TFKP_OI_elektr (ЧЁТКИЕ лекции Красновского), страница 6

+ z n + ... = ∑ z n , z < 11− zn =01= 1 − z + z 2 + ... + (−1) n z n + ... =1+ zln (1 + z ) =∞∑ ( −1)n −1n =1(1 + z )α =1 +α1!z+α (α − 1)2!z 2 + ... +∞∑ (−1)nzn , z < 1n =0zn, z <1nα (α − 1)(α − 2)...(α − n + 1)n!Пример. Найти все разложения функции f ( z ) =z n + ... , z < 11по степеням ( z + 1) .

Указать областьz+3пригодности (сходимости) каждого из разложений.1111Преобразуем f==(z) =.z + 3 2 + ( z + 1) 2  1 + z + 1 2 nn 1 ∞ ( −1) ( z + 1)11z +1Тогда при< 1 получим разложениеf (z) =.=∑22  1 + z + 1  2 n =02n2 Приz +1>12требуемоеразложениеполучаетсяпохожимобразом:11 1=f (z) = и потом воспользуемся стандартным разложением2 + ( z + 1) z + 1  1 + 2 z +1 ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д.

Морозова «Теория функций комплексного переменного»преобразуем30n n∞1 11 ∞ ( −1) 2nn +1==−1) 2n ( z + 1) .(∑∑nz + 1  1 + 2=( z + 1) n 0 z + 1 n 0=z +1 Пример. Найти все разложения функции f ( z ) =1по степеням z . Указать областьz − 5z − 62пригодности (сходимости) каждого из разложений.Сначала разложим дробь1в сумму простейших дробей (можно использовать методz − 5z − 62неопределенных коэффициентов).Получим11111 111.==−=− ⋅− ⋅7 1 + z 42 1 − zz − 5 z − 6 ( z + 1)( z − 6 ) 7 ( z − 6 ) 7 ( z + 1)62Функция f ( z ) аналитична в трёх областях: круге z < 1 , кольце 1 < z < 6 и внешности круга6 < z . Отметим, что аналитичность функции нарушается в точках z = −1 и z = 6 , через которые ипроходят границы областей.В каждой из этих областей функция f ( z ) имеет своё разложение в ряд Лорана.1 1111 ∞1 ∞ zn1.

При z < 1 имеем f ( z ) =− ⋅.−⋅=− ∑ ( −1) n z n −∑nz7 1 + z 42=742n 0=n 0 61−62. При 1 < z < 6 имеемn1 1 1111 ∞1 ∞ zn1 ∞1 ∞ znn 1n − n −11f ( z ) =− ⋅ ⋅z−⋅=− ∑ ( −1)   −=−−−()∑ 6n 7 ∑∑ .z7 z 1 + 1 42 1 − =7z n 042 n 0=42 n 0 6nz=n 0=6z3. При 6 < z имеемf (z) =111 1 11 1 1−= ⋅ ⋅− ⋅ ⋅=7 ( z − 6 ) 7 ( z + 1) 7 z 1 − 6 7 z 1 + 1zznn()1 ∞ 61 ∞1 ∞  nn 1n=6 − ( −1) z − n −1 .∑∑  − ∑ ( −1)= 7 z n 0=7n 0 z  7z n 0z==Пример.

Найти все разложения функцииВоспользуемся формулой sin 2 z =f (z) =11по степенямsin 2z+2z+21 − cos 2 z. Тогда2ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»( z + 2) .3121 − cos1z + 2 = 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ cos 2 =f ( z) =⋅22 z+2 2 z+2z+2z+22n2 n−1) (241 11 1   2  1  2  1z+2= ⋅− ⋅⋅ 1− +− ... ++ ...  =2 z + 2 2 z + 2   z + 2  2!  z + 2  4!(2n)!( −1) 22 n .1 11 ∞= ⋅− ⋅∑2 z + 2 2 n =0 ( z + 2 )2 n +1 ( 2n ) !nПолученный ряд сходится во всей комплексной плоскости за исключением точки z = −2 вкоторой нарушается аналитичность функции, т.е. в вырожденном кольце 0 < z + 2 .14.Нули и особые точки функции комплексного переменного14.1 Нули функции комплексного переменногоОпределение. Точку а ∈  называют нулем функции f ( z ) комплексного переменного z,если f (a ) = 0 .Пусть функция f ( z ) является аналитической в точке а ∈  .

Точка z = a является нулёмфункцииf (z )кратности(илипорядка)mесливыполненыусловия= f m −1 (a=f (a=) f ′(a=) f ′′(a=) ) 0 и f m (a ) ≠ 0 . Таким образом, порядок нуля совпадает снаименьшим порядком отличной от нуля производной функции f ( z ) .Из данного определения можно получить следующие равносильные утверждения:1. Точка z = a является нулём кратности m функции f (z ) , аналитической в точке a , тогдаи только тогда, когда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенствоf ( z=)m( z − a ) ϕ ( z ) , где функция ϕ ( z ) аналитична в точкеa и ϕ (a) ≠ 0 .2. Разложение функции f (z ) в точке z = a , являющейся для этой функции нулём кратностиm , имеет вид f ( z ) =∞∑ c ( z − a)n=mnn= cm ( z − a ) m + cm +1 ( z − a ) m +1 + ...

, c m ≠ 0 .3. Порядок нуля z = a для функции f (z ) можно определить как число m , при которомf ( z)  A ( z − a ) , A ≠ 0 .mz →aОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»32Пример. Найти порядок нуля z = 0 для функции f ( z ) =z5. Используя разложение вz − sin zряд Тейлора для функции sin z в окрестности точки z = 0 , получимf ( z) == z2 ⋅z5=z − sin zz5( −1) n z 2 n +1 z3 z5z −  z − + − ... +3! 5!(2n + 1)! 11 z( −1) n z 2 n −2− + ...

−3! 5!(2n + 1)!2Если положить ϕ ( z ) ===z5( −1) n z 2 n +1z3 z5− + ... −3! 5!(2n + 1)!=.11 z( −1) n z 2 n −2− + ... −3! 5!(2n + 1)!2, то станет ясно, что f ( z ) = z 2ϕ ( z ) , причёмϕ ( z ) ≠ 0 или f ( z )  Az 2 , A ≠ 0 .z →0Итак, f ( z ) =z5имеет в точке z = 0 нуль 2 порядка.z − sin z14.2 Изолированные особые точки функции комплексного переменногоТочка z = a называется особой точкой функции f (z ) , если в ней функция не определенаили теряет аналитичность.Особая точка называется изолированной особой точкой функции f (z )если она имеетокрестность, в которой нет других особых точек.Изолированную особую точку z = a однозначной функции f (z ) называют:1. устранимой особой точкой, если существует конечный предел lim f ( z ) = A ≠ ∞ ;z →a2. полюсомпорядкаm,еслисуществуетконечныйотличныйотнуляпределA , A ≠ 0 , A ≠ ∞ (ясно, что при этом lim f ( z ) = ∞ ).

Полюс первого порядкаlim f ( z )( z − a ) =mz →az →aназывают также простым полюсом;3. существенно особой точкой, если не существует ни конечного, ни бесконечного пределафункции f (z ) при z → a .Изолированная особая точка z = a ∈  функции f (z ) является:ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»331.

Устранимой особой точкой, если лорановское разложение функции f (z ) в окрестноститочки z = a не содержит отрицательных степеней( z − a ) , или, что тоже самое, отсутствуетего∞главная часть, т.е. f ( z ) = ∑ c n ( z − a ) n , при 0 < z − a < r .n =02. Полюсом порядка m, если лорановское разложение функции f ( z ) в окрестности точкиz = a имеет конечное число ненулевых слагаемых с отрицательными степенями ( z − a ) начиная с( z − a)−m, т.е.

f ( z ) =∞∑cn=− mn( z − a ) n , при 0 < z − a < r и где m > 0 и c −m ≠ 0 (число m есть порядокполюса z = a ).Иными словами, изолированная особая точка z = a ∈  для функции f ( z ) является полюсомпорядка m , если для функции 1z →aA( z − a)она является нулём порядка m .z = a - полюс порядка m дляОчевидно, чтоf ( z) f ( z)f ( z ) тогда и только тогда, когда, A≠ 0.m3. Существенно особой точкой, если лорановское разложение f (z ) в окрестности точкиz = a содержит бесконечное число ненулевых слагаемых с отрицательными степенями ( z − a ) , т.е.f ( z) =+∞∑cn = −∞nпри0< z−a < rf ( z) =2ze −1( z − a) n ,и где среди коэффициентовс −1 , с − 2 ,... естьбесконечное число нулевых.Примеры.1.Для функцииzz = 0 является устранимой, так какособая точка2z2zlim =lim= 2.z →0 e z − 1z →0 z2.Для функции f ( z ) =limz →i3.2+ zz −iимеет нуль 1 порядка.= ∞ и в этой точке функцияz −i2+zДля функции f ( z ) =limz →52+ zособая точка z = i является полюсом 1 порядка, так какz −i1( z − 5)1( z − 5)4особая точка z = 5 является полюсом 4 порядка, так как= ∞ и в этой точке функция ( z − 5) имеет нуль 4 порядка.44ОглавлениеЕ.Е.

Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»3414.Для функций f ( z ) = e z и g ( z ) = sin1особая точка z = 0 является существенно особой,zтак как не существует ни конечного, ни бесконечного предела этих функций приz → 0.14.3 Бесконечно удалённая точка как особая точка функции комплексногопеременногоПо аналогии с изолированными нулями функции, если lim f ( z ) = 0 , то z = ∞ называетсяz →∞нулём функции f (z ) . Если f ( z ) z →∞A, A ≠ 0 , то z = ∞ называется нулём функции f (z ) порядкаzmm.Аналогично определениям для конечных изолированных особых точек, особая точка z = ∞функции f (z ) является:1. устранимой особой точкой, если лорановское разложение функции f (z ) в окрестноститочки z = ∞ не содержит положительных степеней z (отсутствует его главная часть):f ( z) =∞0∑n = −∞c−n, при z > R .nn =0 zcn z n = ∑2.

полюсом порядка m , если лорановское разложение функции f (z ) в окрестности точкиz = ∞ имеет m ненулевых слагаемых с положительными степенями z :f ( z) =m∑cn = −∞nz n , при z > R , m ∈ N , cm ≠ 0 .В этом случае f ( z )  Az m , A ≠ 0 .z →∞3. существенно особой точкой, если лорановское разложение функции f (z ) в окрестноститочки z = ∞ содержит бесконечное число ненулевых слагаемых с положительными степенями zf ( z) =+∞∑czn = −∞nn, при z > R .Примеры.1.Для функцииf ( z )= 1 +1z2особая точкаz = ∞ является устранимой так как1lim  1 + 2  =1.z →∞z ОглавлениеЕ.Е.

Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»352.Для функции f ( z ) =z 3 − 3z 2 + 5i особая точка z = ∞ является полюсом порядка 3 таккак показатель старшей степени в разложении в ряд Лорана равен 3.3.Для функции f ( z ) = cos z особая точка z = ∞ является существенно особой так как несуществует ни конечного, ни бесконечного предела при z → ∞ .15.Вычеты15.1 Вычет в конечной точкеВычетомRe s f ( z ) =z =aфункцииf (z )вконечнойточкеa ∈Cназываютвеличину1∫L f ( z )dz, где L – некоторый замкнутый простой кусочно гладкий контур,2π i охватывающий точку z = a , и лежащий целиком в кольце 0 < z − a < r аналитичности функцииf (z ) .