Соболев С.К., Ильичев А.Т. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах (2004), страница 3

ЗО), В полярных координатах аналогично имеем: точки Мг~~р, т) и Мз( — гр,т) симметричны относительно полярной оси (оси ОХ), точки Мг (р, т) и Мз (гг — гр, т) симметричны относительно оси ОУ, точки М«( р, т) и М4(гг+ гр т) симметричны относительно полюса (начала координат), а точки М«(гр, т) и Мь(2а-гр, т), где гг = сопя«, симметричны относительно луча <р = сг, Следовательно, если кривая Е задана в полярных координатах уравнением т = т(Чг), то: а) т(-у) = т(гр) означает симметрию кривой Ю относительно полярной оси (оси ОХ); б) т(1г — гр) = т(р) симметрию кривой Е относи- тельно луча гр = з (оси ОУ); 2б Рис, 30 Рис, 31 е) т(2а — р) = т(~р) симметрию кривой С относи- тельно луча у = а (а '= сопев) Периодичность 28 в) т(я+ у) га т(у) — симметрию кривой С относительно начала координат; г) т(з — 1о) = — т(У) — симметРию кРивой Е относительно прямой у = х; д) т( з — у) ва т(р) — симметрию кривой Е относительно прямой у = — х; Если координатные функции х(с) и у(Е) имеют общий период Т > О, т.

е.для всех $ ~ .0 х(й+ Т) = х(1) ну(г+ Т) = у(1),то значениям параметрат, т+Т, $+ 2Т, и вообще 1+ и Т, где и Е 2, отвечает одна и та же точка М(х(т), у(г)) кривой, Другими слова- ми, каждая точка М(х ($с), у($с) ) кривой А,' проходится бесконечное число раз, соответствующих значениям т = $с + и ° Т, и Е Е. Бели функции х(ь)н у(г) непрерывны, то кривая будет замкнутой непрерывной линией (рис. 31), В любом случае достаточно исследовать и построить кривую Ю для значений 1, принадлежащих любому отрезку длины Т, например ~О;Т], Вели кривая Е задана в полярных координатах т = т(р) и функцилт = тЯ имеетпериод Ф > Отедлявсехуимеетместот(р+ +Ф) = тфр), то кривая ь" совмещается сама с собой при повороте на угол Ф вокруг полюса, Особый интерес представляет случай, когда 23'тВ Ф = — для некоторых взаимно простых и и й. В этом случае, если к т~у) > О для всех у, кривая и раз охватывает полюс и обязятельно имеет самопересечеиия (см.

пример 19(б) далее). При и = 1, х > 2 кривая обладает иеьтаральной симметрией порядка л, т. е, состоит из к одинаковых частей (каждая из которых занимает сектор с цен2и тральным углом Ф = — ), получающихся друг из друга поворотом й на углы, кратные Ф. В частности, прн к = 2 (Ф = я) кривая имеет симметрию порядка 2, т.

е. обычную центральную симметрию, Наконец, если Ф = 2к (7> = к = 1), то кривая представляет собой замкнутую линию, один раз охватывающую полюс. В случае сим метрии порядка Й > 2 достаточно построить кривую т = т(>р) для углов >р Е [О, Ф), а затем поворотами на углы Ф, 2Ф,... достроить всю кривую. Пример 8. Исследовать симметрии кривой т = в(п Зх, Решение. Функция в)пЗ>р имеет наименьший положитель- 2У 27Г ный период Ф = — „и на отрезке [Π— ) неотрицатель- 3 > на только при О < >р < —. Следовательно, кривая име- 3 ет центральную симметрию порядка 3. Кроме того, поскольку т(- — ч>) = а(п(к — 3>р) = а(п ЗЧ> = т(>р), та кривая симметрична 3 7Г 7Г относительно луча >р = —, а значит, и относительно лучей Ч> = — + 6 + — = — и >р = — — — =- — —. На участке О < >р < — криву>а 3 6 6 3 2 ' 3 можно построить «по точкам».

Вся кривая (это >прех>>епесп>новая роза) изображена на рис. 32, П 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ„ БЕСКОНЕЧНЫЕ ВЕТВИ И АСИМПТОТЫ Если функции х(1) и у(1) непрерывны на К, то линия Ю, заданная уравнениями х(1) и у(1), представляет собой непрерывную связную кривую. Если яГе функции х(1) и у(1) имеют разрывы, и 1„1з,,1„— все точки разрыва этих функций, тогда линия Е состоит из (и + 1) отдельных непрерывных ветвей, соответствующих каждому из интервалов непрерывности векторной функции Г = Г(1): ( — аа; 17), (1М 1З), ..., (1ьй+аа) (адиаКа раЗНЫЕ ВЕТВИ МОГут иметь общие точки, и даже одна ветвь мажет иметь самапересечения, см.

далее). Нужно исследовать поведение векторной функции г(1) при каждом из односторонних стремлений 1 -7 1;+ и 1-7 1>-, а также при 1 — 7 +са и 1 -7 — со. Для простоты ограничимся случаем, когда пределы 1пп х(1) и 1пп у(1) при указанных стремлениях существуют (конечные или бесконечные), Пусть 1 — 7 ° обозначает любое из таких односторонних стремлений, Возможны два случая. 1, Оба предела 1пп х(1) = си 1пп у(1) = 1>конечны, Геаметриче- 7-> ° 7-7 ° ски эта означает, что точка М(х(1), у(1)) при 1 — 7 ° прибяижается к точке >>Гс(а; 1>), т. е. точка 1>Гс(а; (>) является предельной(или осимптпопщческой) точкой кривой.С.

2. Хотя бы один из пределов 1пп х(1) нли 1пп у(1) бесконечен, Г-> ° 7-> ° т. е. одна из координатных функций является бесконечно большой ПРИ 1 -7 ь. Эта раВНОСИЛЬНО таМу, Чта Рис. 32 30 31 Геометрически это значит, что точка М(х(1)>у(1)) кривой Е уходит в бесконечность. В этом случае мы будем говорить, что кривая Г. имеет бесконечную еетпвь при одностороннем стремлении 1 -+ ° . Собствещю, самой бесконечной ветвью называют часть кривой, отвечающей значениям параметра 1 нз некоторой (в принципе любой) окрестности соответствующего одное~араписто стремления 1 -7 ° , 1 Пример 9. Исследовать поведение кривой х =- ет, у = агс1к1 в точках разрыва и при 1 — 7 ~аа, (г Рис, 34 33 Решение. Функции х(4) имеет единственную точку разрыва Г = О, а функция у(г) непрерывна при всех $ е В..

Найдем односторонние пределы при г -+ 0 н 1 — г со: Ипзх($) = 1ппе~ =+ос; а) т-+О+: Иглу(4) = Игпагс1б1 = 0; 1пп х(1) = Игп е ю = О, б) 1 — )О-: 1(гп у(1) = Игп агсСф = 0; 1пп х(1) = 1пп е г = 1; в) Е-г+оо:,, х 1ппу(г) = 1пп агсьбс = —; З! 1 1ппх(Е) = 1ппет = 11 г) $ -~ — со: 7г Иглу(с) = Игпагсгбе = — —. 2 Итак, кривая имеет при 1 — > О+ бесконечную ветвь, а прн остальных стремлениях имеет асимптотические точки: Мг(0,0) я при г — > 0 —, Мя(1 -) при 1 -> +ос, Мз(1, --) при $ — > — со ) 3 (см.

рнс, ЗЗ). (Л Если кривая задана в полярных координатах уравнением т = т(х) и имеет разрыв при гс = ур, то в случае конечного предела Игпт(1с) = тр при ~р -~ (ср она имеет предельную точку Мр((лр,тр), а если 1пп т(у) = +со при х -г (ср — бесконечную ветвь, Пример 10. Исследовать поведение кривой т(~р) Ю а(п 1с (-я с у < я) в точках разрыва. Решение. Поскольггу функция т(р) — четная, то кривая симметрична относительно полярной оси (оси ОХ), Исследуем поведениет(у) при у — ~ О,у-> л — и(с — ~ -гг+; 1пп т(~р) = Ипг —. = 1; Ю т-Фр т-гр а)п (с Игп т(Я =+со; 1пп т(х) = +со, т-Ф-т+ Следовательно, кривая имеет предельную точку с полярными координатами Мс(0; 1) и дае бесконечные ветви (рис, 34).

П Бесконечная ветвь кривой х = х($), у = у(Е), соответствуюгцая стремлениго г -+ е) может иметь прямолинейную асимптоту 1. Это значит, что расстояние р(М(1), 1) от точки М(х(г), у($)) Е,С до прямой 1 стремится к нулю прн г -> е. В частности: а) прямая х = а является вертикальной асимптотой этой ветви е» Ипз х(г) = а, Иглу(г) = оо (при $ -+ е); Рис, 35 35 б) прямая у = б является горизонтальной асимптотой этой ветви ~=> йщ х(1) = аа, 11гп у(Ф) = 1> (прн 4 -> ')' в) п ямвя у = йх + пэ является наклонной асимптотой этой х(с) ветви со 1пп — = ь, 11гп(у(1) — Усх(в)) = т (при 1 -+ в), у() Пример 11.

Найти асимптоты кривой х = 1 + 1 — 2, у =— з 8 Рещение, Кривая имеет четыре бесконечных ветви, соответ ствующие стремлениям $ -+ О+ (при этом х(1) -> — 2, у($) -> ч-аа), Ф вЂ” > Π— (х(Х) -+ — 2, у(1) -+ -аа), Ф вЂ” > +со (х — > +аа, у — > — са) и 1 — > -аа (х->+аа, у -> -аа), Сразу заключаем, что ветви, соответствующие стремлениям 1 -> О~, имеют общую вертикальную асимптату х = -2.

Других вертикальных или наклонных всимптот нет. Проверим наличие на- клонной асимптоты ветвей, соответствующих 1 =с аа: иМ И=~ — = Н - ' =--.1, в> ~ о~~.1 — 2) /8 гп= 1пп (у(1) — ( — 1)х(1)) = йш (-+ $ — 2 = ~со, Следовательно, зти ветви наклонной асимптоты не имеют. С) Замечание. Кривая, заданная лг>рамстрнчсски, может псрссеквть любую свою всимптоту, в том числе в вертикальную, Чтобы найти точки пересечения р> ссечсния кршюй и сс аснмпоты надо в уравнение последней (в декартовых координатах) подставить параметрическое уравнение этой кривой. Так, подставляя в уравнение вснмптоты т = -2 кривой предыдущего ориг мера координатную функцию хф) = лв + л — 2, получим уравнение 1 + + ф — 2 = -2,т, с.

Ф = — 1 (корень 6 = О ос входит в область определения), у=у( )= ( — 1) .= -9. Следовательно этв кривая пересекает асимптоту х = — 2 в точке Л(-2;О) ори ! = -1 (см. рис. 351. Прил>яр 12. Е1айти асимтоты кривой х = с +1-1, у = 31-е'+4. 3 Рслпсние. Кривая имеет две бссконсчпыс ветви, соответствующие стремлениям 1 -> +аа (при этом х -> +аа, у -> -ао) и 1 — > — са (х -> — са, у — > — аа), Вертикальных и горизонтальных асимптот нет. Проверим наличие наклонных асимптот этих ветвей. у(1) 3$ — е'+ 4 аа а) при Ф вЂ” > +аа: й = 1пп — = 11>п = [ — ) = хф е'+1 — 1 со 3 — е" — (у(1) — (-1) (4)) = ее 1 1 ел = 11п>(3$ — ел + 4+ е'+ 1 — 1) = +аа. Итак, эта ветвь асимптоты не имеет; у(1), 3$ — е'+ 4 аа б) при 4 -> -аа: й = 1пп — = 11>п х(1) ел + 4 — 1 оо = 11п> — = 3, гп = 11т(у(1) — Зх($)) = 1пп(7 — 4е') = 7.