Соболев С.К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах (2004), страница 2

Построим «по точкам» кривую Ф г = гй —, 2 Решение, Кривая существует для тех углов гр, для которых (гг 7Г $3 — > О, т. е, О « — —, или О < гр < н. Возьмем следующие 2 ' 2 2' пп 2я значения гр; О, —, — и —, Соответствующие им значения т будут: 3'2 3 Построим в полярной системе координат точки Мз(0;О), я ~/3 я 2гг Мз( —; — ), Мз(-; 1) и Мч ( —; ~г 3) и «плавно» их последователь- 3' 3 ' 2' 3' но соединяем, Полученная кривая изображена на рис, 14. П Замечании, Указанный выше способ не позволяет, однако, выявить асимптоту р = 2 (в декартовой системе координат) и вершину Мо с координатами грс ~ О, 9 (рад), го м О, 486, в которой касательная параллельна оси ОУ, Излагаемые ниже способы исследования и построения кривых, заданных параметрически, применимы (с некоторыми модификациями) и к пиниям, заданным в полярных координатах.

Отметим, что в некоторых случаях уравнение кривой г = т(гр) в полярных координатах удается с помощью соотношений (2), (3) Уравнение в полярных координатах 14я и/и Окружность радиуса о с центром в начала координат г=а (а=сопвФ>0) 1с = а (а= сопаС) тяф = Й (и = сопз1) с а соя чг+ Ьа1п 1о (сф0, о+Ь фО) Прямая, перпендикулярная вектору п(а;Ь) ах+Ьр = с гсоа(1с — а) = р (а,р = сопаС) хсоза+ +рв1па = р 4.1 га1п(у- а) = р (а,р = сопвг) р соя ав -хайна = р 4.2 Рнс, 15 Прямая. параллельная оси 01' г = — (с за 0) соз р с г = —, (с ф О) ьбп р Прямая, параллельная осн РХ преобразовать в некоторое известное уравнение Р(х, р) = О в де картовой системе координат.

Пример 4. Преобразовать уравнение г = 2а сов 1с+ 2Ьв1п ~р, (и, Ь = сопв1) в некоторое уравнение в декартовых координатах. Решение. Умножим обе части на г, подучим. гз = 2ат соз р + 2Ьг в1н 1с 4= >ха + рз = 2ох + 2Ьр е= > (х — а) +(р — Ь) =а +Ь. Это уравнение окружности радиуса Л = т/а~ + Ь с центром в точ- ке С(о; Ь), проходящей через полюс (начало координат), см. рис, 15, П В таблице приведены некоторые уравнения линий в полярных координатах и соответствующие нм уравнения в декартовой системе координат.

Соответствующее уравнение в декартовых координатах Луч, выходящий из начала координат, образующий угол а с осью ОХ Прямая с угловым ко- эффициентом Ь, про- ходящая через начало координат Прямая, перпендикулярная вектору п(соз а; аш а), отстоящая на расстояние 1р) от начала координат Прямая с угловым коэффициентом Й = 1$а, отстоящая на расстояние 1р~ от начала координат 14 Оконяание тлабяиим Соответствующее уравнение в декартовых координатах Ло иlп Вид линни ( „)х+ув „а т = 2а сов гр, (а ~ 0) 5,1 т =2Ьв1пгр,(ЬфО) х +(у — Ь) = Ь 5.2 ха+ух = = а(~/ха+ уа*х) т = а(1:Е соа уг), (и > О) Кардиоида (рис, 18 и 19) .а ьуа = о(Ъ/ха + ух~у) г = о(1 ж в(п гр), (а > О) 62 (та+ уа)а = хаа(хх — уа) г = а/Ьсов2гр, (а > О) 7,1 т = а,Явгп Хр, (о > О) ха + уа = ~2озху 7.2 16 Уравнение в полярных координатах т = 2осовгр+2Ьвтвгр (оа + Ьа ф О) (х- а)а+ + (у- Ь)' = = оа+ Ьв Окружность радиу са Л = /ах+Ь с центром в точке С(а; Ь), рвс, 15 Окружность радиуса Л = )а~ с центром в точке С(о; О) на оси ОХ, рнс.

16 Окружность радиуса Л = )Ь) с центромм в точке С(0; Ь) на оси О)т, рис, 17 Лемниската Бернулли (рнс, 20 и 21) т = 2асовгр, (о > О) Рис. 16 т = 2Ье1п гр, Ь < 0 Рис. 17 тг:пчоог!ггй Ф М о Рис, 24 Рис,22 Рис. 23 20 Приведем еще несколько примеров линий в полярных координатах: 3, т = о + Ь сов у («Улитка, Паскаля) — рис, 22, где о = 4, Ь = 3. 9. т = ор(спираль Архимеда) — см, рис.

23, где о > О. 10, т = е«'л (логарифмическая спираль) — см. рис. 24, на котором представлен случай а < О. Отметим еще, что иногда при задании линии в полярных координатах уравнением т = т(ф ограннчение т > 0 отсутствует, — ((с) 0 а углу (с, для которого т(1с) < О, ставится в соответствие точка М(Зз+ + к;-т(~р)) (см. рис,25), декартовы координаты которой описываются теми Рие.

25 же формулами (5). При такой расширенной интерпретации эта линия описывается параметрическими уравнениями (5), в которых т(~р) принимает любые значения. При этом некоторые линии в полярных координатах становятся более полными и законченными, Например, улитка Паскаля т = 1+ 2 ссыпь при обычной трактовке (т > О) существует Рис. 26 2я 2я. только для углов — —, < ~р < — (рис, 26), а при расширенной 3 — 3 получает дополнительную петлю (она обозначена пунктиром на там же рис. 26), 1 Аналогично, уравнение г = при обычной трактовке 2саазэ — 1 (г > 0) задает одну ветвь гиперболы с фокусам в полюсе, а при расширенной (г 6 В.) — обе ветви этой гиперболы (вторая ветвь обозначена пунктиром па рис, 27).

Тем ие менее, в настоящем пособии всюду имеется в виду традиционнаи трактовка с ограничением г(~р) > О, Далее излагаются методы исследования плоских кривых, за- данных параметрически и в полярных координатах, на основе вы- явления их характерных особенностей: асимптоты, вершины, на- правление выпуклости (кривизны), точки перегиба и т. д. В этих методах применяется элементарная (школьная) математика, теория 22 Рис. 27 предела и дифференциальное исчисление, Все эти методы явля1отся обобщением известных методов построения графиков функции р = у(в), но не сводятся к ним.

3. РАСПОЛОЖЕНИЕ КРИВОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ КООРДИНАТ. СИММЕТРИИ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ Координаты точки пересечения кривой (1) с осью ОХ находятся из системы уравнений х = ж(1), у = у($) = О, а с осью 0~' — из системы уравнений у = у(С), х = х($) = О. Для того чтобы выяснить расположение этой кривой относительна осей координат, нужно найти точки разрыва и корни (нули) функции х($), которые разобьют ось 4 на интервалы знакопостаянства. Определив эти знаки, мы закшочаем, что если х(1) > О, то кривая расположена правее оси ОУ, а если х(1) < Π— то левее. Аналогично поступаем с каор динатной функцией у(Ф): у(Ф) > 0 означает, что кривая расположена выше оси ОХ, ау(4) < 0 — ниже этой оси, Пример 5.

Исследовать расположение кривой х = аз+1 2 у = а — зз относительно осей координат, 7 Решение. Коордипатная функция х(6) непрерыв на при всех ь б К„а у($) разрывна при Далее, х(~) = 0 <=> З~ + Ф вЂ” 2 = 0 при 4 = 1 и 1 = — 2, у(1) = 7, у( — 2) = -8, Следовательно, кри вся пересекает ось ОУ в точках М1(0,7) (при г = 1) и Мз(0 8) (при1 = — 2). Аналогично, у(1) = 0 еь 8 — ьз = О приз = 2, х(2) = 4, значит, кривая пересекает ось ОХ в точке Мз(4; 0) при й = 2. Составим таблицу знаков функций х(г) и у(й); Симметрии кривой Линия (1) может быть симметрична относительно некоторой оси или начала юординат, Напомним„что точки Мз(а; 6) и Мз(а,-6) симметричны относительно оси ОХ, точки М1(а; 6) и М4( — а; — 6) центрально симметричны относительно начала юордииат, точки Мг(а; 6) и Ма(6, а) симметричны относительно прямой у = х, а точки Мз (а, 6) и Ма(-6; — а) относительно прямой у = — х (см.

рис, 29). Рнс. 28 Из нее сразу следует, что при 1 < — 2 кривая находится в 1т квадранте (х > О, у > О), при (-2, 0) — в 1П квадранте (х < О, у < О), при $ я (О;1)— во П квадранте (х < О,у > О), при 1 Е (1; 2) — в 1 квадранте (х > О, у > 0), и при $ > 2— снова в 1Ч квадранте. Схематично эскиз кривой изображен на рис, 28, С) Пусть функция о(3) взаимно однозначно отображает область определения О линии (1) на себя (например, если Ю = К, то а(3) = -$, а($) = 81 + 2, или а(3) = $з — 1; если В = К 1 (01, то о(т) = -1, а(1) = 1з, или ст(1) = 1,' если В = К 1 (2), то с(з) = 4 — 4).

Тогда (знак ш означает равенство для всех Ф 6 В): а) х(о.(Ф)) =— х(1) ( означает, что кривая Е симметрична у(а(1)) аа — у(1) / относительно оси ОХ; означает,что кривая Е симметрична относительно оси ОУ'; х(с(«)) =- -х(«) 1 в), „симметрична относительно начала координат; х(о («)) аа х(«) ( у(Ф)) г— а у(«) ) каждая точка кривой л', является двойной, т.е. соответствует двум значениям параметра: «и о («); д) х(гг(«)) .= у(«) 1 у(о(«)) — = х(«) ) симметрична относительно прямой У = х1 х(о'(«)) аа — у(«) 1 е) симметрична относительно прямой у( («)) — = — х(«) у= х.

Во всех случаях симметричные пары точек отвечают значениям «и с(«). Отметим, что, как правило, о.(«) = — «, и ггоэтому тождества в пп. а)-г) означают четность или нечетность соответствующей координатной функции. Пример б. Исследовать симметрии кривой х = сов «, у = а1п «. Решение, а) Пусть гт(«) = «. Тогда х(-«) = соа( — «) = сов « = = х(«), у(-«) = в1п( — «) = — гйп« = — у(«).

Следовательно, эта кривая симметрична относительно аси ОХ. б) Пусть о(«) = к — «, Тогда х(гг — «) = соа(гг — «) = — сов « = = -х(«), у((4г — «) = з1п(я — «) = у(«). Поэтому кривая симметрична относительно оси ОУ, в) Пусть о(«) = 4г+«. Тогда х(гг+«) =- — х(«), у(гг+«) = -у(«), значит кривая симметрична относительно начала координат, г) Пусть с(«) = з — «. Тогда х(з — «) = у(«), у(з — «) = х(«), следовательно, кривая симметрична относительно прямой у = х. д) Пусть о(«) = ззт — «.

Тогда х(ззг — «) = соа(зз' — «) = = — в1п« = — у(«), у(зз — «) = а1п(зз — «) = — х(«). Поэтому кривая симметрична и относительно прямой у = — х. П Разумеется, как правило, кривая не имеет так много симметрий, как в примере б, и может вообще не иметь симметрий, В действи- тельности кривая примера б является окружностью единичного ра- диуса с центром в начале координат и поэтому симметрична отно- сительно любой прямой, проходящей через ее центр.

Заметим, что значение параметра «точки М(сов «, а1п «) этой окружности совпа- дает со значением угла ~р, который радиус-вектор ОМ образует с осью ОХ, Пример 7. Исследовать симметрии кривой х =— «з «3 у = — (деггаргпоа лист), «з Решение. Сначала заметим, что кривая проходит при « = О че- рез точку О(О; О), которая одновременна является и асимптотиче- ской при « -+ ~оа. При «ф О имеем: «'1'~ (1/«)з «з у ~« / — (1~«)з 1 — ~ «з — х(~)> следовательно, кривая симметрична относительно прямой у = -х (рис.