МУ - Элементы квантовой термодинамики (МУ - Элементы квантовой термодинамики.pdf), страница 6

Òåïåðü âèäíî, ÷òî ñóììû ïî èíÇäåñü ó÷òåíî, ÷òî γ0 Mµνäåêñàì ñïèíîðîâ îáðàçóþò äâå ïîëÿðèçàöèîííûå ìàòðèöû ïëîòíîñòèýëåêòðîíîâ.1X λ1hM M i =ū Mνµ uκ ūκ Mµν uλ = Sp[(pˆ1 + m)Mνµ (pˆ2 + m)Mµν ]44∗κ,λ(6.16)Çäåñü âîçíèêàþò ÷åòûðå ñëàãàåìûõ, ïðîèñõîäÿùèå îò äâóõ äèàãðàìì.Ïðè âû÷èñëåíèè ñëåäà äîñòàòî÷íî ÿâíî âûïèñûâàòü òîëüêî ÷èñëèòåëü. Íàïèøåì ïîäðîáíåé âêëàä â íåãî îò êâàäðèðîâàíèÿ ïåðâîé êîìïòîíîâñêîé äèàãðàììû.1Q = Sp[(p̂1 + m)γν (p̂1 + k̂1 + m)γµ (p̂2 + k̂2 + m)γ ν ]41= 4 Sp[(2m − p̂1 )(p̂1 + k̂1 + m)(2m − p̂2 )(p̂2 + k̂2 + m)]4= Sp{[2m2 + m(p̂1 + 2k̂1 ) − p̂1 (p̂1 + k̂1 )][2m2 + m(p̂1 + 2k̂1 ) − p̂1 (p̂1 + k̂1 )]}Q = 16m4 + 4m2 [((p1 + 2k1 )(p2 + 2k2 )) − 2(p1 (p1 + k1 )) − 2(p2 (p2 + k2 ))](6.17)+ Sp[p̂1 (p̂1 + k̂1 )p̂2 (p̂2 + k̂2 )]33Ðåçóëüòàò ñíà÷àëà âûðàçèì ÷åðåç îáùåóïîòðåáèòåëüíûå èíâàðèàíòû,òðè ìàíäåëüøòàìîâñêèå ïåðåìåííûå, ñâçàííûå îäíèì óñëîâèåì.

 äàííîì ñëó÷àå ýòîs = (p1 + k1 )2 = (p2 + k2 )2 ,t = (p1 − p2 )2 = (k1 − k2 )2 ,u = (p1 − k2 )2 = (k1 − p2 )2 ,s + t + u = 2m2 .(6.18)Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ñëåäà (õîðîøåå Óïðàæíåíèå) è ïîäñòàíîâêè 2(p1 k1 ) =s − m2 , ..., 2(p1 p2 ) = 2m2 − t = s + u âêëàä â êâàäðàò ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îò êâàäðàòà ïåðâîé äèàãðàììû ïðèíèìàåò âèäf (s, u) =2[(s + m2 )2 − (s − m2 )(s − u)]22(s − m )(6.19)Çíàìåíàòåëü ïðîèñõîäèò îò êâàäðàòà ýëåêòðîííîãî ïðîïàãàòîðà.

Ïåðåñòàíîâêà àðãóìåíòîâ s ←→ u äà¼ò âêëàä êâàäðàòà âòîðîé äèàãðàììû f (u, s).(6.20)77.1Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêèÑêåëåòíûå äèàãðàììû è îäåòûå äèàãðàììûÊÝÄ ïðîöåññ â íèçøåì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé ïðåäñòàâëÿåòñÿñêåëåòíûì ôåéíìàíîâñêèì ãðàôèêîì, òî åñòü äèàãðàììîé, èìåþùåéïðè çàäàííûõ âíåøíèõ êîíöàõ ìèíèìàëüíîå ÷èñëî âåðøèí èëè íàáîðîì ñêåëåòíûõ (íåïðèâîäèìûõ) äèàãðàìì. Íàïðèìåð eγ ðàññåÿíèåîïèñûâàþò äâå äðåâåñíûå, òî åñòü áåñïåòëåâûå, ñêåëåòíûå äèàãðàììû. ñëåäóþùèõ ïîðÿäêàõ ê ñêåëåòíûì äèàãðàììàì äîáàâëÿþòñÿ âåðøèíû è ëèíèè, íî íå âíåøíèå êîíöû. Ïðîèñõîäèò "îäåâàíèå"ñêåëåòíûõäèàãðàìì óñëîæíåíèå èõ âåðøèí è ëèíèé. Ìîãóò âîçíèêàòü òàêæåíîâûå ñêåëåòíûå äèàãðàììû, íå ñâîäÿùèåñÿ ê óñëîæííèþ âåðøèí èëèíèé ïðåäûäóùèõ ãðàôèêîâ.

Ó÷åò âûñøèõ ïîðÿäêîâ òåîðèè âîçìóùåíèé ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü òàê.Ñíà÷àëà îòäåëüíî ñóììèðóþòñÿ âñå ïîïðàâêè ê ëèíèÿì è ê âåðøèíå. Ïðè ýòîì â ïðåäåëå ïîëó÷àþòñÿ òî÷íûå ïðîïàãàòîðû è òî÷íàÿâåðøèííàÿ ÷àñòü. Çàòåì ñóììèðóþòñÿ âñå âêëàäû ñêåëåòíûõ ãðàôèêîâ ñ òî÷íûìè ëèíèÿìè è âåðøèíàìè âìåñòî ëèíèé è âåðøèí íèçøåãîïðèáëèæåíèÿ çàòðàâî÷íûõ.Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê ïðîïàãàòîðàì.347.2Óðàâíåíèÿ Äàéñîíà ØâèíãåðàÊîìïàêòíûìè (îäíî÷àñòè÷íî íåïðèâîäèìûìè) íàçûâàþòñÿ ãðàôèêè,êîòîðûå íåâîçìîæíî ðàçáèòü íà ÷àñòè, ñîåäèíåííûå òîëüêî îäíîé ëèíèåé (îäíèì ñâîáîäíûì ïðîïàãàòîðîì).  íèçøåì ïðèáëèæåíèè êîìïàêòíàÿ äèàãðàììà îáðàçóåòñÿ îäíîé ïåòëåé. Òî÷íûé ïðîïàãàòîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñâîáîäíûé ïðîïàãàòîð ïëþñ áåñêîíå÷íàÿ öåïî÷êà êîìïàêòíûõ ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêèõ ÷àñòåé, ñâÿçàííûõ ïîïàðíî ñâîáîäíûì ïðîïàãàòîðîì.

 ñëó÷àÿõ ýëåêòðîíà è ôîòîíà, ñîîòâåòñòâåííî, ýòî ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì, â êîòîðûõ óòîëùåííûå ëèíèè îáîçíà÷àþò òî÷íûå ïðîïàãàòîðû, à òî÷íûå êîìïàêòíûåñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêèå ÷àñòè çàøòðèõîâàíû.=+G(p) = G0 (p) +G0 (p)Σ(p)G(p)=(7.1)+(0)(0) αβDµν (k) = Dµν (k) +DµαΠ (k)Dβν (k)(7.2)Ðåøåíèå ýëåêòðîííîãî óðàâíåíèÿ ÄàéñîíàØâèíãåðà (7.1) èìååòâèä11(7.3)=p̂−m−Σ(p)+i0G−1−Σ(p)0 í¼ì êîìïàêòíàÿ ñîáñòâåííîýíåðãåòè÷åñêàÿ ÷àñòü Σ(p) äîáàâëÿåòñÿê ìàññå è, ñîîòâåòñòâåííî, íàçûâàåòñÿ òàêæå ìàññîâûì îïåðàòîðîì. Âíèçøåì ïðèáëèæåíèè ìàññîâûé îïåðàòîð ðàâåíZ1gµνd4 k(1)2µνΣ (p) = −eγγ(7.4)p̂ − k̂ − m + i0 k 2 − λ2 + i0 i(2π)4G(p) =Àíàëîãè÷íî, åñëè âìåñòî ñâîáîäíûõ ïðîïàãàòîðîâ íàïèñàòü òî÷íûå èâìåñòî îäíîé èç γ ìàòðèö, íàïðèìåð â ïðàâîé âåðøèíå, ïîäñòàâèòüòî÷íóþ âåðøèííóþ ôóíêöèþ Γν (p − k, p), ïîëó÷èòñÿ âûðàæåíèå äëÿòî÷íîãî ìàññîâîãî îïåðàòîðà2Σ(p) = −eZd4 kγ G(p − k)Γ (p − k, p)Dµν (k)i(2π)4µν(7.5)Óïðàæíåíèå.

Íàðèñóéòå ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ýòîãî ðàâåíñòâà.Çàòåì äîáàâüòå ðÿäîì ñ ëåâîé âåðøèíîé òîíêóþ ôîòîííóþ ëèíèþ,35èçîáðàæàþùóþ ñàìóþ ïðîñòóþ ðàäèàöèîííóþ ïîïðàâêó ê ëåâîé âåðøèíå. Ìîæíî ëè ýòó àìïëèòóäó èçîáðàçèòü òàê, ÷òîáû òà æå ïîïðàâêàîòíîñèëàñü ê ïðàâîé âåðøèíå? (Åñëè äà, òî âñå âîçìîæíûå ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè ê ëåâîé âåðøèíå óæå ó÷òåíû â ïðàâîé âåðøèíå.)Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî îáà âûðàæåíèÿ, äëÿ Σ(1) (p) è äëÿ Σ(p), ñîäåðæàòðàñõîäÿùèåñÿ èíòåãðàëû.7.3Ïðîïàãàòîð ôîòîíà ôîòîííîì óðàâíåíèè Äàéñîíà êâàäðàòèê ñ îòìå÷åííûìè íà ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîíàõ òî÷êàìè îáîçíà÷àåò ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð êîìïàêòíóþ ñîáñâåííîýíåðãåòè÷åñêóþ ÷àñòü Παβ (k).

Àìïëèòóäà(1)ïðåâðàùåíèÿ (âèðòóàëüíîãî) ôîòîíà ñ ïîëÿðèçàöèåé eβ â ôîòîí ñ ïî(2)(2)(1)ëÿðèçàöèé eα ðàâíà eα Παβ (k)eβ . Ýòà àìïëèòóäà áóäåò êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíà òîëüêî åñëè ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð ïîïåðå÷åí.Ïîïåðå÷íîñòü îáåñïå÷åíà ó îïåðàòîðà âèäàαβΠ (k) = (gαβkα β 21k )Π(k 2 ), ãäå Π(k 2 ) = Πνν−k3(7.6) îòëè÷èå îò ïîëÿðèçàöèîííîãî îïåðàòîðà ïðîïàãàòîð ôîòîíà çàâèñèò îò êàëèáðîâêè, íî ñ êàëèáðîâêîé ñâÿçàíà òîëüêî åãî ïðîäîëüíàÿ÷àñòü,êîòîðàÿ íå ìåíÿåòñÿ ðàäèàöèîííûìè ïîïðàâêàìè. Òî ÷òî ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè íå âëèÿþò íà êàëèáðîâêó ìîæíî ñ÷èòàòü ñëåäñòâèåì ïîïåðå÷íîñòè Παβ .Dµν (k) = (gαβµ νkα β 22(l) k k−k )D(k ) + Dkk2(7.7)Êàëèáðóþùàÿ ôóíêöèÿ D(l) (k 2 ) ïðîèçâîëüíà.

Äëÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèè D(k 2 ) èç (7.2) âîçíèêàåò óðàâíåíèåD(k 2 ) = D0 (k 2 ) + D0 (k 2 )Π(k 2 )D(k 2 )(7.8)Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ Äàéñîíà èìååò âèäD(k 2 ) =7.41k 2 − λ2 − Π(k 2 ) + i0(7.9)Ïåðåíîðìèðîâêà ïðîïàãàòîðîâ è âåðøèíû.Òî÷íûå ïðîïàãàòîðû, êàê è ïðîïàãàòîðû ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, èìåþòïîëþñíîé âèä. Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè òîëüêî ñäâèãàþò ïîëþñ è èçìåíÿþò âû÷åò â í¼ì. Ïîëîæåíèå ïîëþñà ôèêñèðóåò ìàññó ÷àñòèöû.36Âû÷åò â ïîëþñå òî÷íîãî ôîòîííîãî ïðîïàãàòîðà äàåò ñâÿçü ìåæäóçàòðàâî÷íûì, ñòîÿùèì â ëàãðàíæèàíå, çàðÿäîì ýëåêòðîíà è åãî ôèçè÷åñêèì, èçìåðÿåìûì â ýêñïåðèìåíòå çíà÷åíèåì.a) Äëÿ ýëåêòðîííîãî ïðîïàãàòîðà èñïîëüçóåì òýéëîðîâñêèå ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé Σ(p) è G−1 (p) îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèÿ èìïóëüñà, ïðèêîòîðîì p̂ = m.Σ(p) = Σ(m) + Σ0 (p)(p̂ − m) + Z2−1 Σr (p)(7.10)Âûäåëåíû ÿâíî äâà ïåðâûõ ñëàãàåìûõ, âñ¼ îñòàëüíîå âêëþ÷åíî â Σr (p).Ïàðàìåòð Z2 ïîêà ñâîáîäåí.

Òåïåðü îáðàòíûé ïðîïàãàòîð ðàâåíG−1 (p) = p̂ − m0 − Σ(m) − Σ0 (m)(p̂ − m) − Z2−1 Σr (p)= (1 − Σ0 (m))(p̂ − m) − Z2−1 Σr (p)Çäåñü ïðèíÿòî, ÷òî(7.11)(7.12)m = m0 + Σ(m)òî åñòü ôèçè÷åñêàÿ ìàññà ýëåêòðîíà ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ. Òåïåðü ïîëîæèìZ2−1 = 1 − Σ0 (m)(7.13)Òî÷íûé ïðîïàãàòîð ïðèíèìàåò ÿâíî ïîëþñíîé âèä, ñ ïîëþñîì ïðèp̂ = m ,G(p) = Z2 Gr (p),ãäåGr (p) =1p̂ − m − Σr (p)(7.14)Gr (p) íàçûâàåòñÿ ïåðåíîðìèðîâàííûì ïðîïàãàòîðîì ýëåêòðîíà. Çàìåòèì ñðàçó ÷òî Σr (p) ýòî êîíå÷íàÿ ÷àñòü ìàññîâîãî îïåðàòîðà. Îíàïîëó÷àåòñÿ âû÷èòàíèåì èç Σ(p) äâóõ íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ òýéëîðîâñêîãîðàçëîæåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü è áåñêîíå÷íûìè (ïðè ñíÿòèè ðåãóëÿðèçàöèè).

Ýòî áóäåò âèäíî â èçëàãàåìûõ íèæå ïðèìåðàõ.b) Àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå ïðîïàãàòîðà ôîòîíà ïðèìåíÿåòñÿ òýéëîðîâñêîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Π(k 2 ) îòíîñèòåëüíî òî÷êè ãäå k 2 = λ2 (êàêåñëè áû ôîòîí èìåë ìàññó λ).Π(k 2 ) = Π(λ2 ) + Π0 (λ2 )(k 2 − λ2 ) + Z3−1 Πr (k 2 )(7.15) ñîîòâåòñòâóþùåì ðàçëîæåíèè îáðàòíîãî ïðîïàãàòîðà ôîòîíàD−1 (k 2 ) = k 2 λ20 − Π(λ2 ) − Π0 (λ2 )(k 2 − λ2 ) − Z3−1 Πr (k 2 )(7.16)çàòðàâî÷íàÿ λ0 è "òî÷íàÿ"λ ìàññû ôîòîíà ñâÿçàíû óðàâíåíèåìλ2 = λ20 + Π(λ2 )37(7.17)Âûáèðàåì Z3−1 = 1 − Π0 (λ2 ) è ïîëó÷àåòñÿ D(k 2 ) = Z3 Dr (k 2 ), ãäåDr (k 2 ) =1k 2 − λ2 − Π(λγ 2 )(7.18)ñêàëÿðíûé ìíîæèòåëü ïåðåíîðìèðîâàííîãî ïðîïàãàòîðà ôîòîíà.ñ) Ïåðåíîðìèðîâêà âåðøèíû.

Ó âåðøèííîé ÷àñòè îáû÷íî ïîäðàçóìåâàþòñÿ ñïèíîðíûå îáêëàäêè ū(p0 )Γν (p0 , p)u(p). Íà âåðøèííûé îïåðàòîð îáùåãî âèäà (ïðîñòî ëîðåíöêîâàðèàíòíûé)Γν (p0 , p) = γν + A(p0ν + pν ) + B(p0ν − pν )íàêëàäûâàåòñÿ óñëîâèå êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè (ïîïåðå÷íîñòè). ×òîáû îíî âûïîëíÿëîñü äîëæíî áûòü B = 0. Âòîðîå èç îñòàâøèõñÿ ñëàãàåìûõ ìîæíî çàìåíèòü íàf (k 2 )σνµ (p0 − p)µ2mñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà Ãîðäîíà.Óïðàæíåíèå Âûâîä òîæäåñòâà Ãîðäîíà. Óðàâíåíèå Äèðàêà äëÿu(p) óìíîæèì ñëåâà íà ū(p0 )γν , à óðàâíåíèå äëÿ ū(p0 ) ñïðàâà íà γν (p),çàòåì ñëîæèì ïî÷ëåííî.

Ïîäñòàâèì γµ γν = gµν +σµν â èòîãå ïîëó÷èòñÿ2mū(p0 )γν u(p) = (p0 + p)ν ū(p0 )u(p) + (p0 + p)µ ū(p0 )σµν u(p)(7.19)Ýòî òîæäåñòâî ïîçâîëÿåò íàïèñàòü âåðøèíó â âèäåf (k 2 ) µk σµν (7.20)Γν (p , p) = γν + Λν (p , p); Λν (p, p − k) = Λ(k )γν +2m07.502Òîæäåñòâî ÓîðäàÏîñìîòðèì êàê äèôôåðåíöèðóþòñÿ ïî èìïóëüñó ýëåìåíòû ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì.

Íà÷íåì ñî ñâîáîäíîãî ïðîïàãàòîðà. Äëÿ íåãîνµν∂G−10 /∂p ≡ ∂(p γµ − m)/∂p = γν. Ïîäñòàâèâ ýòó ïðîèçâîäíóþ â ïðîèçâîäíóþ îò òîæäåñòâà G−10 (p)G0 (p) ≡1 ïîëó÷èì∂G01=−GγG=·0ν0∂pνiek=0p38p(7.21)âèäíî, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ñâîáîäíîãî ïðîïàãàòîðà ýëåêòðîíà ïîèìïóëüñó ýêâèâàëåíòíî âñòàâêå âåðøèíû ñ íóëåâûì èìïóëüñîì âõîäÿùåãî ôîòîíà. Äèôôåðåíöèðîâàíèå òî÷íîãî ïðîïàãàòîðà äà¼ò ñóììóäèàãðàìì, â êîòîðûõ âåðøèíà ñ íóëåâûì èìïóëüñîì âõîäÿùåãî ôîòîíà âñòàâëåíà â îäíó èç âíóòðåííèõ ýëåêòðîííûõ ëèíèé âñåìè âîçìîæíûìè ñïîñîáàìè. êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ ìîæíî ïðîâåðèòü â äâóõ ïîðÿäêàõ òåîðèèâîçìóùåíèé, ÷òî (ïðîèçâîäíàÿ ìàññîâîãî îïåðàòîðà ïî èìïóëüñó) = (êîìïàêòíàÿ âåðøèííàÿ ÷àñòü). Äîñòàòî÷íî íàðèñîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû.Òîæäåñòâî Óîðäà, âìåñòå ñ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ, ýòîñëåäñòâèÿ òîãî, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî è ýëåêòðîíïîçèòðîííîãî ïîëåé âõîäèò â ëàãðàíæèàí ÊÝÄ òîëüêî ÷åðåç êîìáèíàöèþ i∂ν − eAν8Çàìå÷àíèÿ î ðàñõîäèìîñòÿõ â ÊÝÄ è å¼ïåðåíîðìèðóåìîñòè8.1Îöåíêà ñòåïåíè ðàñõîäèìîñòè äèàãðàììû.Îöåíî÷íàÿ ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè D ýòî ñòåïåíü èìïóëüñà â ïîäèíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè äèàãðàììû, êîãäà ýòîò èìïóëüñ áîëüøå ëþáîéèìåþùåéñÿ òàì ìàññû.

Ðàññìîòðèì äèàãðàììó, ó êîòîðîé Ne âíåøíèõè Pe âíóòðåííèõ ýëåêòðîííûõ ëèíèé, Nγ âíåøíèõ è Pγ âíóòðåííèõôîòîííûõ ëèíèé, V âåðøèí è L ïåòåëü. Êàæäàÿ âåðøèíà âíîñèò δ ôóíêöèþ îò ñóììàðíîãî èìïóëüñà ñâÿçàííûõ ñ ýòîé âåðøèíîé ÷àñòèö, îäíà èç ýòèõ δ ôóíêöèé îòâå÷àåò çà ñîõðàíåíèå èìïóëüñà óäèàãðàììû â öåëîì.D = 4L − Pe − Pγ, ãäåL = Pe + Pγ − V + 1Ñ ïîìîùüþ äâóõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ÷èñëîì âåðøèí è ÷èñëîì ïðîïàãàòîðîâ V = 2Pγ + Nγ = Pe + Ne /2 èñêëþ÷àåì ÷èñëà âíóòðåííèõëèíèé è ïîëó÷àåì îöåíêó3D = 4 − Ne − Nγ2(8.1)Îöåíî÷íàÿ ñòåïåíü ðàñõîäèìîñòè íå çàâèñèò îò ÷èñëà âåðøèí (ïîðÿäêà) äèàãðàììû. D çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà âíåøíèõ ëèíèé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî êîëè÷åñòâî ðàñõîäÿùèõñÿ äèàãðàìì ÊÝÄ èìååò îáùåå äëÿâñåõ ïîðÿäêîâ îãðàíè÷åíèå.