Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин
Описание файла
PDF-файл из архива "Конспект семинаров - Многомерный анализ, интегралы и ряды - Трошин", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
NSNOITTRUCTCURTSNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTМногомерный анализ, интегралыирядыOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCКонспекты семинаровАлексей ТрошинФАЛТ МФТИВерсия от 16 мая 2018 г.NSNOITTRUCTCURTSNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCRОглавление NDEUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCПредисловие .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22. Неопределенный интеграл, продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33. Пространство . Множества в нем .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96. Исследование дифференцируемости. Мера Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147. Определенный интеграл Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .198. Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259. Несобственные интегралы от знакопостоянных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3012. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3514. Функциональные ряды, продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.TCURTSNOПредисловиеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTCПредисловиеДанное пособие — это первая и еще не завершенная попытка придать удобочитаемый вид конспектам моихсеминаров. Предназначено пособие, в первую очередь, тем, кто слушал эти семинары в течение учебногогода и либо не успел что-то записать, либо хочет уточнить отдельные моменты, либо готовится к письмен-ному экзамену.
Не следует преувеличивать ценность этих конспектов; они отражают всего лишь один измногих взглядов на курс семинаров по математическому анализу, к тому же, меняющийся со временем.Конспекты были набраны силами студентов, и я хочу искренне поблагодарить участников этой работы:Даниила Гагаринова, Михаила Иванова, Арину Ложкину, Ивана Максименко, Никиту Теслюка, АлександраХорина, Лилию Шокареву, Никиту Юшкова.
Также большое спасибо Глебу Панченко за организацию этогопроцесса. Я лишь редактировал тексты, которые мне присылали, и уточнял некоторые моменты, которыемне хотелось изложить чуть подробнее, чем это было сделано у доски.Работа оказалась весьма объемной.
На данный момент подготовлено 8 из 15 семинаров весеннего семестра.В будущем планируется продолжать верстку оставшихся конспектов и повышать качество уже набранногоматериала.Буду благодарен за любые замечания, рекомендации и пожелания по тексту. Также очень ценны ваши сообщения о найденных опечатках. Приглашаю писать на мой адрес ai-troshin@yandex.ru.Алексей ТрошинВесна 2018 г.2NSNOITTRUCМатематический анализ 1 к. 2 с.TCURTSNO2.
Неопределенный интеграл, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC2. Неопределенный интеграл, продолжениеИнтегрирование рациональных функцийПример. = ∫ 2 − 3 + 5.( − 1)( − 2)( + 3)⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟()/()Раскладываем ()/() в сумму элементарных дробей:()=++−1 −2 +3()(∗).Стандартный (долгий) путь отыскания коэффициентов разложения — с помощью МНК:() = ( − 2)( + 3) + ( − 1)( + 3) + ( − 1)( − 2) = (+ + ) 2 + (+ 2 − 3) + (−6− 3 + 2) .⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟11 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞32 −3⎟ ⎜ ⎟ = ⎜−3⎟ ⟹ = − ,4⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−3 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 5 ⎠⎛1СЛАУ: ⎜ 1⎜⎝−61=Более быстрый путь1) : (∗) ⋅ ( − 1) и полагаем = 1 ∶(∗) ⋅ ( − 2) и полагаем = 2 ∶(∗) ⋅ ( + 3) и полагаем = −3 ∶Тогда = ∫ [ −Пример.
= ∫3,5=−3523.20 2 − 3 + 5 |3= ⟹ =|−1 ⋅ 4( − 2)( + 3) |=13 2 − 3 + 5 |= ⟹ =|1⋅5( − 1)( + 3) |=22323 2 − 3 + 5 ||= ⟹ ==20( − 1)( − 2) |=−3−4 ⋅ (−5)13123133233⋅+ ⋅+⋅ln | + 3| + .] = − ln | − 1| + ln | − 2| +4 − 1 5 − 2 20 + 345202 2 .− 6 + 1026 − 10=1+ 2.2 − 6 + 10 − 6 + 10Дискриминант 2 − 6 + 10 отрицательный ⟹ дальнейшее разложение на эл. дроби невозможно.Выделяем целую часть дроби:( 2 −6+10) = ∫ [1 +⏞⎴(2⎴⏞⎴− 6)⎴⏞+8 ∫ 2=] = + 3 ∫ 2− 6⎵⎵+⎵⏟10 ⎵−⎵⏟⎵6 ⎵+⎵⏟10⏟⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵2 +1(−3)⎵(2 −6+10)′ =2−6ln( 2 −6+10)+⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟⟹ выделяем6 − 102 ⎵−⎵⏟⎵6 ⎵+⎵⏟10⏟⎵в числителе 2−6arctg(−3)+= + 3 ln( 2 − 6 + 10) + 8 arctg( − 3) + .Пример.
= ∫2 + 2.(− 1)( + 1)2⏟⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⏟()/()()=.++ − 1 + 1 ( + 1)2()Коэффициенты и можно найти “быстрым” путем, — с помощью МНК:=2 + 2 |3|= ,( + 1)2 |=1 4∶(. . .) 2 + (. . .) + ( − − )13 3⟹ −− =2 ⟹ =−−2= + −2= .4 24( − 1)( + 1)2=2 + 2 |3|;= − 1 |=−1 −23111313131 = ∫[ ⋅+ ⋅− ⋅+ .] = ln | − 1| + ln | + 1| + ⋅24 − 1 4 + 1 2 ( + 1)442 +11) В общем случае, с помощью этого приема можно найти коэффициенты при старших степенях “линейных” элементарных дробей11 ,…, (см.
предыдущий семинар).Весна 2018 г.3NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к. 2 с.2. Неопределенный интеграл, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC.3 + 1Пример.
= ∫ + 11=+;= − 1 2 − + 13 + 1( + 1)( 2 − + 1)=11||= . 2 − + 1 |=−1 301( 23Найдем , 1) :− + 1) + ( + )( + 1)( + 1)( 2 − + 1)=1⏞⏞ 2 + (. . .) + ⏞⏞+⎴)+⎴)( 31⎴⏞( 31⎴⏞( + 1)( 2 − + 1)21⟹ =− , = .3311−21( 2 − + 1) 111 = ∫[ ⋅− ⋅ 2+ ∫=] = ln | + 1| − ∫23 +1 3 362− ⎵⏟+12 − + 1⏟⎵⎵⏟⎵( − 1 ) + 3213(2−1)−222 −+1=422 − 11111 2111arctg[arctg+.ln | +1|− ln( 2 − +1)+ ⋅( − )]+ = ln | +1|− ln(2 − +1)+362 √3236√3√3√3Интегрирование иррациональных функцийDef. Иррациональная функция — функция, полученная из рациональных функций и корней с помощьюконечного числа арифметических действий и композиций.33 + √+ 2— иррациональная функция.√ 4 − 7Основной метод интегрирования иррациональных функций — рационализация: поиск замены = (),Пример. () =5′ () .при которой ∫ ()⏟ = ∫ (())⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟ирр.рац.Обозначение: (1 , . .
. , ) — функция, рациональная относительно ∀ из переменных 1 , . . . , .∫ (, (I тип: + + 1) , ..., () ) , + + где1 , . . . , ∈ , − ≠ 0. + = , — общий знаменатель {1 , . . . , }. + Пример. = ∫.6√( − 7)7 ( − 5)5Сделать замену∫|1−5 − 5 61−57 6 − 56⋅√ = |инт-л вида ∫ (, (⟹ = 6,) ) ⟹ введем 6 =−7−7−7 −1( −7)(⎵−⎵⏟5)⏟⎵⎵⎵⏟⎵|выносим6|6 ⋅ 7 5 (6 − 1) − (7− 5) ⋅ 6 5−1251−125 = = 6 | = ∫ 76 −5=⋅⋅66227 −5( − 1)( − 1)( 6 − 1)2|( 6 −1 − 7)( 6 −1 − 5)=∫−125 66(7−5−7+ 7)(7 6 − 5 − 5 6 + 5)II тип:=∫−126 −56= −3 + = −3 √+ .−72 ⋅ 26∫ (, √ 2 + + ) , ≠ 0, 2 − 4 ≠ 0a) общий случай — подстановки Эйлера:2)1) √ 2 + + = ±√ ± , если > 02) √ 2 + + = ±√ ± √, если > 03) √ 2 + + = ± ( − 0 ), где 0 — какой-либо корень 2 + + = 0б) частный случай №1:∫ (, √ 2 − 1) — замены = ch , =1) Для11,=cos sin этого достаточно сгруппировать слагаемые только при старшей и младшей степенях .это — громоздкий путь решения.2) ОбычноВесна 2018 г.4NSNOITTRUCTCURTSNOМатематический анализ 1 к.
2 с.2. Неопределенный интеграл, продолжениеCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNSTNOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITTCCUURRTSNNSTOCREDNUNOITCTC∫ (, √ 2 + 1) — замены = sh , = tan ∫ (, √1 − 2 ) — замены = sin , = cos , = tanh в) частный случай №2:∫ () √ 2 + + =ищем представление= −1 () ⋅ √ 2 + + + ∫в виде√ 2 + + (∗)Поиск коэффициентов многочлена −1 () и ∈ — по МНК: ()(∗)2 + ′= −1() ⋅ √2 + + + −1 () ⋅+(¤)⟹√ 2 + + 2√ 2 + + √ 2 + + ′(¤) ⋅ √2 + + ⟹ () = −1() ⋅ ( 2 + + ) + −1 () ⋅ ( + ) + (#)2Приравниваем в (#) коэффициенты при соответствующих степенях и находим все коэффициенты.Пример.
