TFKP_OI_elektr (ЧЁТКИЕ лекции Красновского), страница 2

Плоскость комплексных чиселВ теории функций комплексного переменного рассматривают плоскость комплексныхчисел, которую обозначают либо  , либо используют буквы, обозначающие комплексные числаz , w и т.п.Горизонтальная ось комплексной плоскости называется действительной осью, на нейрасполагают действительные числа z = x + 0 ⋅ i = x .Вертикальная ось комплексной плоскости называется мнимой осью, на ней располагаютчисто мнимые числа z= 0 + iy . Мнимая ось в дань исторической традиции обозначается y (ане iy ).Пример.Изобразитьнакомплекснойплоскости4числаz1= 4 − 3i ,z3 =−4 + 5i , z4 =−2 − 2i .ОглавлениеЕ.Е.

Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»z2 = 5 + 2i ,53. Комплексно сопряжённые числаЧисла z= x + iy и z= x − iy называют комплексно сопряжёнными. На комплекснойплоскости им соответствуют точки, симметричные относительно действительной оси.4.

Действия с комплексными числами в алгебраической форме4.1 Сложение комплексных чиселСуммой двух комплексных чисел z=x1 + iy1 и z=x2 + iy2 называется комплексное число12z1 + z2 = ( x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) .Такимобразом,операциясложениякомплексных чисел аналогична операции сложения алгебраических двучленов.Пример.

Суммой двух комплексных чисел z1= 3 + 7i и z2 =−1 + 2i будет комплексное числоz1 + z2 =( 3 + 7i ) + ( −1 + 2i ) = ( 3 − 1) + ( 7 + 2 ) i =2 + 9i .Очевидно, суммой комплексно сопряжённых чисел является действительное число:z + z = ( x + iy ) + ( x − iy ) = 2 x = 2 Re z .4.2 Вычитание комплексных чиселРазностью двух комплексных чисел z=x1 + iy1 и z=x2 + iy2 называется комплексное21число z1 − z2 = ( x1 + iy1 ) − ( x2 + iy2 ) = ( x1 − x2 ) + i ( y1 − y2 ) .Пример. Разностью двух комплексных чисел z1= 3 − 4i и z2 =−1 + 2i будет комплексноечисло z1 − z2 = ( 3 − 4i ) − ( −1 + 2i ) = ( 3 − ( −1) ) + ( −4 − 2 ) i = 4 − 6i .Разностьюкомплексносопряжённыхчиселявляетсячистомнимоечислоz − z = ( x + iy ) − ( x − iy ) = 2iy = 2i Im z .4.3 Умножение комплексных чиселПроизведением двух комплексных чисел z=x1 + iy1 и z=x2 + iy2 называется комплексное12числоz1 z2 =( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) =x1 x2 + iy1 x2 + iy2 x1 + i 2 y1 y2 =( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( y1 x2 + y2 x ) .образом,операцияумножениякомплексныхчиселаналогичнаоперацииалгебраических двучленов с учётом того, что i 2 = −1 .ОглавлениеЕ.Е.

Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»Такимумножения6Пример. Произведением двух комплексных чисел z1= 3 + 7i и z2 =−1 + 2i будет комплексноечисло z1 z2 =( 3 + 7i )( −1 + 2i ) =−3 − 7i + 6i − 14 =−17 − i .Произведениемкомплексносопряжённыхчиселявляетсядействительноечисло.Действительно, ( x + iy )( x − iy ) = x 2 + iyx − iyx − i 2 y 2 = x 2 + y 2 .4.4 Деление комплексных чиселЧастным двух комплексных чиселz=x1 + iy11иz=x2 + iy2 ,2z2 ≠ 0называетсяz1 z1 z2 x1 x2 + y1 y2x y −x yкомплексное число, вычисляемое по правилу==+ i 2 21 12 2 .22z2 z2 z2x2 + y2x2 + y2Иногда сначала определяют приz2x2y1z2 ≠ 0 величину = =− i 2 2 2 . Тогда22z2 z2 z2 x2 + y2x2 + y2z11и далее используется операция умножения комплексных чисел.= z1z2z2Пример.3+i=4 − 3i( 3 + i )( 4 + 3i=)( 4 − 3i )( 4 + 3i )12 + 4i + 9i − 3 9 13=+ i.16 + 925 255.

Тригонометрическая форма записи комплексного числаТригонометрическая (или полярная) форма записи комплексного числа z имеет вид=z r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , где=r z=x 2 + y 2 - модуль комплексного числа.ϕ - аргумент комплексного числа.Аргумент комплексного числа z= x + iy при x ≠ 0 вычисляется исходя из того, чтоtg ( Arg=z ) tg=ϕy. Случай когда x = 0 рассмотрен чуть ниже.xГлавное значение аргумента комплексного числа, обозначаемое arg z , есть такое значениеаргумента комплексного числа, которое удовлетворяет условию −π < arg z ≤ π (иногда, дляудобства, выбирают 0 ≤ arg z < 2π ).

Соответственно, Arg=z argz + 2kπ , где k ∈ Z .Главное значение аргумента комплексного числа можно найти по следующему правилуОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»7arctg ( y x ) , x > 0 π +arctg ( y x ) , x < 0, y ≥ 0arg z = -π +arctg ( y x ) , x < 0, y < 0π 2,=x 0, y > 0−π 2, x =0, y > 0Пример. Найдём модуль и главное значение аргумента для следующих комплексных чиселz1 = 1 + i : z1 = 2 , arg ( z1 ) = π 4 ;z2 =−1 3 ⋅ i : z2 = 2 , arg ( z2 ) = − π 3 ;z3 =−2 + 2i : z3 = 2 2 , arg ( z3 ) = 3π 4 ;z4 =−1 −i: z4 = 233 , arg ( z4 ) = −5 π 6 ;6. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме6.1 Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме=z1 r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1=При умножении двух комплексных чисел) и z2 r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) втригонометрическойформеихмодулиследуетперемножить,ааргументысложить:=z1 z2 r1r2 ( cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 ) ) , то есть z1 z2 = z1 z2 , Arg ( z=Argz1 + Argz2 .1 z2 )6.2 Деление комплексных чисел в тригонометрической форме=z1 r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 =При делении двух комплексных чисел) и z2 r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) втригонометрической форме при z 2 ≠ 0 (а значит, и r2 ≠ 0 ) модуль делимого надо разделить намодуль делителя, а аргумент делителя вычесть из аргумента делимого:z1 r1= (cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 − ϕ 2 )).z 2 r2То есть,z1z1z1, Arg==Argz1 − Argz2 .z2z2z2ОглавлениеЕ.Е.

Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»86.3 Возведение комплексного числа в целую положительную степеньПривозведениикомплексногочиславцелуюположительнуюстепеньудобнопредварительно записать его в тригонометрической форме после чего воспользоваться формулойМуавра возведения комплексного числа в целую положительную степень.z n =(r (cos ϕ + i sin ϕ )) n =r n (cos nϕ + i sin nϕ ).3ππ Пример.

( 3=+ 3i ) 3 2  cos + i sin=44  33π (3 2 )  cos 34π + i sin=4 31  154 2  −=+i−54 + 54i .=226.4 Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числаnarg z + 2kπarg z + 2kπn=r  cos+ i sin znn=k 0,1,..., n − 1Из этого,соотношения называемого формулой Муавраизвлечениякорняцелойположительной степени из комплексного числа, следует, что среди возможных значенийnz(при z ≠ 0 ) различными будут n значений, соответствующих, например, значениям k = 0, n − 1.Геометрически, все значениярадиусомnnz располагаются на окружности с центром в точке z = 0 иz и являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.Пример.

Найдём=k 0,1, 2,3 a − 1 .a1 , где a ∈  . У этого корня=1 1( cos ( 0 ) + i sin ( 0 ) ) ,Поскольку0 + 2 kπ0 + 2 kπzk =+ i sin1 cosaa2 kπ2 kπ + i sin1 cos=aa тоa различных значенийзначениякорняzk , приимеютвид . Они лежат на окружности с центром вточке z = 0 и радиусом 1, являются вершинами правильного a-угольника, вписанного в этуокружность и при этом координаты одной из вершин имеют вид (1, 0 ) .ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»9Пример.

Решим уравнение z 4 = 3 − 3i . Учтём, чтоэтогоzkуравнения4корняππ− + 2 kπ− + 2 kπ4+ i sin 43 2  cos 444− 3i )( 3=k = 0,1, 2,3 ,zk , π π 3 2  cos  −  + i sin  −   . У 4 4 которыеимеютвид , а именноππ−− 4=z0 8 18  cos 4 + i sin =44 8 π  π 18  cos  −  + i sin  −   , 16  16  ππ− + 2π− + 2π8+ i sin 4z1 =18  cos 444 8 7π7π + i sin =18  cos,1616 ππ− + 4π− + 4π+ i sin 4z2 =8 18  cos 444 8 15π15π+ i sin = 18  cos1616,ππ− + 6π− + 6π+ i sin 4z3 =8 18  cos 444 8 23π23π+ i sin = 18  cos1616.6.5 Возведение комплексного числа в рациональную степеньФормула для возведения комплексного числа в рациональную степень.

Возведениекомплексного числа z 2 ≠ 0 в рациональную степень q = m / n, где m / n - несократимая дробь,можно рассматривать как две последовательные операции: сперва возведение комплексного числав целую степень m ∈ Z , а затем извлечение из результата корня n-й степени. Учитывая,что Arg ( z m ) = mArgz , получаем qm arg z + 2kπm arg z + 2kπq=+ i sin z r  cosnnk 0,1,..., n − 1=,ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»10Пример.Найдём3значениеπ  π =z 2  cos   + i sin    .3 3 гдеz2z = 1 + 3i .Втригонометрическойиz3 =8 ( cos (π ) + i sin (π ) ) =−8Тогдаπ  π  3π  3πz= 2 2  cos   + i sin  =2 2i , z12 =2 2  cos   + i sin 2 2  2  23203формепоэтому−2 2i . =7. Комплексные ряды7.1 Комплексные числовые ряды∞Числовой ряд с комплексными слагаемыми имеет вид ∑zn=∞∑(xn=n 1=n 1Поаналогиисдействительнымичисловымиnlim =S n lim ∑=zk lim ( z1 + z2 +  + zn ) существует и конечен, то рядn →∞n →∞n →∞k =1+ iyn ) .рядами,∞∑zn =1nеслиназывают сходящимся.∞Сам этот предел называют суммой ряда S = lim S n и часто пишут в этом случае S = ∑ zn .n →∞n =1∞∑zЕсли конечный предел lim S n не существует, то рядn →∞Ряд∞∑zn =1nn =1nназывают расходящимся.называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей слагаемых этого∞ряда, т.е.

сходится ряд ∑=zn∞∑n 1=n 1=∞xn2 + yn2 .∑ zn сходится, а рядЕсли рядn =1∞∑n =1znрасходится, то ряд∞∑zn =1nназывают условносходящимся.Справедливы утверждения:∞1. Ряд ∑=zn∞∑ ( xn + iyn ) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда: ряд=n 1=n 1составленный из действительных частей, и ряд∞∑yn =12.

Ряд∞∑zn =1∞∑ xn иn =1nnn =1n∑xn =1n,, составленный из мнимых частей.абсолютно сходится тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся оба ряда:∞∑y∞.ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»11∞in.∑n =1 nПример. Исследовать на сходимость рядРяд из модулей слагаемых данного ряда имеет вид∞1∑n(вспомним, что i = 1 и поэтомуn =1i = 1 ). Это расходящийся ряд, и поэтому исходный ряд не является абсолютно сходящимся. Дляnпроверки на сходимость исходного ряда составим ряды из действительных и мнимых частей.

Дляэтого представим i в тригонометрической форме и применим формулу Муавра возведениякомплексного числа в целую положительную степень.πππnπncos + i sin + i sincosni2222 .z== =nnnnn∞∞∑x = ∑Итак,πn∞( −1) . Такой ряд сходится условно по2 = 0 − 1 + 0 + 1 + 0 − 1 + =∑246 =n 1 2nncosn=n 1=n 1nпризнаку Лейбница.Аналогично,∞∞∑ y =∑πn2 =1 − 1 + 1 −  = ( −1) . Ряд из мнимых частей также∑3 5 =n 1 2n − 1nsinn=n 1=n 1∞n −1сходится условно по признаку Лейбница.Окончательно имеем: ряд∞inсходится условно.∑n =1 n7.2 Степенные ряды в комплексной плоскостиРяд∞∑c (z − z )n =0n0n, где cn - некоторые комплексные числа, z0 - фиксированное комплексноечисло, называется степенным рядом разложенным по степеням( z − z0 ) .Числа cn называюткоэффициентами степенного ряда. Если z0 = 0 , то степенной ряд имеет вид∞∑c zn =0nn, при этомон разложен по степеням z .Теорема Абеля.

Если ряд∞∑c (z − z )n =0nn0сходится в некоторой точке z* ≠ z0 комплекснойплоскости, то он абсолютно сходится во всех точкахz , удовлетворяющих условиюz − z0 < z * − z0 . Если же этот ряд расходится в некоторой точке z = z * , то он расходится при всехz , удовлетворяющих условию z − z0 > z * − z0 .ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»12Существует такое число R > 0 , что при z − z0 < R ряд∞∑c (z − z )nn =10nабсолютно сходится,R ряд может как сходиться, так и расходиться.при z − z0 > R этот ряд расходится, а при z − z0 =z − z0 < R называют кругом сходимости степенного ряда, а число R - радиусомКругсходимости степенного ряда.Возможны вырожденные случаи:1.