TFKP_OI_elektr (ЧЁТКИЕ лекции Красновского), страница 8

 = + z zzzz z  z z 3! z 5! z 7! z 9!Получили, что коэффициент при z −1 равен 1. В итоге, Resz =∞z1−c−1 =−1 .sin =z+2zПроверим выполнение теоремы о сумме вычетов:z1z1z111sin + Ressin + Ressin = 1 − 2 sin + 2 sin − 1 = 0 .z=0 z +2−2 z + 2∞ z +2z z=z z=z22ResОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»4116.Вычисление интегралов с помощью вычетовТеорема Коши о вычетах. Пусть функция f (z ) аналитична на простом контуре L и вограниченной этим контуром области D , за исключением конечного числа изолированныхособых точек aν ∈ D,ν = 1, n. Тогда∫nf ( z )dz = 2πi ∑ Res f ( z ).Lν =1z = aνПримеры. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного.1.z2∫ z − 1)( z + 2i )( z − 5) dz . Внутрь контура интегрирования попадают две особые точкиz =4 (z = 1 и z = 2i , каждая из которых является полюсом первого порядка.

Поэтомуz2z2z22ResResdziπ=+=∫ z − 1)(=z 1=z − 2i )( z − 5)( z − 1)( z − 2i ) ( z − 5) z 2i ( z − 1)( z − 2i )( z − 5) z =4 (2( 2i )1z2z2= 2π i  lim+ lim= 2π i +=z →1 ( z − 2i )( z − 5 )z=2 i ( z − 1)( z − 5 )12152125iii−−−−()()()()44  1 + 2i 1 + 2i 1 + 2i 4 + 48i = 2π i −−−= 2π i = 2π i =1 − 12i 145 −4 − 10i − 2i + 5  20 20 2029 + 58i − 16 − 192i13 − 134i134 + 13i 1 + 2i 4 + 48i .= 2π i −= 2π i= π= 2π i145 580580290 202.∫ zz =2dz. Подынтегральная функция имеет 6 полюсов первого порядка (корни уравнения+16z6 + 1 =0 ), все из которых лежат внутри контура интегрирования. Поэтому при вычисленииинтеграла удобно воспользоваться теоремой о сумме вычетов, найдя вычет в бесконечноудалённой точке.Получим∫ zz =2dz1.= −2π i Res 6z =∞ z + 1+16Очевидно, точка z = ∞ является для подынтегральной функции нулём 6-ого порядкапоскольку111= 0 (отметим попутно, что поскольку функция 6 .

Следовательно, Res 6z =∞ z + 1z + 1 z →∞ z6ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»42f (z) =1чётная, то в её лорановском разложении коэффициент при z −1 будет равен нулю).z +16∫ zИтак,z =23.dz= 0.+16∫z =5z17( z 4 + 2 ) ( z 3 + 3)32dz . Внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет7 кратных полюсов и поэтому использование теоремы Коши о вычетах приводит к большимвычислениям. Отметим что за пределами контура интегрирования конечных особых точек нет.Поэтому, если мы найдём вычет в бесконечно удалённой точке, то мы найдём и значениеконтурного интеграла через сумму вычетов во всех попадающих внутрь него особых точках.Воспользуемся теоремой о сумме вычетов:z17∫( z 4 + 2 ) ( z 3 + 3)3z =52dz = −2π i Resz =∞z17( z 4 + 2 ) ( z 3 + 3)32.Однако, в отличие от предыдущего примера, точка z = ∞ является для подынтегральнойфункции нулём 1-ого порядка поскольку f ( z ) =(zz174+ 2 ) ( z + 3)332 z →∞1.

Следовательно, вывод оzRes f ( z ) можно сделать опираясь на лорановское разложение функции f ( z ) в окрестностиz =∞бесконечно удалённой точки.Правильная часть лорановского разложения подынтегральной функции в окрестности z = ∞(при z > R ) начинается с члена(zz174+ 2 ) ( z 3 + 3)3Поэтому Resz =∞2=111 66= ⋅= ⋅ 1 − 4 +   1 − 3 +   .32z z  z z232 3z12 1 + 4  z 6 1 + 3 1 + 4  1 + 3  z  z  z   z z173z17( z 4 + 2 ) ( z 3 + 3)31, коэффициент при котором равен 1:z2=−c−1 =−1 и2∫z =5z17( z 4 + 2 ) ( z 3 + 3)32dz = 2π i .ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д.

Морозова «Теория функций комплексного переменного»4317.Вопросы для самопроверки1.Алгебраическая форма записи комплексного числа (к.ч.).2.Действия над к.ч. в алгебраической форме.3.Геометрическое представление к.ч. Плоскость к.ч.

Модуль и аргумент к.ч.4.Тригонометрическая форма записи к.ч. Действия над к.ч. в тригонометрической форме.Формулы Муавра для возведения к.ч. в целую положительную степень и для извлечениякорня целой положительной степени из к.ч.5.Последовательности комплексных чисел.6.Комплексные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Исследование рядов насходимость.7.Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости.8.Функция комплексного переменного (к.п.).

Геометрическая интерпретация. Действительнаяи мнимая части функции к.п.9.Предел функции к.п. в точке, непрерывность функции к.п., производная функции к.п.Условия Коши-Римана. Аналитические функции.10.Основные элементарные функции к.п., выделение их действительных и мнимых частей;аналитичность этих функций. Связь между тригонометрическими и гиперболическимифункциями. Вычисление значений элементарных функций.11.Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части.12.Производная функции комплексного переменного.

Условия Коши-Римана.13.Интеграл от функции комплексного переменного. Связь его с криволинейными интеграламиот функций действительных переменных. Вычислениеdzпри различных n .nzz()−0z − z0 =R∫14.Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной области.15.Независимость интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.16.Интегральная формула Коши. Формула n -ой производной от аналитической функции.17.Теоремы о разложении функции в ряд Тейлора и ряд Лорана.18.Стандартные разложения основных элементарных функций.

Нахождение всевозможныхразложений функции по заданным степеням.ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»4419.Правильные и особые точки функции комплексного переменного. Классификацияизолированных особых точек. Связь типа особой точки с видом лорановского разложенияфункции в окрестности этой точки.20.Вычет функции в изолированной особой точке (конечной).

Вычет функции в устранимой(конечной) особой точке. Формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка, вполюсе n -го порядка.21.Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Теорема о вычете функции в бесконечноудаленной точке.22.Теорема Коши о вычетах. Теорема о сумме вычетов.23.Применение вычетов для вычисления контурных интегралов.ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»4518.ЛитератураОсновная учебная литература1.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного.Операционное исчисление. Теория устойчивости.

М.: Наука, 1966. 331 с.2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Дифференциальные уравнения, Кратныеинтегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1984. 448 с.3.Власова Е.А. Ряды: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 612 с. ( Сер. Математика в техническом университете, Вып.IX).4.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов.

Под. ред. Б.П. Демидовича.М.: Интеграл-пресс, 1997. 416 с.5.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного.Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задачи и упражнения. М.: Наука, 1981.215 с.6.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Задачи ипримеры с подробными решениями. М.: УРСС, 2003.

208 с.7.Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного: Учеб. для вузов / Под ред.В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 520 с. (Сер.Математика в техническом университете, Вып. X).8.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов,т.2. -13 изд.М.: Наука, 1985. 560 с.9.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа.

/Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. т. 2.-2-е изд. М.: Наука, 1986. 368 с.10. Свешников А.Г., Тихонов А.М. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967.304 с.11. Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики, т.1. М.: Высшая школа, 1973. 480 с. Т.2.М., Высшая школа, 1973. 400 с.Дополнительная учебная литература12. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.:Наука, 1987. 688 с.13. Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы.

М.: Наука, 1971. 632 с.14. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Высшая школа,1999. 432 с.ОглавлениеЕ.Е. Красновский, В.Д. Морозова «Теория функций комплексного переменного»4615. Смирнов В.И. Курс высшей математики., Т.2. М.: ГИФМЛ, 1961. 628 с.16. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. М.: Наука, 1976. 632 с.Кафедральные издания и методические материалы17. Ванько В.И., Галкин С.В., Морозова В.Д. Методические указания для самостоятельнойработыстудентовпоразделам«Теорияфункцийкомплексногопеременного»и«Операционное исчисление», МВТУ, 1988. 28с.18.