МУ - Элементы квантовой термодинамики (МУ - Элементы квантовой термодинамики.pdf), страница 7

 êàæäîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé39èìååòñÿ îãðàíè÷åííîå ÷èñëî ðàñõîäÿùèõñÿ äèàãðàìì. Âñå ðàñõîäèìîñòè ìîæííî ñâåñòè ê ñâÿçè ìåæäó çàòðàâî÷íîé è ôèçè÷åñêîé ìàññîéýëåêòðîíà è ê ñâÿçè ìåæäó çàòðàâî÷íûì è ôèçè÷åñêèì çàðÿäîì ýëåêòðîíà. Âñå àìïëèòóäû ÊÝÄ, âûðàæåííûå ÷åðåç ôèçè÷åñêèé çàðÿä èôèçè÷åñêóþ ìàññó ýëåêòðîíà, êîíå÷íû.

Ýòî ñâîéñòâî ÊÝÄ íàçûâàåòñÿïåðåíîðìèðóåìîñòüþ.Íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî èñòèííàÿ ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè äèàãðàììû ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò îöåíî÷íîé. Íàïðèìåð äëÿ ïðîñòîé âåðøèíû, êîòîðàÿ î÷åâèäíî êîíå÷íà, îöåíêà (8.1) äàåò D = 4 − 3 − 1 = 0,òî åñòü óêàçûâàåò íà ëîãàðèôìè÷åñêóþ ðàñõîäèìîñòü. Ñèììåòðèÿ, íàïðèìåð êàëèáðîâî÷íàÿ, ìîæåò óìåíüøèòü ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè äèàãðàììû. Ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð â íèçøåì ïðèáëèæåíèè ïî îöåíêå (8.1) ðàñõîäèòñÿ êâàäðàòè÷íî, à ôàêòè÷åñêè òîëüêî ëîãàðèôìè÷åñêè, ñì.

äèàãðàììó è âû÷èñëåíèå íèæå. Ðàñõîäÿùàÿñÿ ïîääèàãðàììàìîæåò óâåëè÷èòü ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè äèàãðàììû. Êîíå÷íàÿ äðåâåñíàÿ äèàãðàììà ðàññåÿíèÿ äðóã íà äðóãå ïàðû ýëåêòðîíîâ ïðåâðàùàåòñÿ â ðàñõîäÿùóþñÿ äèàãðàììó, åñëè âñòàâèòü â íå¼ â ïðîìåæóòî÷íîìñîñòîÿíèè ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð.Íåòðóäíî ïåðå÷èñëèòü âñå ðàñõîäÿùèåñÿ äèàãðàììû ÊÝÄ. Íà÷í¼ìñ íåñóùåñòâåííûõ.1) Äèàãðàììà áåç âíåøíèõ ëèíèé, D = 4, ñîîòâåòñâóåò ñäâèãó ýíåðãèèâàêóóìà.2) Äèàãðàììû ñ îäíîé è òðåìÿ ôîòîííûìè âíåøíèìè ëèíèÿìè çàíóëÿþòñÿ ïî òåîðåìå Ôàððè.3) ×åòûðå ôîòîííûå âíåøíèå ëèíèè èìååò äèàãðàììà ðàññåÿíèÿ ñâåòàíà ñâåòå, ïî îöåíêå ëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäÿùàÿñÿ, íî êàëèáðîâî÷íàÿèíâàðèàíòíîñòü ïðèâîäèò ê å¼ ñõîäèìîñòè.Èìååòñÿ òðè âàðèàíòà ñóùåñòâåííûõ ðàñõîäÿùèõñÿ äèàãðàìì, ó âñåõôàêòè÷åñêàÿ ðàñõîäèìîñòü ëîãàðèôìè÷åñêàÿ.

Ýòî ìàññîâûé îïåðàòîðýëåêòðîíà, îïåðàòîð ïîëÿðèçàöèè âàêóóìà è âåðøèííàÿ ôóíêöèÿ.9Ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîðÏîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð â íèçøåì ïðèáëèæåíèè ïðåäñòàâëÿåò îäíîïåòëåâàÿ äèàãðàììà ðèñ.9.1 Ïðîñòàÿ îöåíêà óêàçûâàåò íà êâàäðàòè÷íóþ ðàñõîäèìîñòü, íî â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿ ñòàíåò ÿñíî, ÷òî ýòàäèàãðàììà ðàñõîäèòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêè. Âû÷èñëèì å¼ ñ ïîìîùüþ ðàçìåðíîñòíîé ðåãóëÿðèçàöèè, òî åñòü àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ïîðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. Äëÿ ýòîãî ñîõðàíèì ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà èìïóëüñîâ D êàê ñâîáîäíûé ïàðàìåòð è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó40pqµνqp−qÐèñ.

9.1: Ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð â íèçøåì ïðèáëèæåíèèD → 4 íà ïîñëåäíåì øàãå âû÷èñëåíèé. Ïðèâåäåì ñíà÷àëà íåêîòîðûåèñïîëüçóåìûå â ýòîé è äðóãèõ çàäà÷àõ òåõíè÷åñêèå äåòàëè.9.1Èíòåãðèðîâàíèå â D èçìåðåíèÿõ. ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîé, íå îáÿçàòåëüíî öåëî÷èñëåííîé, ðàçìåðíîñòè D = 4 − 2, ñíà÷àëà äåëàåòñÿ âèêîâñêèé ïîâîðîò.  åâêëèäîâîìïðîñòðàíñòâå èìïóëüñîâ ïàðàìåòð > 0 ïîääåðæèâàåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà. (Åñëè ðàñõîäèìîñòü ëîãàðèôìè÷åñêàÿ, ìîæíî ñ÷èòàòü ýòîòïàðàìåòð áåñêîíå÷íî ìàëûì.) ×òîáû ñîõðàíèòü ðàçìåðíîñòü âû÷èñëÿåìîãî âûðàæåíèÿ, ââîäèòñÿ ïàðàìåòð µ ñ ðàçìåðíîñòüþ èìïóëüñà(ìàññû).

 èíòåãðàëå ïî 4-èìïóëüñó pν âñ¼ ýòî ñâîäèòñÿ ê ïîäñòàíîâêå1 2 D −1 2d4 pµ4−D→dΩ(q ) 2 d(q )D−1i(2π)4(2π)D2(9.1)Çäåñü qν åâêëèäîâ 4-èìïóëüñ:p0 = iq4 , p = q; p2 = p20 − p2 = −q42 − q2 = −q 2 .Ïðè ýòîì ðàçìåðíîñòüþ ýëåìåíòà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè D áóäåò ÷åòâ¼ðòàÿ ñòåïåíü èìïóëüñà. Ïîñêîëüêó ïîäèíòåãðàëüíàÿôóíêöèÿ èçîòðîïíà, ñðàçó èíòåãðèðóåì ïî óãëàìZdΩD−1d4 pµ4−D2π D/22 D;→(q) 2 −1 d(q 2 )=4D/2Γ(D/2) i(2π)Γ(D/2)(4π)(9.2)Ïðàêòè÷åñêè ïðè âû÷èñëåíèè äèàãðàìì ñ ïîìîùüþ ðàçìåðíîñòíîéðåãóëÿðèçàöèè âñòðå÷àþòñÿ ñëåäóþùèå ñòàíäàðòíûå èíòåãðàëû ñ öåëî÷èñëåííûì èíäåêñîì kZIk (∆) =d4 p1(−1)k µ4−D→i(2π)4 (p2 − ∆)kΓ(D/2)(4π)D/241Z0∞D(q 2 ) 2 −1 d(q 2 )(q 2 + ∆)k(9.3)Ñ ïîìîùüþ ïåðåìåííîé z = ∆/(q 2 + ∆) îíè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç áýòòàôóíêöèþZB(α, β) =01z α−1 (1 − z)β−1 dz = Γ(α)Γ(β)/Γ(α + β)Dµ4−D ∆ 2 −kΓ(k − D/2)(9.4)Ik = (−1)(4π)D/2 Γ(k) îáðàçîâàíèè îäíîïåòëåâîãî ïîëÿðèçàöèîííîãî îïåðàòîðà ó÷àñòâóþòI1 è I2kDDDµ4−D ∆ 2 −1µ4−D ∆ 2 −21(1−)I1I1 = −Γ(1−D/2);I=Γ(2−D/2)=−2∆2(4π)D/2(4π)D/2(9.5) ïðåäåëå → 0, êîòîðûé îçíà÷àåò ñíÿòèå ðåãóëÿðèçàöèè,11∆4πµ21I2 (∆) =Γ() ≈− ln− γE + ...(4π)2∆(4π)2 4πµ2(9.6)Ó÷òåíî, ÷òî ãàììà ôóíêöèÿ èìååò ïîëþñ Γ() = 1/ − γE + ..., ãäåγE ≈ 0.5772.

Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ðàñõîäèìîñòü ïîëÿðèçàöèîííîãî îïåðàòîðà ïðè ðàçìåðíîñòíîé ðåãóëÿðèçàöèè ïðîÿâëÿåòñÿ â âèäå ïîëþñíîãî ñëàãàåìîãî.9.2Çàìå÷àíèÿ îá àëãåáðå ìàòðèö Äèðàêà â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè D.a)  ïðîñòðàñòâåâðåìåíè ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè D ìîæíî âûáðàòü îñíîâíîå ñîîòíîøåíèå ýòîé àëãåáðû â âèäåγ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν 1̂,(9.7)ñ óñëîâèåì íà ñëåä åäèíè÷íîãî îïåðàòîðà Sp(1̂) = f (D), f (D) = Dïðè âñåõ öåëî÷èñëåííûõ çíà÷åíèÿõ D.b) Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè íå ñóùåñòâóåò ìàòðèöà àíàëîãè÷íàÿ γ5 ïîòîìó ÷òî íåò àíàëîãà àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà αβγδ .

Â÷åòûð¼õ èçìåðåíèÿõ γ5 = iαβγδ γα γβ γγ γδ .c) Êàê è â ÷åòûð¼õìåðíîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè ïðèãîäÿòñÿ íåêîòîðûå ñâ¼ðòêè. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ îïåðàòîðîâ Aµ è R èç îñíîâíîãîàíòèêîììóòàòîðà ñëåäóåò ðàâåíñòâîγ µ  + Âγ µ = 2Aµ42(9.8)Óìíîæèì åãî ñïðàâà íà Rγµ . Ïîëó÷èòñÿγ µ ÂRγµ + Âγ µ Rγµ = 2RÂ(9.9)Ïîäñòàâèì òåïåðü ñíà÷àëà R = 1, çàòåì R = B̂ , ýòî ïðèâîäèò ê äâóìñîîòíîøåíèÿìγ µ Âγµ = (2 − D)Â(9.10)γ µ ÂB̂γµ = 4(AB) + (D − 4)ÂB̂(9.11)Óïðàæíåíèå. Ïîïðîáóéòå ïîäñòàâèòü R = B̂ Ĉ .9.3Ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð â ðàçìåðíîñòíîéðåãóëÿðèçàöèè.Áóêâàëüíîå ïðèìåíåíèå ïðàâèë äèàãðàììíîé òåõíèêè ê äèàãðàììå(9.1) äàåò îïåðàòîðíóþ àìïëèòóäó4p̂+mp̂−q̂+mdpSp γ µ i 2γν iiΠµν (q) = (−1)(−ie)242(2π)p −m(p − q)2 − m2(9.12)Çíàìåíàòåëè ïðîïàãàòîðîâ íåîáõîäèìî îáúåäèíèòü ñ ïîìîùüþ ôåéíìàíîâñêîé ïàðàìåòðèçàöèè.

Îáúåäèíåííûé çíàìåíàòåëü ðàâåí êâàäðàòó âûðàæåíèÿZ(p2 −m2 )(1−x)+[(p−q)2 −m2 ]x = p2 −m2 −2pqx+q 2 x = (p−xq)2 −∆, ãäå∆ = m2 − x(1 − x)q 2(9.13)Ñëåä â ÷èñëèòåëå, ïîñëå ñäâèãà ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ pν → pν +xq ν , áåç íå÷åòíûõ ïî pν ñëàãàåìûõ, âûïàäàþùèõ ïðè èíòåãðèðîâàíèè,ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèíèìàåò âèäSp{γ µ (p̂ + xq̂ + m)γ ν (p̂ − (1 − x)q̂ + m)}= Sp{γ µ (p̂ + xq̂)γ ν (p̂ − (1 − x)q̂)} + m2 Sp{γ µ γ ν }= D{(p + xq)µ (p − (1 − x)q)ν + (p + xq)ν (p − (1 − x)q)µ− g µν (p2 − m2 − x(1 − x)q 2 )}= D{2pµ pν − 2x(1 − x)(q µ q ν − q 2 g µν ) − g µν (p2 − ∆)}(9.14)(9.15)(9.16)(9.17)Îáúåäèíåííûé çíàìåíàòåëü ïîñëå ñäâèãà ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿóïðîùàåòñÿ äî (p2 − ∆)2 , à ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð ðàâåí12pµ pνdD pΠ (q) = −e µDdxi(2π)D (p2 − ∆)20µν2x(1−x)g−(q µ q ν − q 2 g µν ) 2−(p − ∆)2 p2 − ∆43µν2 4−DZZ(9.18) ïåðâîì ñëàãàåìîì (9.18) ìîæíî óñðåäíèòü ïî íàïðàâëåíèÿì èìïóëüñà pν è íàïèñàòüZ2DZpµ pνdD pp2dD pµν=2gi(2π)D (p2 − ∆)2i(2π)D (p2 − ∆)2= 2g µν (I1 + ∆I2 ) = g µν DI1(9.19)(9.20) ïîëÿðèçàöîííîì îïåðàòîðå (9.18) ñîêðàùàþòñÿ âêëàäû ïåðâîãî èòðåòüåãî ñëàãàåìûõ (êâàäðàòè÷íî ðàñõîäÿùèåñÿ) è îñòàåòñÿ òîëüêîëîãàðèôìè÷åñêè ðàñõîäÿùàÿñÿ ïîïåðå÷íàÿ ÷àñòü.

Ïðè ðàçìåðíîñòíîé ðåãóëÿðèçàöèè êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü ïîëÿðèçàöèîííîãîîïåðàòîðà îñòàåòñÿ íåíàðóøåíîé. Ïðèìåíåíèå ðàçìåðíîñòíîé ðåãóëÿðèçàöèè ïîçâîëÿåò óäåðæàòü èñõîäíóþ ñèììåòðèþ íåíàðóøåííîé âðåãóëÿðèçîâàííîì âûðàæåíèè è âî ìíîãèõ äðóãèõ çàäà÷àõ.9.4ÏåðåíîðìèðîâêàÒåïåðü íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü D = 4 − 2 è ó÷åñòü, ÷òî → 0. Ïðèýòîì ïîëó÷àåòñÿΠµν (q) = (q µ q ν − q 2 g µν )Π̃µν (q 2 )(9.21)Z 11∆8e2µν 2dxx(1−x)[−ln() − γE + ...](9.22)Π̃ (q ) =(4π)2 04πµ2Ýòî âûðàæåíèå ðàñõîäèòñÿ ïðè → 0 .

Çàìåíèì îäíàêî ôóíêöèþ(9.22) ðàçíîñòüþ Π̃µν (q 2 ) − Π̃µν (0).  îòëè÷èå îò (9.22) ýòà ðàçíîñòüîñòà¼òñÿ êîíå÷íîé ïðè ñíÿòèè ðåãóëÿðèçàöèè, òî åñòü â ïðåäåëå → 0,è îñòàâëÿåò ìàññó ôîòîíà íóëåâîé.2 Z 18em2µν 2µν) (9.23)Π̃ (q ) − Π̃ (0) =dxx(1 − x) ln( 2(4π)2 0m − x(1 − x)q 2Ââåä¼ííàÿ ïðè ðåãóëÿðèçàöèè ðàçìåðíàÿ ïîñòîÿííàÿ µ âûïàëà èç ïåðåíîðìèðîâàííîãî ïîëÿðèçàöèîííîãî îïåðàòîðà.1010.1Ðåíîðìãðóïïà â ÊÝÄÐàçëè÷íûå ïåðåíîðìèðîâêè.Âëèÿíèå âñåõ ðàäèàöèîííûõ ïîïðàâîê âáèðàþò â ñåáÿ òðè ïåðåíîðìèðîâî÷íûõ ìíîæèòåëÿ Zj . Îíè çàâèñÿò îò òî÷êè íîðìèðîâêè, â êîòîðîé44äåëàþòñÿ âû÷èòàíèÿ äëÿ óñòðàíåíèÿ áåñêîíå÷íîñòåé â íàáëþäàåìûõâåëè÷èíàõ.

Èçìåíåíèå òî÷êè âû÷èòàíèÿ îçíà÷àåò èçìåíåíèå ìàñøòàáà, òî åñòü øêàëû èìïóëüñîâ è ðàññòîÿíèé. Ñíà÷àëà, äî ïåðåõîäà êïðåäåëó, óñòðàíÿþùåìó ðåãóëÿðèçàöèþ, ìàñøòàá çàäà¼òñÿ îáðåçàþùèì èìïóëüñîì M èëè âñïîìîãàòåëüíîé ìàññîé µ, âîññòàíàâëèâàþùåé ðàçìåðíîñòü ýëåìåíòà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðè ðàçìåðíîñòíîé ðåãóëÿðèçàöèè. Ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïðåäåë íóëåâûõ ìàññ ôèçè÷åñêèõ ÷àñòèö ýëåêòðîíîâ (äðóãèìè ñëîâàìè ðàññìàòðèâàþòñÿ àìïëèòóäû ïðîöåññîâ ïðè ýíåðãèÿõ, êîòîðûå ñóùåñòâåííî áîëüøå ìàññû ýëåêòðîíà). Âñåýêñïåðèìåíòàëüíî ïðîâåðÿåìûå âåëè÷èíû äîëæíû áûòü èíâàðèàíòíûîòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ ñïîñîáà ïåðåíîðìèðîâêè, â òîì ÷èñëå îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ ìàñøòàáíîãî ïàðàìåòðà M èëè µ.  îáùåì ñëó÷àåïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåõîäà îò îäíîãî ñïîñîáà ïåðåíîðìèðîâêè ê äðóãîìó íå îáðàçóþò ãðóïïó â ìàòåìàòè÷åñêîì ñìûñëå, íî â ïðîñòîì ïðèìåðå ýòî òàê.

Èç ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïåðåíîðìèðîâàííîéâîëíîâîé√x) ñëåäóx) è òî÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèåé ψ(xx) = Z2 ψr (xôóíêöèåé ψr (xåò, ÷òî äâà âàðèàíòà ïåðåíîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè îòëè÷àþòñÿòîëüêî ÷èñëåííûì ìíîæèòåëåì (îí ìîæåò áûòü êîíå÷íûì).ψr0 =qZ2 /Z20 ψr ≡ Λ(r0 , r)ψr(10.1)Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåõîäàõ ê íîâîìó ñïîñîáó ïåðåíîðìèðîâêè ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû Λ(r0 , r) ïåðåìíîæàþòñÿ. Åäèíèöåãðóïïû ñîîòâåòñòâóåò Λ(r, r) = 1.10.2Èíâàðèàíòíûé çàðÿä.Ïåðåíîðìèðîâêè ïðîïàãàòîðà ôîòîíà è êâàäðàòà çàðÿäà îáåñïå÷èâàþòñÿ îäíèì è òåì æå ìíîæèòåëåì Z3 .