инженеров н учащихся втузон Мл Наука, 198б. 544 с, 3, Иванова К.К, Дифференциальное исчисление функций одного переменного. Мл МГТУ им. Н.Э,Баумана„1988, 407с, 4, Сборник задач па математике для агузов', Линейная алгебра и основы мегематическага анализа / Под ред. А.В. Вфимава, Б.П.

Демидовича, Т. 1. Мл Наука, 1993. 479 с, ОРЛАВЛКНИК Введение„...,...,. „ 1. Параметрическое задание кривых на плоскости...,...,..., .. 2, Кривые в полярной системе координат......,,,....,.....,... З,расположение кривой относительно осей координат. Симметрии. Периодичность ...,....,......, ... 4.

Асимптотические точки, бесконечные ветви и асимптоты...., 5, Уравнение касательной к кривой. Особые точки,...,...,,..., б. Участки монотонности координатных функций и соотаетствуюп1ие вершины кривой...,...,...,,...,, . 7. Направление выпуклости, точки перегиба и главные вершины 8. Тачки самопересечеиия, 9, Общая схема исследования и построения кривой, заданной параметрически и в полярных координатах........., ., 10.

Примеры исследовании и построения плоских кривых......, 11, Упражнения и задачи для самостоятельного решения...,..., 12, Задачи типового расчет» ....,,...,... ,. ой литературы Список рекомендуем 3 4 11 23 31 37 43 47 51 53 55 72 7б 79 .