TFKP_OI_elektr (ЧЁТКИЕ лекции Красновского), страница 3

R = 0 . Это означает, что степенной ряд сходится в одной точке z = z0 .2. R = ∞ . В этом случае степенной ряд сходится абсолютно во всей комплексной плоскости.∞∑c (z − z )Область сходимости степенного рядаn =0nn0- множество точек z , при которыхсоответствующий числовой ряд сходится – представляет собой круг сходимости z − z0 < R ,дополненный, быть может, точками границы этого круга (некоторыми или всеми). Длянахождения круга сходимости степенного ряда достаточно применить к ряду из модулейслагаемых исходного ряда признак Даламбера или радикальный Коши (в предположениисуществования пределов limn →∞сn +1или lim n сn ).n →∞сnПример. Найти круг сходимости степенного ряда∞∑( z − 2i )n =1n2n nи исследовать данный ряд насходимость в четырёх точках границы этого круга: самой верхней, самой нижней, самой левой,самой правой:z − 2iРассмотрим ряд ∑ an , где an =2n nn =1∞фиксированномalim n +1n →∞ an∞z.значенииn +1z − 2i 2n n=limnn →∞z − 2i 2n +1 ( n + 1)nряд, составленный из модулей исходного ряда приПрименимz − 2i2кнему.

Получили, что припризнакДаламбера.z − 2i< 1 , т.е. при z − 2i < 2 , ряд2∑aсходится, следовательно исходный степенной ряд абсолютно сходится. Приприz − 2i > 2 , рядn =1n∞∑an =1nрасходится, причёмВычислимz − 2i> 1 , т.е.2lim an ≠ 0 . Следовательно, для исходногоn →∞степенного ряда не выполняется необходимое условие сходимости.Итак, множество точек z − 2i < 2 есть круг сходимости. Построим его на комплекснойплоскости.ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д.

Морозова «Теория функций комплексного переменного»13Самая правая точка границы этого круга z1= 2 + 2i , самая левая z2 =−2 + 2i , самая верхняяz3 = 4i , самая нижняя z4 = 0 .∞∑При z = z1 исходный степенной ряд примет вид− 2i )( z1 =n∞2n1. Этот ряд=∑∑nn2=n2 n n1nn 1=n 1=∞расходится. Таким образом, исходный степенной ряд в точке z1 расходится.В точке z2 исходный степенной ряд примет вид∞∑( z=2 − 2i )( −2 )=n∞∑n∞∑nn2=2n nn 1=n 1n 1=( −1)nn, откудаисходный степенной ряд в точке z2 сходится условно.∞∑В точке z3 получим ряд=n 1( z=3 − 2i )n( 2i )=n∞∑∞in∑n,nn2=2n n n 1n 1=который сходится условно (см.пример из п.

7.1). Поэтому исходный степенной ряд в точке z3 сходится условно.Для точки z4 имеем ряд∞∑z 4 −2i )(=n 1=n( −2i )=n∞∑∞∑nnn 1=n 1=2 n2 n( −1) ( i )nnn. Таким образом, исходныйстепенной ряд в точке z4 сходится условно (доказательство аналогично примеру из п. 7.1).7.3 Двусторонние степенные ряды в комплексной плоскостиВ ТФКП рассматривают ряды вида∞∑ c (z − z )n = −∞n0n= +c− n( z − z0 )n+c− n +1( z − z0 )n −1+ +c−1n+ c0 + c1 ( z − z0 ) +  + cn ( z − z0 ) +  .z − z0Областью сходимости двустороннего степенного ряда может являться кольцо r < z − z0 < R(при r < R ), дополненное, быть может, точками границы этого кольца.При этом для кольца сходимости возможны вырожденные случаиОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д.

Морозова «Теория функций комплексного переменного»141. r = 0 : 0 < z − z0 < R - проколотый круг.2. R = ∞ : 0 < z − z0 - внешность круга.3. r = 0 , R = ∞ : 0 < z − z0 - вся комплексная плоскость за исключением z = 0 .∞1zn.+∑∑n 2n n32 nn 1=n 1 z 4 ( n + 1)=Пример.

Найти кольцо сходимости двустороннего степенного ряда∞Рассмотрим для каждого из слагаемых соответствующий ряд из модулей и применим признакДаламбера.Для первого ряда limn →∞zn +12n n 2z 2n +1 ( n + 1)n2=z2z 4n ( n3 + 1)и поэтому он абсолютно сходится при z < 2 .nДля второго ряда limn →∞zn +1()4n +1 ( n + 1) + 13=1и поэтому он абсолютно сходится при4z11< 1 , т.е. при z > .4z41< z < 2 . В этом4Таким образом, кольцом сходимости исходного ряда является кольцокольце он сходится абсолютно, так как там абсолютно сходится каждый из двух составляющих егорядов.Выясним вопрос о сходимости ряда на границе кольца.При z = 2 ряд из модулей, соответствующий первому ряду, принимает вид∞1∑nn =12и поэтомусходится абсолютно. Второй ряд при z = 2 сходится абсолютно по доказанному.Приz =1ряд из модулей, соответствующий первому ряду, сходится абсолютно по4доказанному.

Для второго ряда при z =1ряд из модулей имеет вид4∞∑nn =11, следовательно,+13второй ряд также сходится абсолютно.В итоге, областью абсолютной сходимости исходного ряда является кольцо со всемиточками его границы1≤ z ≤ 2.4ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»158. Функции комплексного переменного8.1 Основные элементарные функцииПо определению для всех значений z ∈ е z =1 + z +cos z =1 −∞z2znzn+ ...

+ + ... = ∑ ,n!2!n =0 n !∞z2 z4(−1) n z 2 n(−1) n z 2 n,+ − ... ++ ... =∑2! 4!(2n)!(2n)!n =0sin z = z −∞z3(−1) n z 2 n +1(−1) n z 2 n +1.+ ... ++ ... = ∑3!(2n + 1)!n = 0 (2n + 1)!Ряды, стоящие справа, абсолютно сходятся на всей комплексной плоскости и поэтомувведение указанных функций корректно.Тогда по определению tg z =sin zcos z, при cos z ≠ 0 и ctg z =при условии sin z ≠ 0 .cos zsin zКроме того, по определению для всех значений z ∈ ch z =th=ze z + e− ze z − e− z, sh z =,22sh z e z − e − zch z e z + e − z= z − z , cth=z = z −z .ch z e + esh z e − eДля комплексных чисел сохраняют свою силу известные формулы для действительныхчисел, например:sin 2 z + cos 2 z =1,cos( z1 ± z2 ) =cos z1 cos z2  sin z1 sin z2 ,sin( z=sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2 .1 ± z2 )Замечание. Определение таких понятий как непрерывность функции в точке, пределфункции в точке остаются формально аналогичными действительному случаю.8.2 Формулы ЭйлераСправедливы формулы=eiz cos z + i sin z ,=e − iz cos z − i sin z .ТогдаОглавлениеЕ.Е.

Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»16cos z =eiz + e − iz,2sin z =eiz − e − iz.2iПервую из этих формул чаще всего называют формулой Эйлера. Это название может бытьприменено и к любой из трёх остальных.8.3 Показательная форма представления комплексного числаЕсли r , ϕ модуль и аргумент комплексного числа, то из тригонометрической формы записиz r ( cos ϕ + i sin ϕ ) и формулы Эйлера получим показательную форму=комплексного числапредставления комплексного числа z = reiϕ .В показательной форме формулы Муавра приобретают простой видnигде k 0,1,..., n − 1.z = n rei( arg z + 2 kπ ) n ,=Пример.

Найдёмкомплексное число4z n = r n einϕ41 + 3i =2e (i π 3+ 2 kπ ) 4(1 + 3i )5и41 + 3i . Сначала представим в показательной формеπiπ  π 3 .Тогда+ 3i 2  cos   + i sin =1=2e3 3 (1 + 3i )5= 2 e55πi3= 32e5πi3и, где k = 0,1, 2,3 .8.4 Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциямиСправедливы следующие соотношенияsin iz = i sh z , sh iz = i sin zcos iz = ch z , ch iz = cos ztg iz = i th z , th iz = i tg zctg iz = −i cth z , cth iz = −i ctg zС учётом приведённых свойств можно получить и две следующие формулыsin( x ±=iy ) sin xch y ± i cos x sh ycos( x ± iy ) =cos xch y  i sin x sh yПримеры.()формулы), получим: cos (1 + 3i ) = cos1 ⋅ cos ( i 3 ) − sin1 ⋅ sin ( i 3 ) = cos1 ⋅ ch1. Вычислим cos 1 + 3i .

Применяя формулы из п. 8.1 (по сути, хорошо известные3 − i sin1 ⋅ sh 3 .ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»17 π 2. Вычислим sin 1 + i  . 3 ππ π  π πАналогично, sin 1 + =i  sin1cos  i  + cos1sin  i = sin1ch + i cos1sh .33 3  3 33. Представим в алгебраической форме значениеsh (α − β ) = shα ⋅ chβ − chα ⋅ shβиформулысвязи()sh 1 − 3i . Учитывая формулумеждутригонометрическимиигиперболическими функциями, найдём()( )( )sh 1 − i 3 =sh1⋅ ch i 3 − ch1 ⋅ sh i 3 =cos 3 ⋅ sh1 − i sin 3 ⋅ ch1 .4. Аналогично можно вычислить и следующее:ch ( −1 − 2i )= ch ( −1) ⋅ ch ( −2i ) +sh ( −1) ⋅ sh ( −2i )= cos 2 ⋅ ch1 + i sin 2 ⋅ sh1 .8.5 Логарифмическая функцияЕсли eω = z , то ω называют логарифмом комплексного числа z и обозначают ω = Ln z .Логарифмкомплексногочисла–этомногозначнаяфункцияLn z =ln z + iArg z =ln z + i (arg z + 2kπ ) , k ∈ Z , в которой мнимая часть определена с точностьюдо слагаемого кратного 2π .=z ln z + i arg z .Главное значение логарифма ln z отвечает значению k = 0 и имеет вид lnПример.=1+ iПредставитьвалгебраическойформезначениеln (1 + i ) .Посколькуππππi ) ln 2 + i .

Соответственно,2  cos + i sin  , т.е. 1 + i = 2 и arg (1 + i ) = , то ln (1 + =4444πLn (1 + =i ) ln 2 + i  + 2kπ  , где k ∈  .48.6 Общая показательная и общая степенная функцииМожно говорить о возведении комплексного числа в произвольную комплексную степень.По определению полагают, что a z = e z Ln a , a ≠ 0 . При фиксированном a ≠ 0 это соотношениеопределяет, как говорят, общую показательную функцию. Как и в случае логарифма, выделяютглавное значение показательной функции a z , равное e z ln a .

Значение, заданное равенствомa z = e z Ln a , иногда называют общим значением показательной функции.ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»18С другой стороны, соотношение z a = e a Ln z при фиксированном a определяет многозначнуюфункцию в области  \ {0} , называемую общей степенной функцией.Примеры.1.

Найдём значение i1−i . С учётом того, чтоi cos=(1−i ) Lni1−iie= e== eπ− − 2 kπ2π2(1−i ) ln1+ i + 2 kπ  = e(1−i )πi + 2 kπ i = e2π2π2+ i sinπ2, получимπi + 2 kπ i − − 2 kπ2=ππ− − 2 kπππππ  − 2 − 2 kπ 2 kπ   esin  ie 2 cos + i= cos  2 + 2kπ  + i sin  2 + =22−πГлавное значение равно ie 2 .2. Найдём значение(1 + i )=1− 2 iee(1− 2 i ) Ln (1+ i )ππln 2 + + 4 kπ + i  + 2 kπ − 2ln 2 24= eπe= e(1− 2 i ) lnln 2 + + 4 kπ2(1 + i )1− 2 i. С учётом того, что=1+ iπ2 + i  + 2 kπ  4= eπln 2 + + 4 kπ2ππ2  cos + i sin  , получим44ππln 2 + i  + 2 kπ  − 2 i ln 2 + 2 + 2 kπ 44=ππ− 2 ln 2   . cos  4 + 2kπ − 2 ln 2  + i sin  4 + 2kπ=ππ cos  4 − 2 ln 2  + i sin  4 − 2 ln 2  Главное значение равно eln 2 +π2ππ cos  4 − 2 ln 2  + i sin  4 − 2 ln 2   .9.