TFKP_OI_elektr (ЧЁТКИЕ лекции Красновского), страница 5

Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»24Тогда f ( z ) =( u ( x, y ) + iυ ( x, y ) )=(x− y + 3 x − y + i ( 2 xy + x + 3 y + C ) )22x z=x z=y 0=y 0== z 2 + 3 z + iz + Ci ,где C - произвольное действительное число, т.е. функция f ( z ) определена с точностью до чистомнимой константы.Получим тот же самый результат через производную искомой функции (способ №3) ∂u ( x, y ) ∂u ( x, y ) −i= ( 2 x + 3 + i ( 2 y + 1) ) x z = 2 z + 3 + i .f ′( z ) = = x z=∂x∂y  y 0=y 0=Тогда f ( z ) =постоянная.∫ f ′( z )dz = ∫ ( 2 z + 3 + i )dz =Покажем,f ( z ) = z 2 + 3 z + iz + C1 =что( x + iy )C12-z 2 + 3 z + iz + C1 , где C1 - произвольная комплекснаячистомнимаяконстанта.Пустьz= x + iy .Тогда+ 3 x + 3iy + ix − y + C1 = x 2 − y 2 + 3x − y + i ( 2 xy + x + 3 y ) + C1ипоэтому C1 = iC2 , где C2 - произвольное действительное число.Отметим, что такой проверкой мы убедились в правильности способа восстановленияаналитической функции через её производную.

Иными словами, мы убедились в справедливостизамены =f ( z ) (u ( x, y ) + iυ ( x, y ))x= zy =0дляданногоконкретногопримера.Соответственно,рекомендуется делать такую проверку для каждой решаемой задачи.11.Интегрирование функций комплексного переменногоПусть на комплексной плоскости дана кусочно гладкая кривая AB , где A - начальная точкаэтой кривой, а B - конечная точка этой кривой. При этом в каждой точке этой кривой определенафункция f ( z ) . Понятие∫ f ( z ) dz - интеграла от функции f ( z ) комплексного переменногоzABвдоль кривой AB как предела интегральной суммы вводится аналогично действительномуслучаю. При этом кривая AB называется путём интегрирования.Теорема (о существовании криволинейного интеграла).

Интеграл∫ f ( z ) dzот функцииABf ( z ) по кривой AB существует, если кривая AB кусочно гладкая, а функция f ( z ) непрерывнана этой кривой.При этом если f ( z ) = u ( x, y ) + iυ ( x, y ) , то интеграл можно вычислить по формуле∫ABf ( z )dz=∫ u( x, y )dx − v( x, y )dy + i ∫ v( x, y )dx + u( x, y )dy.ABABЕсли кривая AB задана параметрическими уравнениямиОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д.

Морозова «Теория функций комплексного переменного»25 x = x ( t ), t ∈ [α , β ] , y = y ( t )то формула для вычисления криволинейного интеграла примет вид∫f ( z )dz =ABβ()β()=∫ u ( x ( t ) , y ( t ) ) x′ ( t ) − υ ( x ( t ) , y ( t ) ) y′ ( t ) dt + i ∫ υ ( x ( t ) , y ( t ) ) x′ ( t ) + u ( x ( t ) , y ( t ) ) y′ ( t ) dt ,ααβлибо, что тоже самое∫ f ( z ) dz = α∫ f ( z ( t ) ) z′ ( t ) dt .ABТеорема Коши для односвязной области. Если функция f ( z ) аналитическая в односвязнойобласти D и на ограничивающем ее кусочно гладком контуре L (т.е.

аналитическая в замкнутойобласти D ), то∫ f ( z )dz = 0 .LСледовательно, если функция f ( z ) аналитична в односвязной области D , содержащейточки z1 и z2 , то интеграл не зависит от пути интегрирования и имеет место формула НьютонаЛейбницаz2∫f (ζ )d ζ = Φ ( z2 ) − Φ ( z1 ) ,z2где Φ ( z ) - какая либо первообразная функции f ( z ) .Пример.

Вычислим интеграл3+i2∫ (1 + 2 z ) dz =( z + z ) 1−i3+i=3 + i − (1 − i ) + ( 3 + i ) − (1 − i ) =221−i= 2 + 2i + ( 9 + 6i − 1) − (1 − 2i − 1) =10 + 10i.Пример. Покажем, что интеграл от непрерывной, но не аналитической функции зависит отпути интегрирования.Вычислить интеграл=I∫ (i + 3z ) dzпо линиям, соединяющим точки z1 = 0 и z2 = 1 + i :Cа) по прямой C1 : y = x ,б) по параболе C2 : y = x 2 .ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д.

Морозова «Теория функций комплексного переменного»26Пусть z= x + iy . Тогда z= x − iy , i + 3z = 3x + i (1 − 3 y ) , а сам интеграл принимает вид=I∫ 3xdx − (1 − 3 y ) dy + i ∫ (1 − 3 y ) dx + 3xdy .C1C1Интеграл вдоль прямой y = x равен (заметим, что на прямой dy = dx )1111I = ∫ 3x − (1 − 3x )  dx + i ∫ (1 − 3x ) + 3x  dx = ∫ ( 6 x − 1) dx + i ∫ dx = 3x 2 − x 0 + i 0 = 2 + i .00001110Этот же интеграл вдоль параболы y = x 2 равен (заметим, что на параболе dy = 2 xdx )=I122∫ 3x − (1 − 3x ) 2 xdx + i ∫ (1 − 3x ) + 3x ⋅ 2 x  dx=11322∫ ( 3x − 2 x + 6 x ) dx + i ∫ (1 − 3x + 6 x ) dx=10000111()1x2 6=∫ ( x + 6 x 3 ) dx + i ∫ (1 + 3x 2 ) dx = + x 4 + i x + x 3 =2 + 2i.02 4 000Теорема Коши для многосвязной области. Пусть многосвязная область D ограниченавнешним кусочно гладким контуром L0 и внутренними кусочно гладкими контурами L1, L2,  Ln .Если функция f ( z ) аналитична в области D и на ограничивающем ее составном контуреL = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪  ∪ Ln , тоn∫ f ( z)dz = ∑∫ f ( z)dz илиk =1L0Lk∫ f ( z )dz = 0 ,Lгде интеграл по составному контуру L есть сумма интегралов по контурам L1, L2,  Ln ,ограничивающим область D и проходимым в положительном направлении обхода многосвязнойобласти (то есть тогда, когда многосвязная область остаётся всё время слева, что на внешнемконтуре соответствует движению против часовой стрелки, а на каждом из внутренних контуров движению по часовой стрелке).12.Интегральная формула КошиТеорема (интегральная формула Коши).

Пустьf ( z ) – аналитическая функция водносвязной области D и на ограничивающем ее контуре L . Тогда для любой точки z 0 ∈ Dсправедлива формулаf ( z0 ) =1f ( z)dz.∫2πi L z − z 0ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»27Правую часть этой формулы называют интегралом Коши.Стоит отметить, что если точка z0 лежит вне односвязной области D , то интеграл Коширавен нулю.Теорема (формула n-ой производной). Аналитическая в окрестности U ( z0 ) точки z0функция f ( z ) имеет в этой точке производную любого порядка n , вычисляемую по формулеf n ( z0 ) =n!f ( z)dz ,∫2π i L ( z − z0 ) n +1где L – любой простой кусочно гладкий контур, охватывающий точку z0 и целиком лежащий вU ( z0 ) .Инымисловами, аналитическая вокрестностиU ( z0 )точкифункцияz0f ( z)дифференцируема в этой точке бесконечное число раз.Эти формулы можно использовать для вычисления контурных интегралов.Пример.ВычислитьспомощьюинтегральнойформулыКошиинтегралez∫ 2 ( z − 2 ) ( z − 5) dz .

Внутрь контура интегрирования попадает только одна особая точкаz −5 =подынтегральнойфункцииz =5ипоэтомуинтегралравенe ( z − 2)2π ie5ezeze5.22dzdzii====ππ∫ z − 2 )( z − 5)∫ z −55−23z − 2 z =5z −5 2 ( =z −5 2zПример. Вычислить с помощью интегральной формулы Коши интегралz∫ ( z − 1)( z − 3) dz .z =5Внутрь контура интегрирования попадают сразу две особые точки подынтегральной функцииz = 1 и z = 3 и поэтому интеграл можно представить в виде суммы двух таких контурныхинтегралов, что внутри контура интегрирования каждого из них будет только одна особая точка:z ( z − 3)zz ( z − 1)dz =3z−z −3 1=∫ ( z − 1)( z − 3) dz = ∫ z − 1 dz + ∫z 5=z −1 1= zz= 2π i +z −1 z= z − 3 z 1= 1= 2π i  − + 233= 2π i.2ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д.

Морозова «Теория функций комплексного переменного»28Пример. Вычислить с помощью формулы n-ой производной интегралz 2 sin iz∫ππz −i =3 z −i222dz .Внутрь контура интегрирования попадает только одна особая точка подынтегральной функцииz =iπ2и поэтому∫πz −i2z 2 sin izπz −i 22dz ==32π i 2z sin iz )′=2π i ( 2 z sin iz + iz 2 cos iz ) π =(z =iπ1!z =i22; π  π π 2π 2 .= 2π i  π i sin  −  + i  i  cos  − = 222    z =i π2213.Разложение функций в ряды Тейлора и ЛоранаТеорема (о разложении в ряд Тейлора). Если функция f ( z ) аналитична в круге z − z0 < R ,то она представима в виде суммы степенного ряда:f ( z)=∞∑c (z − z )n =0n0n, z − z0 < R .f (ς )d ς, что с учетом формулы для n-ойКоэффициенты ряда имеют вид сn = 1 ∫2π i L (ς − z0 ) n +1производной приводит к формуле c n =f (n) ( z0 ), n = 0,1,2,... .

Контур интегрирования L лежит в кругеn!z − z0 < R , функция в нём аналитична и поэтому коэффициенты не зависят от выбора контура.Теорема (о разложении в ряд Лорана). Любую функцию f (z ) , аналитическую в кольцеf ( z)r < z − z 0 < R , можно в этом кольце представить суммой ряда =коэффициентами с n =+∞∑c (z − z )−∞n0nсf (ς )dς1, n ∈Z , где L - окружность z − z 0 = ρ (r < ρ < R ).∫2πi L (ς − z 0 ) n +1Ряд из неотрицательных степеней называется правильной частью ряда Лорана.Ряд из отрицательных степеней называется главной частью ряда Лорана.Таблица стандартных разложений с указанием соответствующего круга сходимостиприведена нижее z =1 + z +∞z2znzn+ ... + + ...

= ∑ , z ∈ n!2!n =0 n !ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»29cos z =1 −∞z2 z4(−1) n z 2 n(−1) n z 2 n, z ∈+ − ... ++ ... =∑2! 4!(2n)!(2n)!n =0sin z = z −∞z3(−1) n z 2 n +1(−1) n z 2 n +1, z ∈+ ... ++ ... = ∑3!(2n + 1)!n = 0 (2n + 1)!chz =+1∞z2 z4z 2nz 2n, z ∈+ + ... ++ ... =∑2! 4!(2n)!n = 0 (2n)!shz = z +∞z3z 2 n +1z 2 n +1, z ∈++ ... = ∑3! (2n + 1)!n = 0 (2n + 1)!∞1=1 + z + z 2 + ...