TFKP_OI_elektr (ЧЁТКИЕ лекции Красновского), страница 4

Дифференцирование функций комплексного переменногоПонятия производной функции комплексного переменного, дифференцируемости функциикомплексногоf '( z0 ) = lim∆z → 0переменногоf ( z)аналогичныдействительномуслучаю,аименно∆f ( z0 )или ∆f =( z0 ) f ' ( z0 ) ∆z + o ( ∆z ) , где o ( ∆z ) - бесконечно малая более высокого∆zпорядка относительно ∆z при ∆z → 0 .9.1 Условия Коши-РиманаЕсли функция f ( z ) = u ( x, y ) + iυ ( x, y ) имеет конечную производную в точке z=x0 + iy0 , то0функции u ( x, y ) и υ ( x, y ) являются дифференцируемыми в точке ( x0 ; y 0 ) и в этой точкевыполняются равенства, называемые условиями Коши-Римана∂u ( x0 , y0 ) ∂υ ( x0 , y0 ),=∂x∂y∂υ ( x0 , y 0 )∂u ( x0 , y 0 ).=−∂y∂xОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»199.2 Формулы для вычисления производнойЕсли функции u ( x, y ) и υ ( x, y ) дифференцируемы в точке ( x0 ; y 0 ) и в этой точке выполненыусловия Коши-Римана, то функция f ( z ) = u ( x, y ) + iυ ( x, y ) комплексного переменного z = x + iyимеет в точке z 0 = x0 + iy 0 производную f ′( z 0 ), которую можно вычислить по одной из формул:f ′( z 0 ) =∂u ( x0 , y 0 )∂υ ( x0 , y 0 );+i∂x∂xf ′( z 0 ) =∂u ( x0 , y 0 )∂u ( x0 , y 0 );−i∂x∂yf ′( z 0 ) =∂υ ( x0 , y 0 )∂u ( x0 , y 0 );−i∂y∂yf ′( z 0 ) =∂υ ( x0 , y 0 )∂υ ( x0 , y 0 ).+i∂y∂xЕсли функция дифференцируема не только в точке z0 , но и в некоторой её окрестности, тоона называется аналитической (регулярной), в точке z0 .Если в записи аналитической функции вида u ( x, y ) + iυ ( x, y ) выполнить формальную заменуx = z , y = 0 , то получим запись функции через переменную z .

Мы не останавливаемся наобосновании такой замены, в каждом конкретном случае её справедливость рекомендуетсяпроверять отдельно. Учитывая сказанное, производную функции можно искать, например, поформуле ∂υ ( x, y )∂υ ( x, y ) f ′( z ) = +i∂x  ∂yx= zy =0.Для аналитических функций формулы дифференцирования, известные для функцийдействительного переменного, остаются в силе, например ( sin z )′ = cos z .Точки, в которых функция не является аналитической (регулярной), называются особымиточками функции f ( z ) .1Пример.

Найти область аналитичности (регулярности) функции f ( z=) z 2 − . В случаеzаналитичности функции найти её производную.Пусть z= x + iy . Тогдаf ( z ) = z2 −11x − iyxy 2= ( x + iy ) −= x 2 + 2ixy − y 2 − 2= x2 − y 2 − 2+ i  2 xy + 2.22zx + iyx +yx +yx + y2 ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»20Соответственно, u ( x, y ) = x 2 − y 2 −xyи υ ( x,=.

Проверим выполнениеy ) 2 xy + 22x +yx + y22условий Коши-Римана:∂u ( x, y )x2 + y 2 − 2x2x2 − y 2==+2x −2x,22 222 2∂x++xyxy()()∂u ( x, y )2 xy,=−2 y +2∂y( x2 + y 2 )∂υ ( x, y )2 xy,= 2y −22∂x( x + y2 )∂υ ( x, y )x2 + y 2 − 2 y 2x2 − y 2.=2x +=2x +22∂y( x2 + y 2 )( x2 + y 2 )Видно, что∂u ( x0 , y0 ) ∂υ ( x0 , y0 )∂u ( x0 , y0 )∂υ ( x0 , y0 )и, т.е. условия Коши-Римана== −∂x∂y∂y∂xвыполнены и функция регулярна везде кроме точки z = 0 .

Тогдаx2 − y 22 xy  + i 2y −f ′( z ) = 2 x +22x2 + y 2 )x 2 + y 2 )  ((x= zy =0= 2z +z21= 2z + 2 ,4zzчтосовпадаетсвыражением для производной соответствующей функции действительного переменного.Пример. Найти область регулярности функции f ( z ) = z . В случае регулярности функциинайти её производную.Пусть z= x + iy .

Тогда f ( z )= x − iy . Соответственно, u( x, y ) = x и υ ( x, y ) = − y . Проверимвыполнение условий Коши-Римана:∂υ ( x, y )∂u( x, y )∂u( x, y )∂υ ( x, y )= 0,= 1,= 0,= −1 .∂x∂x∂y∂yВидно, что∂u( x, y ) ∂υ ( x, y ), условия Коши-Римана не выполнены и функция нигде не≠∂x∂yрегулярна в комплексной плоскости.9.3 Свойства операции дифференцированияСправедливы общие правила дифференцирования:(α f ( z ) + β g ( z ))′z = z0=α f ′( z0 ) + β g ′( z0 ) ,ОглавлениеЕ.Е.

Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»21( f ( z=) g ( z ))′ z = z0 f ′( z0 ) g ( z0 ) + f ( z0 ) g ′( z0 ) ,′ f ( z)  g ( z) z = z0=f ′( z0 ) g ( z0 ) − f ( z0 ) g ′( z0 ).( g ( z0 )) 29.4 Свойства действительной и мнимой частей аналитической функцииДействительнаяимнимаячастианалитическойвнекоторойобластифункцииf ( z ) = u ( x, y ) + iυ ( x, y ) являются гармоническими функциями, так как в этой области ониявляются решениями дифференциального уравнения в частных производных, которое называетсяуравнением Лапласа∂ 2u ∂ 2u∂ 2υ ∂ 2υ,++=0= 0.∂x 2 ∂y 2∂x 2 ∂y 2При этом функцииu ( x, y ) и υ ( x, y ) называются сопряжёнными гармоническимифункциями .10.Восстановление функции комплексного переменного по еёдействительной или мнимой частиПеред тем как начинать восстанавливать аналитическую функцию f ( z ) = u ( x, y ) + iυ ( x, y ) поеё действительной части u ( x, y ) или мнимой части υ ( x, y ) необходимо убедиться, что ониявляются гармоническими функциями, т.е.

удовлетворяют уравнению Лапласа в некоторойодносвязной области.Существуют следующие способы восстановления функции комплексного переменного по еёдействительнойилимнимойчасти:спомощьюкриволинейногоинтеграла;черезнепосредственное применение условий Коши-Римана и через производную искомой функции.Рассмотрим указанные способы подробнее.10.1 Способ №1.

С помощью криволинейного интегралаПусть дана действительная часть u ( x, y ) аналитической функции f ( z ) = u ( x, y ) + iυ ( x, y ) .Функцию υ ( x, y ) по ее дифференциалу можно восстановить с помощью криволинейного∂υ∂υинтеграла: υ ( x, y )= ∫dx +dy + C=∂x∂y( x0 ; y0 )( x; y )( x; y )∫( x0 ; y0 )−∂u∂udx + dy + C , где точки ( x0 ; y 0 ) и ( x, y )∂y∂xпринадлежат области D.ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»22Соответственно, если известна мнимая часть u ( x, y ) , то действительную часть можно найти∂u∂uиз соотношения u==+Cdx + dy( x, y )∫∂x∂y( x0 ; y0 )( x; y )∂υ∂υdx −dy + C .∂y∂x( x0 ; y0 )( x; y )∫Таким способом будет получен ответ в форме f ( z ) = u ( x, y ) + iυ ( x, y ) .На практике, как правило, функции u ( x, y ) и υ ( x, y ) задаются некоторыми выражениями,включающими элементарные целые (т.е.

функции, аналитические во всей комплексной плоскости)аналитические функции типа показательной или тригонометрических. В этом случае и самуфункцию f ( z ) можно представить некоторым выражением от переменной z . В большинстветаких случаев возможно выполнить формальную замену=f ( z ) (u ( x, y ) + iυ ( x, y ))x= zy =0.Если под знаками приведённых криволинейных интегралов стоят полные дифференциалы,рассматриваемые в односвязной области D , то эти интегралы не зависят от пути интегрированияи представляют собой функции верхнего предела, т.е. переменных x и y . Если же область Dявляетсямногосвязной,тоэтиинтегралымогутзависетьотпутиинтегрирования,подынтегральное выражение не является дифференциалом функции во всей области D и дляфункции u ( x, y ) сопряжённой гармонической функции нет.10.2 Способ №2.

Непосредственное применение условий Коши-РиманаИногда более удобно непосредственно применить условия Коши-Римана.Пусть требуется определить функцию υ ( x, y ) . Из условия∂υ ( x, y )∂u ( x, y )найдём, что= −∂x∂y∂u ( x, y )∂ydx + ϕ ( y ) . При этом интеграл берётся по переменной x , а переменная y−∫υ ( x, y ) =рассматривается как параметр, от которого зависит постоянная интегрирования ϕ ( y ) . Самуфункциюϕ ( y)можнонайтиизоставшегосяусловия∂υ ( x, y )∂ ∂u ( x, y )∂u ( x, y )dx + ϕ ′ ( y ) = .=− ∫∂y∂y∂y∂xДля нахождения действительной части u ( x, y ) процедура аналогична.ОглавлениеЕ.Е.

Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»Коши-Римана2310.3 Способ №3. Через производную искомой функцииК восстановлению аналитической функции можно подойти иначе. В случае если формальнаязамена =f ( z ) (u ( x, y ) + iυ ( x, y ))x= zy =0справедлива (как уже было отмечено, на практике ейпользоваться можно), то по заданной действительной u ( x, y ) или мнимой υ ( x, y ) части (котораяявляется гармонической в односвязной области D функцией), можно найти производную по однойиз формул ∂υ ( x, y )∂υ ( x, y ) f ′( z ) = +i∂x  ∂yx= zy =0 ∂u ( x, y )∂u ( x, y ) f ′( z ) = −i∂y  ∂xx= zy =0,.Искомая функция будет являться первообразной f ( z ) = ∫ f ′( z )dz . При этом необходимоучесть, что первообразная определена с точностью до произвольной комплексной постоянной C .В связи с тем, что по условию задачи действительная (или мнимая) часть функции известна, то изуравнения Re f ( z ) + Re C =υ ( x, y ) ) можно найти действительнуюu ( x, y ) (или Im f ( z ) + Im C =(или мнимую) часть слагаемого C .

Тогда искомая функция будет определена с точностью домнимого (действительного) слагаемого.Пример. Установить, может ли функция u ( x, y ) = x 2 − y 2 + 3 x − y служить действительнойчастью некоторой аналитической функции и, если может, восстановить эту аналитическуюфункцию в виде f ( z ) .Сначала проверим, удовлетворяет ли функция u ( x, y ) = x 2 − y 2 + 3 x − y уравнению Лапласа.∂ 2 u ( x, y )∂u ( x, y )∂u ( x, y )∂ 2 u ( x, y )Вычислим,и=2= 2x + 3 ,=−2y−1= −2 . Отсюда следует, что∂x 2∂x∂y∂y 2u ( x, y ) является гармонической функцией в  2 и поэтому является действительной частьюнекоторой аналитической в  функции.Используя условия Коши-Римана (способ №2) запишем частные производные функцииυ ( x, y ) :∂v ( x, y )∂u( x, y )∂v ( x, y ) ∂u( x, y )=−=2 y + 1,== 2x + 3 .∂x∂y∂y∂xТогдаv ( x, y )=∫ ( 2 y + 1) dx + ϕ ( y )=2 xy + x + ϕ ( y )и∂v ( x, y )=2x + ϕ ′ ( y ) =2x + 3.∂yОтсюда ϕ ( y=) 3 y + C и v( x, y )= 2 xy + x + 3 y + C .ОглавлениеЕ.Е.