МУ - Элементы квантовой термодинамики (МУ - Элементы квантовой термодинамики.pdf)

Ýëåìåíòû êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêèÓ÷åáíîå ïîñîáèå3 àïðåëÿ 2014 ãîäà1Ñîäåðæàíèå12Ðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ31.11.21.3345Êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ2.12.22.32.42.52.62.734.................................................91011121314153.13.21718Êâàíòîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. . . . .

. . . . . .Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííîãî ïîëÿÈíâàðèàíòíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèéÎïåðàòîð ýâîëþöèè . . . . . . . .Ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé . . . . . .Âàêóóì âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîëåéÒåîðåìà Âèêà . . . . . . . . . . . .19. . .. . .|Ωi .. . .....................................Äèàãðàììíàÿ òåõíèêà äëÿ òåîðèè âîçìóùåíèéÀìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ â ÊÝÄÏðèìåð . .

. . . . . . . . . .Äåòàëè âû÷èñëåíèÿ . . . . .Ïðàâèëà Ôåéíìàíà . . . . . .............................................1920222325................Ýôôåêò Êîìïòîíà6.16.26.36.47. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .Ãåéçåíáåðãà). . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .175.15.25.35.46Êâàíòîâàíèå . .

. . . . . . .Ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà . . .Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå . .Êîððåëÿòîð (â ïðåäñòàâëåíèèÏðîïàãàòîð ñêàëÿðíîãî ïîëÿÀíòè÷àñòèöû . . . . . . . . .Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . .9Ñïåêòðàëüíûå ðàçëîæåíèÿ ïîëåé â ÊÝÄ4.14.24.34.45Ââåäåíèå .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà-Ôîêà . . . . . . . . . . . . .Óðàâíåíèå Äèðàêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2525262830Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü .Îáùèé ñëó÷àé . . . . . . . . . . .Êîìïòîíîâñêîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿÓñðåäíåíèå ïî ïîëÿðèçàöèÿì . . .................................................30313233Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè347.17.27.3343536Ñêåëåòíûå äèàãðàììû è îäåòûå äèàãðàììû . .

. . . . .Óðàâíåíèÿ Äàéñîíà Øâèíãåðà . . . . . . . . . . . . .Ïðîïàãàòîð ôîòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.47.58Ïåðåíîðìèðîâêà ïðîïàãàòîðîâ è âåðøèíû. . . . . . . .Òîæäåñòâî Óîðäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàìå÷àíèÿ î ðàñõîäèìîñòÿõ â ÊÝÄ è å¼ ïåðåíîðìèðóåìîñòè8.19363939Îöåíêà ñòåïåíè ðàñõîäèìîñòè äèàãðàììû.. . . . . . .39Ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð409.19.241Èíòåãðèðîâàíèå â D èçìåðåíèÿõ. . . .

. . . . . . . . . .Çàìå÷àíèÿ îá àëãåáðå ìàòðèö Äèðàêà â ïðîñòðàíñòâåðàçìåðíîñòè D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð â ðàçìåðíîñòíîé ðåãóëÿðèçàöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïåðåíîðìèðîâêà . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.39.410 Ðåíîðìãðóïïà â ÊÝÄ10.110.210.310.411.142434444Ðàçëè÷íûå ïåðåíîðìèðîâêè. .Èíâàðèàíòíûé çàðÿä. . . . . .Óðàâíåíèÿ ðåíîðìãðóïïû . .Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ óðàâíåíèÿ. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .Ãåëë-ÌàííàËîó. .............44454647Ðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûå óðàâíåíèÿÂâåäåíèåÊâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà â óçêîì ñìûñëå ñëîâà îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ è ôîòîíîâ. Èìååòñÿ ìíîãî çàäà÷, â êîòîðûõ îäíîâðåìåííî ñóùåñòâåííû ðåëÿòèâèçì è êâàíòîâûå ñâîéñòâà ýòèõ ÷àñòèö.Îñíîâîé äëÿ ïîíèìàíèÿ ÊÝÄ è ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ñëóæèò ïðåäñòàâëåíèå î êâàíòîâàííûõ ïîëÿõ, âçàèìîäåéñòâèå êîòîðûõ ëîêàëüíîè ðàïðîñòðàíÿåòñÿ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ. Ïåðâûé øàã â ÊÝÄ ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè ðåëÿòèâèñòñêèõ îáîáùåíèé óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà: óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà-Ôîêà (ÊÃÔ) è óðàâíåíèÿ Äèðàêà.

Ñèõ ïîìîùüþ ââîäÿòñÿ ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö è îïèñûâàåòñÿ (íåñëèøêîì ñèëüíîå) ïîòåíöèàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìè.Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíäàìåíòàëüíûå òðè îáúåêòà (ïîëå÷àñòèöà).• Ëîðåíöåâ ñêàëÿð ïîëå ϕ(x), óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ ÊÃÔ èïðåäñòâëÿþùåå ïðîñòîé è â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñàìûé óäîáíûé ïðèìåð äëÿ èëëþñòðàöèè îáùèõ ìåòîäîâ.3• Äèðàêîâñêèé ñïèíîð ψ(x), îïèñûâàþùèé ýëåêòðîíïîçèòðîííîå ïîëå.• Ëîðåíöåâ 4-âåêòîð Aν (x) ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîëåôîòîíà.Ïðèìåíèìîñòü âîëíîâûõ óðàâíåíèé îãðàíè÷åíà â îñíîâíîì äâóìÿ îáñòîÿòåëüñòâàìè.

1) Ïîòåíöèàë èìååò ñìûñë òîëüêî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå. Èñïîëüçîâàíèå ôóíêöèè, çàäàííîé îäíîâðåìåííîâî âñåì ïðîñòðàíñòâå èëè â åãî îáëàñòè ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ ñêîíå÷íîñòüþ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé è/èëè ê íàðóøåíèþ ïðè÷èííîé ñâÿçè ñîáûòèé. 2) Ëþáîå èç âîëíîâûõ óðàâíåíèéïðèìåíèìî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ÷èñëî ÷àñòèö ôèêñèðîâàíî. Íîâ ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ íå îãðàíè÷èâàåòñÿè ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íîé äëÿ îáðàçîâàíèÿ íîâûõ ÷àñòèö.

 ÊÝÄ íåîáîéòèñü áåç ìåòîäîâ, ïðèãîäíûõ äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåì ñ ïåðåìåííûì÷èñëîì ÷àñòèö.1.2Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà-ÔîêàÏðîñòåéøèé (è âàæíûé) ïðèìåð ïðåäñòàâëÿåò ñêàëÿðíîå, äåéñòâèòåëüíîå èëè êîìïëåêñíîå, ïîëå ϕ(x) ñ ëîðåíö-èíâàðèàíòíûì äåéñòâèåì21 νm2 21 2 12 m2∗S = L[ϕ]d x, L = |ϕ̇| − |∇ϕ| − |ϕ| ≡ (∂ ϕ)(∂ν ϕ )− |ϕ|22222(1.1)Ëàãðàíæèàí L[ϕ] îïèñûâàåò ñâîáîäíîå ïîëå ϕ(x) è îäíîâðåìåííî îñöèëëÿòîð ñ êîíòèíóàëüíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû.

Êîîðäèíàòà xèãðàåò ðîëü èíäåêñà, ïåðå÷èñëÿþùåãî ñòåïåíè ñâîáîäû ïîëÿ. Ñâîáîäíîå ïîëå ãàðìîíè÷åñêè êîëåáëåòñÿ â êàæäîé òî÷êå x. Êàê â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ ïî ïîëþ ϕ∗ (x) çàíóëÿåòñÿ äëÿïîëÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî êëàñè÷åñêîìó óðàâíåíèþ äâèæåíèÿZ4∂ ν δL/δ(∂ ν ϕ∗ ) − δL/δϕ∗ = 0 äàííîì ñëó÷àå ýòî óðàâíåíèå ÊÃÔ(∂ ν ∂ν + m2 )ϕ = 0↔(p2 − m2 )ϕ = 0(1.2)Ïðè åãî ïîëó÷åíèè èç (1) ðåëÿòèâèñòñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü íå íàðóøàåòñÿ. Ïîëíûé íàáîð åãî ðåøåíèé îáðàçóþò ïëîñêèå âîëíûϕ ∼ e−iEt+ipx ≡ e−ipx ,4(1.3)pîòëè÷àþùèåñÿ çíà÷åíèÿìè èìïóëüñà p, ó êîòîðûõ E = ± m2 + p2 ,òî åñòü â ïîëíîì íàáîðå åñòü ïîëæèòåëüíî- è îòðèöàòåëüíî- ÷àñòîòíûå ðåøåíèÿ.

Ïðè ïîïûòêå, ïî àíàëîãèè ñ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêîé, ðàññìàòðèâàòü ϕ(x) êàê âîëíîâóþ ôóíêöèþ ÷àñòèöûñ ýíåðãèåé E è èìïóëüñîì p âîçíèêàþò äâå òðóäíîñòè.• Ñïåêòð ýíåðãèé íå îãðàíè÷åí ñíèçó è• Íåò ïîäõîäÿùåãî âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. ñëó÷àå êîìïëåêñíîãî ïîëÿ ϕ(x) ìîæíî ââåñòè "ïëîòíîñòü"∂ϕ∗i∗ ∂ϕ(ϕ−ϕ),ρ=2m∂t∂tè âåêòîð ïëîòíîñòè òîêàj=1(ϕ∗ ∇ϕ − ϕ∇ϕ∗ )2im(1.4)(1.5)Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (1.2) íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ρ è j ñâÿçàíûîáû÷íûì óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè∂ρ+ ∇j = 0∂t(1.6)Îäíàêî "ïëîòíîñòü" ρ(x) ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê, ïîýòîìó â äàííîìñëó÷àå ýòî íå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè. Âçàìåí ρ è j ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïëîòíîñòü íåêîòîðîãî ñîõðàíÿþùåãîñÿ çàðÿäà, íàïðèìåðýëåêòðè÷åñêîãî, è ñîîòâåòñòâóþùóþ ïëîòíîñòü òîêà. Íî îò îáåèõ óïîìÿíóòûõ òðóäíîñòåé ìîæíî èçáàâèòüñÿ, îãðàíè÷èâøèñü ïîëîæèòåëüíî÷àñòîòíûìè ðåøåíèÿìè.

Òàêîå ðåøåíèå åñòåñòâåííî âîçíèêàåò â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå, êîãäà ϕ(x) äåéñòâèòåëüíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéâîëíîâóþ ôóíêöèþ (Ñì. ó Â.Í.Ãðèáîâà).  ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèèñ ýíåðãèåé E > 0, ó÷èòûâàÿ (1.4) èìååìϕ(t, r) = e−iEt ψ(r),ρ=E|ψ(r)|2 ≥ 0mÎäíàêî òîëüêî ïëîñêèå âîëíû âñåõ ÷àñòîò îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìóôóíêöèé.

 ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûå ðåøåíèÿòàê æå íåîáõîäèìû, êàê ïîëîæèòåëüíî÷àñòîòíûå.1.3Óðàâíåíèå ÄèðàêàÏîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííóþ ïëîòîñòü âåðîÿòíîñòè ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè (àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ Øð¼äèíãåðà). Ëèíåéíîå ïî ïðîèçâîäíûì5óðàâíåíèå ïîñòðîåíî èç êîâàðèàíòíûõ ýëåìåíòîâ, âåêòîðîâ γ ν è pν èñêàëÿðà m è èìååò âíåøíå èíâàðèàíòíûé âèä(γ ν pν − m)ψ(x) ≡ (iγ ν ∂ν − m)ψ(x) = 0(1.7)×òîáû îáåñïå÷èòü ôàêòè÷åñêóþ ëîðåíöèíâàðèàíòíîñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòû γ ν äîëæíû áûòü ìàòðèöàìè, à âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñòîëáöîì, êàæäàÿ èç êîìïîíåíò êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ÊÃÔ.

Ïîäåéñòâîâàâ îïåðàòîðîì (γ µ pµ + m) íà óðàâíåíèå (1.7)ñëåâà, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî1[ (γ µ γ ν + γ ν γ µ )pµ pν − m2 ]ψ(x) = 0,2êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì ÊÃÔ, åñëè{γ µ γ ν } ≡ γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν(1.8)Ýòî àíòèêîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå îïðåäåëÿåò àëãåáðó ìàòðèö Äèðàêà γ ν . Èìåþòñÿ ðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòðèö Äèðàêà, ñðåäèìàòðèö äàííîé ðàçìåðíîñòè âñå îíè óíèòàðíî ýêâèâàëåíòíû, òî åñòüìàòðèöû â äâóõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ïîïàðíî ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèåìâèäà γν0 = U † γν U . Èíâàðèàíòíû, êàê ïðè âñÿêîì óíèòàðíîì ïðåîáðàçîâàíèè, ñëåä è îïðåäåëèòåëü γ ν .Óïðàæíåíèÿ1) Ñ ïîìîùüþ (1.8) íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö γ ν .Ïðè µ = ν = 0 èç (γ0 )2 = 1 ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ(γ0 )ñ.ç.

= ±1, à ïðè µ = ν = n = 1, 2, 3 èç (γn )2 = −1 ïîëó÷àåòñÿ(γn ) ñ.ç. = ±i.2) Èñïîëüçóÿ äâà âàðèàíòà ðàññòàíîâêè ñîìíîæèòåëåé ïîä çíàêîì ñëåäà ïîêàæèòå, ÷òî γ ìàòðèöû èìåþò íóëåâîé ñëåä è ÷åòíóþ ðàçìåðíîñòü.Sp(γk ) = Sp(γk γ02 ) = Sp(γ0 γk γ0 ) = −Sp(γ0 γ0 γk ) = −Sp(γk ) = 0×èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (+i) ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ñîáñòâåííûõçíà÷åíé (−i) òîëüêî ïðè ÷åòíîé ðàçìåðíîñòè.3) Òî æå ñ ïîìîùüþ îïðåäåëèòåëÿdet(γµ γν ) = det(−γν γµ ) = (−1)d det(γν γµ ), µ 6= νÂèäíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü γ ìàòðèö äîëæíà áûòü ÷¼òíîé. Ìèíèìàëüíàÿðàçìåðíîñòü γ ìàòðèö â îáû÷íîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè äîëæíà áûòüðàâíà ÷åòûðåì ,÷òîáû íàøëèñü 4 íå ðàâíûå äðóã äðóãó è åäèíèöå6ìàòðèöû.

 ïðîñòðàíñòâå âðåìåíè ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè â êà÷åñòâåìàòðèö Äèðàêà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìàòðèöû Ïàóëè.σ1 =0 11 0, σ2 =0 −ii 0, σ3 =1 00 −1(1.9)Ìàòðèöû Ïàóëè óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ(1.10)σi σk = δik + iikl σl ,èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ îò ìàòðèö Ïàóëè ñâîäèòñÿê ëèíåéíîé.  ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè, óäîáíîì äëÿ ïåðåõîäà êíåðåëÿòèâèñòñêîìó ïðåäåëó, íàáîð ìàòðèö Äèðàêà îáðàçóþòγ0 =1 00 −1, γk =0 σk−σk 0, k = 1, 2, 3(1.11)Èç íèõ ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöà, ïåðåñòàâëÿþùàÿ ïàðó âåðõíèõ ñ ïàðîéíèæíèõ êîìïîíåíò äèðàêîâñêîãî ñïèíîðàγ5 = γ 5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 = −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =0 −1−1 0(1.12)Ñâîáîäíîå óðàâíåíèå Äèðàêà â ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè èìååò âèäE−m−pσpσ−(E + m)ϕχ=0(1.13)Óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûìñîîòíîøåíèåì ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöûE 2 − m2 − (pσ)2 ≡ E 2 − m2 − p2 = 0Èç âòîðîé ñòðîêè (1.13) òàêæå ñëåäóåò, ÷òîpσϕE+mòî åñòü â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå íèæíèå êîìïîíåíòû χ ìàëû ïîñðàâíåíèþ ñ âåðõíèìè ϕ.Óïðàæíåíèå.

Ïðîâåðüòå ÿâíûì âû÷èñëåíèåì (â ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè) ñâîéñòâàχ=(γ 0 )2 = 1,(γ k )2 = −1, k = 1, 2, 3;(γ 5 )2 = 1,γ 5+ = γ 5 ,7{γ 5 , γ ν } = 0,γ 0 γ ν+ γ 0 = γ ν ,(1.14)(1.15)Çàòåì óáåäèòåñü â òîì, ÷òî ýðìèòîâ äèðàêîâñêèé ãàìèëüòîíèàíH = γ 0 (pγ + m).(1.16)•Äèðàêîâñêîå ñîïðÿæåíèå. Óðàâíåíèå, ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîå óðàâíåíèþ (7) (ñ äåéñòâóþùèì íàëåâî îïåðàòîðîì èìïóëüñà)←ψ + (x)(−i ∂ ν γ ν+ − m) = 0(1.17)óìíîæèì ñïðàâà íà γ 0 .

Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà (1.14),(1.15) íàéäåì, ÷òîäèðàêîâñêè ñîïðÿæåííûé ñïèíîð, òî åñòü ñòðîêàψ̄ = ψ + γ 0óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ←ψ̄(x)( p ν γ ν + m) = 0(1.18)•×òîáû ââåñòè âçàèìîäåéñòâèå ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, ïðåäñòàâëåííûì ïîòåíöèàëîì Aν , äîñòàòî÷íî â óðàâíåíèè (1.7) çàìåíèòü ∂ν →Dν = ∂ν + ieAν .

Ïîëó÷èòñÿ[(pν − eAν )γ ν − m]ψ = 0(1.19)Ýòî óðàâíåíèå êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíî, òî åñòü íå ìåíÿåòñÿ ïðèïîäñòàíîâêåAν → Aν + ∂ν f (x) ,ψ → e−ief (x) ψ(1.20)ãäå f (x) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè è êîîðäèíàò.•Äåéñòâèå è òîê. Óðàâíåíèå Äèðàêà (1.19) ïîëó÷àåòñÿ èç óñëîâèÿ çàíóëåíèÿ âàðèàöèè äåéñòâèÿZS=ψ̄[(pν − eAν )γ ν − m]ψd4 x(1.21)ïî ψ̄ .