МУ - Элементы квантовой термодинамики (МУ - Элементы квантовой термодинамики.pdf), страница 2

Âàðèàöèÿ ýòîãî æå äåéñòâèÿ ïî ïîòåíöèàëó Aν (x) äàåò ïëîòíîñòüäèðàêîâñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêàej ν (x) = eψ̄γ ν ψ(1.22)Óïðàæíåíèå.Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äèðàêîâñêèé òîê óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè. Åñëè óìíîæèòü óðàâíåíèå äëÿ ψ̄(x) íà ψ(x) ñïðàâà, à óðàâíåíèå äëÿ ψ(x) íà ψ̄(x) ñëåâà è ñëîæèòü ýòè äâå ñòðîêè, ìàññà ÷àñòèöûâûïàäàåò è îñòàåòñÿ ∂ν ψ̄γ ν ψ = 0.8•Çàðÿäîâîå ñîïðÿæåíèå.Ñðàâíèì çàðÿäîâîñîïðÿæåííîå óðàâíåíèå Äèðàêà[γ ν (i∂ν + eAν ) − m]ψc = 0(1.23)ñ äèðàêîâñêèñîïðÿæåííûì è òðàíñïîíèðîâàííûì[(i∂ν + eAν )γ̃ ν + m]ψ̄˜ = 0(1.24)Óðàâíåíèå (1.24) ïåðåéäåò â (1.23), åñëè íàéäåòñÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöàçàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ Uc òàêàÿ, ÷òîUc+ γ̃ ν Uc = −γ ν ,(ψc = Uc ψ̄˜)(1.25)Óïðàæíåíèå.Ïðîâåðüòå, ÷òî ìàòðèöà çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ Uc = eiθ γ2 γ0 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.25) ïðè ïðîèçâîëüíîé ôàçå θ.Ñâîéñòâà ìàòðèöû çàðÿäîâîãîñîïðÿæåíèÿ âèäíû, íàïðèìåð, èç å¼0 σ2.

Èç òîãî ÷òî σ˜2 = −σ2 èσ2 0σ2+ = σ2 ñëåäóåò, ÷òî Ũc = −Uc è Uc+ = Uc . Íåòðóäíî òàêæå ïðîâåðèòü,÷òî Uc−1 = Uc .áëî÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Uc = eiθ2Êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ2.1ÊâàíòîâàíèåÎáîéòè ñâÿçàííûå ñ âîëíîâûì óðàâíåíèåì îãðàíè÷åíèÿ ìîæíî, èçìåíèâ èíòåðïðåòàöèþ åãî ðåøåíèé, ïðèäàâ èì îïåðàòîðíûé ñìûñë.Ýòîò ïîäõîä íàçûâàåòñÿ êâàíòîâàíèåì è åãî ïðîùå âñåãî ìîæíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, èñïîëüçóÿ êàê ïðèìåð ëàãðàíæèàí (1.1). Ñíà÷àëà âñåíåîáõîäèìûå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïàðû ñîïðÿæåííûõ äðóã äðóãó îáîáùåííûõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ.

 ãàìèëüòîíîâîé ìåõàíèêå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ýòî áûëî áû êîíå÷íîå ÷èñëî ïàðâèäà (qk , pk ).  ñêàëÿðíîé òåîðèè ïîëÿ òàêàÿ ïàðà ýòî (ϕ(x), π(x) =δL/δ ϕ̇(x) = ϕ̇(x)), òî åñòü ïàðû îáðàçóþò íåïðåðûâíûå ôóíêöèè îòîáû÷íûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò, çàìåùàþùèõ èíäåêñ k è ÷èñëîñòåïåíåé ñâîáîäû ïîëÿ áåñêîíå÷íî. Çàòåì êàæäàÿ èç êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ îáúÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ñ îïðåäåë¼ííûìè ïðàâèëàìè êîììóòàöèè.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå êàê èçâåñòíî[qj , pk ] = i~δjk ,[qj , qk ] = [pj , pk ] = 0 .9(2.1)Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ îñíîâûâàåòñÿ íà àíàëîãè÷íûõ êîììóòàòîðàõ[ϕ(x), π(y)] = i~δ(x − y) ,[ϕ(x), ϕ(y)] = [π(x), π(y)] = 0(2.2)Ðåçóëüòàò êâàíòîâàíèÿ â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîçíà÷åí. Âèä îïåðàòîðà, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ èç íåêîòîðîé ôóíêöèè f (ϕ, π) çàâèñèò îò òîãî, â êàêîì ïîðÿäêå ïåðåä êâàíòîâàíèåì ðàññòàâëåíû ñîìíîæèòåëè âïðîèçâåäåíèÿõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ â ýòîé ôóíêöèè.

Ãàìèëüòîíèàíñâîáîäíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ1H = [π 2 |x| + (∇ϕ)2 + m2 ϕ2 |x|2 ]2(2.3)íå ñîäåðæèò ïðîèçâåäåíèé ϕ(x) è π(y), ïîýòîìó êâàíòîâàíèå ïðîõîäèò îäíîçíà÷íî. Íî â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ãàìèëüòîíèàí èóðàâíåíèå ÊÃÔ ñîäåðæàò ñâÿçûâàþùèé ðàçíûå ñòåïåíè ñâîáîäû îïåðàòîð ∇ (ãðàäèåíò îáðàçóåòñÿ èç çíà÷åíèé ïîëÿ â ñîñåäíèõ òî÷êàõ).Ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà â èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèåZdp(2.4)(2π)3Ñâîáîäíîå ïîëåp ϕ(t, p) ïðè ôèêñèðîâàííîì p êîëåáëåòñÿ ñ ÷àñòîòîéωp = p = m2 + p2 . Èìååòñÿ òàêæå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÊÃÔ ñ ÷àñòîòîé −p .

Êîëåáàíèÿ ïîëÿ ñ ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè p íåçàâèñèìû èîáðàçóþò ïîëíûé íàáîð ïëîñêèõ âîëí, ïî êîòîðîìó ìîæíî áûëî áûðàçëîæèòü ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Îäíàêî óäîáíåéèñïîëüçîâàòü îñöèëëÿòîðíûé áàçèñ.ϕ̃(t, x) =2.2eixp ϕ(t, p)Ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðàÍàïîìíèì, êàê ïîëó÷àåòñÿ íàáîð ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðà (ñ ìàññîé m = 1 äëÿ óïðîùåíèÿ). Îïåðàòîðû êîîðäèíàòû è èìïóëüñà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïîíèæàþùèé a ≡ a− è ïîâûøàþùèé a+ ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû1q = √ (a+ + a) ,2ωrp=iω +(a − a)2(2.5)Ïðè ýòîì ïðàâèëî êîììóòàöèè [a, a+ ] = 1 ñîãëàñîâàíî ñ (2.1). Ãàìèëüòîíèàí â äâóõ ïðåäñòàâëåíèÿõ èìååò âèä11H = (p2 + ω 2 q 2 ) = ω(a+ a + )2210(2.6)Ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ |ni óäîâëåòâîðÿþò îïåðàòîðíûì ñîîòíîøåíèÿì (â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ)a |0i = 0 ,|ni = (a+ )n |0i(2.7)Óïðàæíåíèå 2.1.

Ïðîâåðüòå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ êîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå [H, a± ] = ±ωa± è ïîëó÷èòå ñ åãî ïîìîùüþ ñïåêòð îñöèëëÿòîðà1En = ω(n + )22.3(2.8)Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèåÀíàëîãè÷íî êàæäàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû êîìïîíåíòà Ôóðüå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñâîè íåçàâèñèìûå ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû.Çäåñü îïåðàòîðû ðàññìàòðèâàþòñÿ ñíà÷àëà â ïðåäñòàâëåíèè Øð¼äèíãåðà, à çàòåì â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè è ïðè îäèíàêîâûõâðåìåíàõ óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì3[ap , a+k ] = (2π) δ(p − k) ,+[ap , ak ] = [a+p , ak ] = 0 ,(2.9)ñîãëàñóþùèìñÿ ñ êîììóòàòîðàìè (2.2). Èñïîëüçóÿ òàêóþ æå êàê ó îñöèëëÿòîðà ñâÿçü îïåðàòîðîâ êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ ñîïåðàòîðàìè a±p , ìîæíî íàïèñàòü ñïåêòðàëüíûå ðàçëîæåíèÿ ñêàëÿðíûõ ïîëåé (ñíà÷àëà äëÿ óïðîùåíèÿ ïðè t = 0)dp1−ipxp (a+=+ ap eipx )pe(2π)32p1ipx dpp (a+−p + ap )e(2π)32p(2.10)Z rZ rp + −ipxp +dpipx dpπ(x) = i(ap e− ap eipx )=i(a−a)ep2(2π)32 −p(2π)3(2.11)Óïðàæíåíèå 2.2. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ðàçëîæåíèé è ñîîòíîøåíèÿ (2.3)ïîëó÷èòå êîììóòàòîð è ãàìèëüòîíèàí ñêàëÿðíûõ ïîëåé.ZZdpdp0dp1+[ϕ(x), π(y)] = iδ(x−y), H = (...)=(aa+[ap , a+pppp ])63(2π)(2π)2(2.12)Çäåñü ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå áåñêîíå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ.Ýêâèäèñòàíòíîñòü óðîâíåé ýíåðãèè îñöèëëÿòîðà îòêðûâàåò âîçìîæíîñòü äðóãîé, íå ëåñòíè÷íîé, èíòåðïðåòàöèè îïåðàòîðîâ a+p è ap :+ãîâîðÿò, ÷òî îïåðàòîð ap ðîæäàåò ÷àñòèöó ñ èìïóëüñîì p è ýíåðãèåép , à îïåðàòîð ap å¼ óíè÷òîæàåò.

Ïðè ýòîì ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà a+p ap , öåëîå ÷èñëî np , ýòî ÷èñëî ÷àñòèö â äàííîì ñîñòîÿíèè (à11Zϕ(x) =Zíå íîìåð óðîâíÿ). Ïðè ïåðåõîäå â ïðåäñòàâëåíèå Ãåéçåíáåðãà ñíà÷àëàïèøåìiHt ± −iHta±ap e= e±ip t a±(2.13)p (t) = ep,Ïðîñòîé ñïîñîá ïðîâåðèòü ýòî ðàâåíñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü åãî ïî âðåìåíè.

(Âîçíèêàþùèé ïðè ýòîì êîììóòàòîð[H, a±p ] àíàëîãè÷åí òîìó,êîòîðûé èñïîëüçîâàëñÿ â óïðàæíåíèè 2.1.)Òåïåðü âèäíî, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ñïåêòðàëüíûå ðàçëîæåíèÿ ïîëåé â ïðåäñòàâëåíèè Ãåéçåíáåðãà, íóæíî â óðàâíåíèÿõ (2.10) è(2.11) çàìåíèòü−ipxipxip t−ipxa+→ a+≡ a+,pepepe2.4ap eipx → ap e−ipxÊîððåëÿòîð (â ïðåäñòàâëåíèè Ãåéçåíáåðãà)Êîððåëÿòîðû, òî åñòü ñðåäíèå ïî âàêóóìíîìó ñîñòîÿíèþ îò ïðîèçâåäåíèé îïåðàòîðîâ ïîëåé, èãðàþò âàæíóþ ðîëü â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Êàê áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøèõ ïðèìåðîâ, òàêîãî âèäàìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ñîäåðæàò â ñåáå ïî÷òè âñ¼, ÷òî íåîáõîäèìî äëÿïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé è ÷àñòî ïîçâîëÿþò îáîéòèñü áåç ïðÿìîãî îáðàùåíèÿ ê âîëíîâûì óðàâíåíèÿì. Äëÿ íà÷àëà ñ ïîìîùüþ ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ âû÷èñëèì äâóõòî÷å÷íûé êîððåëÿòîð, àìïëèòóäó ïåðåõîäà ÷àñòèöû èç ìèðîâîé òî÷êè y â ìèðîâóþ òî÷êó x,Z=D(x − y) ≡ h0| ϕ(x)ϕ(y) |0i (2.14)dpdk 1ikyipxph0| (a++ ak e−iky ) |0i (2.15)+ ap e−ipx )(a+peke6(2π)4p k ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ ïî âàêóóìó òîëüêî ïîä÷åðêíóòûå ñëàãàåìûåâ ñêîáêàõ ó÷àñòâóþò â îáðàçîâàíèè ïðàâîé ÷àñòè, âêëàä îñòàëüíûõñëàãàåìûõ íóëåâîé+3h0| ap a+k |0i = h0| [ap , ak ] |0i = (2π) δ(p − k)Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî k = p è êàê ñëåäñòâèå k0 = p0 , ïîëó÷àåì êîððåëÿòîðdp 1 −ip(x−y)e(2π)3 2p(2.16)Çàìåòèì, ÷òî ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû ïîä èíòåãðàëîì ëîðåíöèíâàðèàíòåí,à ìåðà èíòåãðèðîâàíèÿ äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå â ëîðåíöèíâàðèàíòíîéôîðìåZZdp= d4 pδ(p2 − m2 )(2.17)2p12D(x − y) =Zdp 1 −ip0 x0 +ik0 y0 +ip(x−y)e=(2π)3 2pZp0ΓRΓF−p0pÐèñ.

2.1: Êîíòóðû èíòåãðèðîâàíèÿ ΓR äëÿ çàïàçäûâàþùåé è ΓF äëÿôåéíìàíîâñêîé (ïðè÷èííîé) ôóíêöèè Ãðèíà óðàâíåíèÿ ÊÃÔÄëÿ ïðîâåðêè ñîîòâåòñòâèÿ äâóõ ïðåäñòàâëåíèé äîñòàòî÷íî â ïðàâîé÷àñòè ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî p0 , îäíàêî ðåçóëüòàò èíòåãðèðîâàíèÿ çàâèñèò îò âûáîðà êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ íà ïëîñêîñòè p0 , ñì. ñëåäóþùèé ðàçäåë.2.5Ïðîïàãàòîð ñêàëÿðíîãî ïîëÿÎäèí èç ñïîñîáîâ ó÷åñòü âçàèìîäåéñòâèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñ íåêîòîðûìäðóãèì ïîëåì ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû äîáàâèòü â óðàâíåíèå ÊÃÔ ïðàâóþ÷àñòü. Ñòàíäàðòíàÿ çàäà÷à èìååò âèä óðàâíåíèÿ(− − m2 )G(x − y) = δ (4) (x − y)(2.18)ñ îïðåäåëåííûìè íà÷àëüíûìè (êîíå÷íûìè) óñëîâèÿìè.

 èìïóëüñíîìïðåäñòàâëåíèè (2.18) ñòàíîâèòñÿ ïðîñòûì àëãåáðàè÷åñêèì ñîîòíîøåíèåì, èç êîòîðîãî äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà ïîëó÷àåòñÿ ôîðìàëüíî∞dp0G(x − y) =−∞ 2πZZdp e−ip(x−y),(2π)3 p20 − 2pp =pm2 + p2(2.19)Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî p0 âîçìîæíû ÷åòûðå âàðèàíòà îáõîäà ïîëþñîâ ïîäèíòåãðàëüíîãî âûàæåíèÿ, êàæäîìó èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåòñâîå íà÷àëüíîå (êîíå÷íîå) óñëîâèå. Ðàññìîòðèì äâà èç ýòèõ âàðèàíòîâ ïîäðîáíåé (ñì. ðèñ.

2.1). Ïîä èíòåãðàëîì ïî p0 ýêñïîíåíòà óáûâàåòëèáî â âåðõíåé, ëèáî â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè, â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âðåìåíàìè x0 , y0 . Êîíòóð çàìûêàåòñÿ áîëüøîé ïîëóîêðóæíîñòüþ, ïðîõîäÿùåé òàì, ãäå ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ óáûâàåò.13a) Èíòåãðèðóåì ïî êîíòóðó ΓR ; ïðè x0 > y0 êîíòóð ìîæíî çàìêíóòü òîëüêî â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè, ðåçóëüòàò áóäåò, ñ îáðàòíûìçíàêîì, ñóììîé âû÷åòîâ â äâóõ ïîëþñàõ p0 = ±p .d3 p ip (x0 −y0 )+ip(x−y)−ip (x0 −y0 )+ip(x−y)e−e2p(2.20) ïåðâîì ñëàãàåìîì çàìåíÿåì ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ p → −p,òîãäà ïîêàçàòåëü ïåðâîé ýêñïîíåíòû áóäåò ëîðåíöèíâàðèàíòíûì (êàêè ïîêàçàòåëü âòîðîé) è êàæäîå èç ñëàãàåìûõ ñâîäèòñÿ ê êîððåëÿòîðó,ñì.

(2.16).Ó÷òåì åù¼, ÷òî ïðè x0 < y0 êîíòóð ìîæíî çàìêíóòü òîëüêîâ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ãäå íåò ïîëþñîâ, ðåçóëüòàòîì áóäåò íîëü.iGR (x − y) =(2π)3ZGR (x − y) = iθ(x0 − y0 )[D(y − x) − D(x − y)]= −iθ(x0 − y0 ) h0| [ϕ(x), ϕ(y)] |0i(2.21)Òî ÷òî ïîëó÷èëîñü, íàçûâàåòñÿ çàïàçäûâàþùåé ôóíêöèåé Ãðèíà óðàâíåíèÿ ÊÃÔ.b) Òåïåðü èñïîëüçóåì êîíòóð ΓF . Ïðè x0 > y0 âêëàä äàåò ëåâûéïîëþñ, à ïðè x0 < y0 ïðàâûé ïîëþñ. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþïîëó÷àåòñÿGF (x−y) = −i[θ(x0 −y0 )D(x−y)+θ(y0 −x0 )D(y−x)] ≡ h0| T ϕ(x)ϕ(y) |0i(2.22)Ýòî ïðè÷èííàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà ôåéíìàíîâñêèé ïðîïàãàòîð. ÇäåñüT îïåðàòîð óïîðÿäî÷åíèÿ ïî âðåìåíè, ðàñïîëàãàþùèé ñîìíîæèòåëè òàê, ÷òáû èõ âðåìåííûå àðãóìåíòû âîçðàñòàëè ñïðàâà íàëåâî.Îïðåäåëÿÿ ôåéíìàíîâñêèé ïðîïàãàòîð, ìîæíî èíòåãðèðîâàòü íå ïîêîíòóðó ΓF , à ïî äåéñòâèòåëüíîé îñè p0 , ñìåñòèâ ïðè ýòîì ïîëþñàïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, ïðàâûé âíèç, à ëåâûé ââåðõ ñ ïîìîùüþìàëîé ìíèìîé äîáàâêè ê ìàññå m → m − iδ, δ → 0+.

Ñòàöèîíàðíîåñîñòîÿíèå (ïëîñêàÿ âîëíà) ñòàíîâèòñÿ çàòóõàþùèì êâàçèñòàöèîíàðíûì, ñ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàþùåé ïðè t → ∞ àìïëèòóäîé (òîëüêîïðè δ > 0). Ôåéíìàíîâñêèé ïðîïàãàòîð îáåñïå÷èâàåò çàòóõàíèå ðåçîíàíñà â áóäóùåì.2.6Àíòè÷àñòèöûÏðîäåìîíñòðèðóåì êàê îíè ââîäÿòñÿ ïðè êàíîíè÷åñêîì êâàíòîâàíèèíà ïðèìåðå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ñíîâà âîçüìåì åãî ðàçëîæåíèå ïî ïîëíîìó íàáîðó ðåøåíèé ñâîáîäíîãî óðàâíåíèÿ ÊÃÔ1ϕ(x) =(2π)3Zd3 p (+) i(−p t+px)i(p t+px)[Ap e+ A(−)]p e2p14(2.23)pñ p =m2 + p2 > 0.