МУ - Элементы квантовой термодинамики (1183824)
Текст из файла
Ýëåìåíòû êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêèÓ÷åáíîå ïîñîáèå3 àïðåëÿ 2014 ãîäà1Ñîäåðæàíèå12Ðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ31.11.21.3345Êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ2.12.22.32.42.52.62.734.................................................91011121314153.13.21718Êâàíòîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. . . . .
. . . . . .Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííîãî ïîëÿÈíâàðèàíòíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèéÎïåðàòîð ýâîëþöèè . . . . . . . .Ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèé . . . . . .Âàêóóì âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîëåéÒåîðåìà Âèêà . . . . . . . . . . . .19. . .. . .|Ωi .. . .....................................Äèàãðàììíàÿ òåõíèêà äëÿ òåîðèè âîçìóùåíèéÀìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ â ÊÝÄÏðèìåð . .
. . . . . . . . . .Äåòàëè âû÷èñëåíèÿ . . . . .Ïðàâèëà Ôåéíìàíà . . . . . .............................................1920222325................Ýôôåêò Êîìïòîíà6.16.26.36.47. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .Ãåéçåíáåðãà). . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .175.15.25.35.46Êâàíòîâàíèå . .
. . . . . . .Ñîñòîÿíèÿ îñöèëëÿòîðà . . .Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå . .Êîððåëÿòîð (â ïðåäñòàâëåíèèÏðîïàãàòîð ñêàëÿðíîãî ïîëÿÀíòè÷àñòèöû . . . . . . . . .Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . .9Ñïåêòðàëüíûå ðàçëîæåíèÿ ïîëåé â ÊÝÄ4.14.24.34.45Ââåäåíèå .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà-Ôîêà . . . . . . . . . . . . .Óðàâíåíèå Äèðàêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2525262830Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü .Îáùèé ñëó÷àé . . . . . . . . . . .Êîìïòîíîâñêîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿÓñðåäíåíèå ïî ïîëÿðèçàöèÿì . . .................................................30313233Ðàäèàöèîííûå ïîïðàâêè347.17.27.3343536Ñêåëåòíûå äèàãðàììû è îäåòûå äèàãðàììû . .
. . . . .Óðàâíåíèÿ Äàéñîíà Øâèíãåðà . . . . . . . . . . . . .Ïðîïàãàòîð ôîòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27.47.58Ïåðåíîðìèðîâêà ïðîïàãàòîðîâ è âåðøèíû. . . . . . . .Òîæäåñòâî Óîðäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàìå÷àíèÿ î ðàñõîäèìîñòÿõ â ÊÝÄ è å¼ ïåðåíîðìèðóåìîñòè8.19363939Îöåíêà ñòåïåíè ðàñõîäèìîñòè äèàãðàììû.. . . . . . .39Ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð409.19.241Èíòåãðèðîâàíèå â D èçìåðåíèÿõ. . . .
. . . . . . . . . .Çàìå÷àíèÿ îá àëãåáðå ìàòðèö Äèðàêà â ïðîñòðàíñòâåðàçìåðíîñòè D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïîëÿðèçàöèîííûé îïåðàòîð â ðàçìåðíîñòíîé ðåãóëÿðèçàöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïåðåíîðìèðîâêà . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.39.410 Ðåíîðìãðóïïà â ÊÝÄ10.110.210.310.411.142434444Ðàçëè÷íûå ïåðåíîðìèðîâêè. .Èíâàðèàíòíûé çàðÿä. . . . . .Óðàâíåíèÿ ðåíîðìãðóïïû . .Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ óðàâíåíèÿ. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .Ãåëë-ÌàííàËîó. .............44454647Ðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûå óðàâíåíèÿÂâåäåíèåÊâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà â óçêîì ñìûñëå ñëîâà îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ è ôîòîíîâ. Èìååòñÿ ìíîãî çàäà÷, â êîòîðûõ îäíîâðåìåííî ñóùåñòâåííû ðåëÿòèâèçì è êâàíòîâûå ñâîéñòâà ýòèõ ÷àñòèö.Îñíîâîé äëÿ ïîíèìàíèÿ ÊÝÄ è ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ñëóæèò ïðåäñòàâëåíèå î êâàíòîâàííûõ ïîëÿõ, âçàèìîäåéñòâèå êîòîðûõ ëîêàëüíîè ðàïðîñòðàíÿåòñÿ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ. Ïåðâûé øàã â ÊÝÄ ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè ðåëÿòèâèñòñêèõ îáîáùåíèé óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà: óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà-Ôîêà (ÊÃÔ) è óðàâíåíèÿ Äèðàêà.
Ñèõ ïîìîùüþ ââîäÿòñÿ ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö è îïèñûâàåòñÿ (íåñëèøêîì ñèëüíîå) ïîòåíöèàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìè.Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíäàìåíòàëüíûå òðè îáúåêòà (ïîëå÷àñòèöà).• Ëîðåíöåâ ñêàëÿð ïîëå ϕ(x), óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ ÊÃÔ èïðåäñòâëÿþùåå ïðîñòîé è â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñàìûé óäîáíûé ïðèìåð äëÿ èëëþñòðàöèè îáùèõ ìåòîäîâ.3• Äèðàêîâñêèé ñïèíîð ψ(x), îïèñûâàþùèé ýëåêòðîíïîçèòðîííîå ïîëå.• Ëîðåíöåâ 4-âåêòîð Aν (x) ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîëåôîòîíà.Ïðèìåíèìîñòü âîëíîâûõ óðàâíåíèé îãðàíè÷åíà â îñíîâíîì äâóìÿ îáñòîÿòåëüñòâàìè.
1) Ïîòåíöèàë èìååò ñìûñë òîëüêî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå. Èñïîëüçîâàíèå ôóíêöèè, çàäàííîé îäíîâðåìåííîâî âñåì ïðîñòðàíñòâå èëè â åãî îáëàñòè ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èþ ñêîíå÷íîñòüþ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèé è/èëè ê íàðóøåíèþ ïðè÷èííîé ñâÿçè ñîáûòèé. 2) Ëþáîå èç âîëíîâûõ óðàâíåíèéïðèìåíèìî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ÷èñëî ÷àñòèö ôèêñèðîâàíî. Íîâ ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ íå îãðàíè÷èâàåòñÿè ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íîé äëÿ îáðàçîâàíèÿ íîâûõ ÷àñòèö.
 ÊÝÄ íåîáîéòèñü áåç ìåòîäîâ, ïðèãîäíûõ äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåì ñ ïåðåìåííûì÷èñëîì ÷àñòèö.1.2Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà-ÔîêàÏðîñòåéøèé (è âàæíûé) ïðèìåð ïðåäñòàâëÿåò ñêàëÿðíîå, äåéñòâèòåëüíîå èëè êîìïëåêñíîå, ïîëå ϕ(x) ñ ëîðåíö-èíâàðèàíòíûì äåéñòâèåì21 νm2 21 2 12 m2∗S = L[ϕ]d x, L = |ϕ̇| − |∇ϕ| − |ϕ| ≡ (∂ ϕ)(∂ν ϕ )− |ϕ|22222(1.1)Ëàãðàíæèàí L[ϕ] îïèñûâàåò ñâîáîäíîå ïîëå ϕ(x) è îäíîâðåìåííî îñöèëëÿòîð ñ êîíòèíóàëüíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Êîîðäèíàòà xèãðàåò ðîëü èíäåêñà, ïåðå÷èñëÿþùåãî ñòåïåíè ñâîáîäû ïîëÿ. Ñâîáîäíîå ïîëå ãàðìîíè÷åñêè êîëåáëåòñÿ â êàæäîé òî÷êå x. Êàê â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ ïî ïîëþ ϕ∗ (x) çàíóëÿåòñÿ äëÿïîëÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî êëàñè÷åñêîìó óðàâíåíèþ äâèæåíèÿZ4∂ ν δL/δ(∂ ν ϕ∗ ) − δL/δϕ∗ = 0 äàííîì ñëó÷àå ýòî óðàâíåíèå ÊÃÔ(∂ ν ∂ν + m2 )ϕ = 0↔(p2 − m2 )ϕ = 0(1.2)Ïðè åãî ïîëó÷åíèè èç (1) ðåëÿòèâèñòñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü íå íàðóøàåòñÿ. Ïîëíûé íàáîð åãî ðåøåíèé îáðàçóþò ïëîñêèå âîëíûϕ ∼ e−iEt+ipx ≡ e−ipx ,4(1.3)pîòëè÷àþùèåñÿ çíà÷åíèÿìè èìïóëüñà p, ó êîòîðûõ E = ± m2 + p2 ,òî åñòü â ïîëíîì íàáîðå åñòü ïîëæèòåëüíî- è îòðèöàòåëüíî- ÷àñòîòíûå ðåøåíèÿ.
Ïðè ïîïûòêå, ïî àíàëîãèè ñ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêîé, ðàññìàòðèâàòü ϕ(x) êàê âîëíîâóþ ôóíêöèþ ÷àñòèöûñ ýíåðãèåé E è èìïóëüñîì p âîçíèêàþò äâå òðóäíîñòè.• Ñïåêòð ýíåðãèé íå îãðàíè÷åí ñíèçó è• Íåò ïîäõîäÿùåãî âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè. ñëó÷àå êîìïëåêñíîãî ïîëÿ ϕ(x) ìîæíî ââåñòè "ïëîòíîñòü"∂ϕ∗i∗ ∂ϕ(ϕ−ϕ),ρ=2m∂t∂tè âåêòîð ïëîòíîñòè òîêàj=1(ϕ∗ ∇ϕ − ϕ∇ϕ∗ )2im(1.4)(1.5)Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (1.2) íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ρ è j ñâÿçàíûîáû÷íûì óðàâíåíèåì íåïðåðûâíîñòè∂ρ+ ∇j = 0∂t(1.6)Îäíàêî "ïëîòíîñòü" ρ(x) ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê, ïîýòîìó â äàííîìñëó÷àå ýòî íå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè. Âçàìåí ρ è j ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïëîòíîñòü íåêîòîðîãî ñîõðàíÿþùåãîñÿ çàðÿäà, íàïðèìåðýëåêòðè÷åñêîãî, è ñîîòâåòñòâóþùóþ ïëîòíîñòü òîêà. Íî îò îáåèõ óïîìÿíóòûõ òðóäíîñòåé ìîæíî èçáàâèòüñÿ, îãðàíè÷èâøèñü ïîëîæèòåëüíî÷àñòîòíûìè ðåøåíèÿìè.
Òàêîå ðåøåíèå åñòåñòâåííî âîçíèêàåò â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå, êîãäà ϕ(x) äåéñòâèòåëüíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéâîëíîâóþ ôóíêöèþ (Ñì. ó Â.Í.Ãðèáîâà).  ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèèñ ýíåðãèåé E > 0, ó÷èòûâàÿ (1.4) èìååìϕ(t, r) = e−iEt ψ(r),ρ=E|ψ(r)|2 ≥ 0mÎäíàêî òîëüêî ïëîñêèå âîëíû âñåõ ÷àñòîò îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìóôóíêöèé.
 ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûå ðåøåíèÿòàê æå íåîáõîäèìû, êàê ïîëîæèòåëüíî÷àñòîòíûå.1.3Óðàâíåíèå ÄèðàêàÏîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííóþ ïëîòîñòü âåðîÿòíîñòè ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè (àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ Øð¼äèíãåðà). Ëèíåéíîå ïî ïðîèçâîäíûì5óðàâíåíèå ïîñòðîåíî èç êîâàðèàíòíûõ ýëåìåíòîâ, âåêòîðîâ γ ν è pν èñêàëÿðà m è èìååò âíåøíå èíâàðèàíòíûé âèä(γ ν pν − m)ψ(x) ≡ (iγ ν ∂ν − m)ψ(x) = 0(1.7)×òîáû îáåñïå÷èòü ôàêòè÷åñêóþ ëîðåíöèíâàðèàíòíîñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòû γ ν äîëæíû áûòü ìàòðèöàìè, à âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñòîëáöîì, êàæäàÿ èç êîìïîíåíò êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ÊÃÔ.
Ïîäåéñòâîâàâ îïåðàòîðîì (γ µ pµ + m) íà óðàâíåíèå (1.7)ñëåâà, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî1[ (γ µ γ ν + γ ν γ µ )pµ pν − m2 ]ψ(x) = 0,2êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì ÊÃÔ, åñëè{γ µ γ ν } ≡ γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν(1.8)Ýòî àíòèêîììóòàöèîííîå ñîîòíîøåíèå îïðåäåëÿåò àëãåáðó ìàòðèö Äèðàêà γ ν . Èìåþòñÿ ðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòðèö Äèðàêà, ñðåäèìàòðèö äàííîé ðàçìåðíîñòè âñå îíè óíèòàðíî ýêâèâàëåíòíû, òî åñòüìàòðèöû â äâóõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ïîïàðíî ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèåìâèäà γν0 = U † γν U . Èíâàðèàíòíû, êàê ïðè âñÿêîì óíèòàðíîì ïðåîáðàçîâàíèè, ñëåä è îïðåäåëèòåëü γ ν .Óïðàæíåíèÿ1) Ñ ïîìîùüþ (1.8) íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö γ ν .Ïðè µ = ν = 0 èç (γ0 )2 = 1 ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ(γ0 )ñ.ç.
= ±1, à ïðè µ = ν = n = 1, 2, 3 èç (γn )2 = −1 ïîëó÷àåòñÿ(γn ) ñ.ç. = ±i.2) Èñïîëüçóÿ äâà âàðèàíòà ðàññòàíîâêè ñîìíîæèòåëåé ïîä çíàêîì ñëåäà ïîêàæèòå, ÷òî γ ìàòðèöû èìåþò íóëåâîé ñëåä è ÷åòíóþ ðàçìåðíîñòü.Sp(γk ) = Sp(γk γ02 ) = Sp(γ0 γk γ0 ) = −Sp(γ0 γ0 γk ) = −Sp(γk ) = 0×èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (+i) ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ñîáñòâåííûõçíà÷åíé (−i) òîëüêî ïðè ÷åòíîé ðàçìåðíîñòè.3) Òî æå ñ ïîìîùüþ îïðåäåëèòåëÿdet(γµ γν ) = det(−γν γµ ) = (−1)d det(γν γµ ), µ 6= νÂèäíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü γ ìàòðèö äîëæíà áûòü ÷¼òíîé. Ìèíèìàëüíàÿðàçìåðíîñòü γ ìàòðèö â îáû÷íîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè äîëæíà áûòüðàâíà ÷åòûðåì ,÷òîáû íàøëèñü 4 íå ðàâíûå äðóã äðóãó è åäèíèöå6ìàòðèöû.
 ïðîñòðàíñòâå âðåìåíè ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè â êà÷åñòâåìàòðèö Äèðàêà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìàòðèöû Ïàóëè.σ1 =0 11 0, σ2 =0 −ii 0, σ3 =1 00 −1(1.9)Ìàòðèöû Ïàóëè óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ(1.10)σi σk = δik + iikl σl ,èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ îò ìàòðèö Ïàóëè ñâîäèòñÿê ëèíåéíîé.  ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè, óäîáíîì äëÿ ïåðåõîäà êíåðåëÿòèâèñòñêîìó ïðåäåëó, íàáîð ìàòðèö Äèðàêà îáðàçóþòγ0 =1 00 −1, γk =0 σk−σk 0, k = 1, 2, 3(1.11)Èç íèõ ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöà, ïåðåñòàâëÿþùàÿ ïàðó âåðõíèõ ñ ïàðîéíèæíèõ êîìïîíåíò äèðàêîâñêîãî ñïèíîðàγ5 = γ 5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 = −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =0 −1−1 0(1.12)Ñâîáîäíîå óðàâíåíèå Äèðàêà â ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè èìååò âèäE−m−pσpσ−(E + m)ϕχ=0(1.13)Óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûìñîîòíîøåíèåì ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöûE 2 − m2 − (pσ)2 ≡ E 2 − m2 − p2 = 0Èç âòîðîé ñòðîêè (1.13) òàêæå ñëåäóåò, ÷òîpσϕE+mòî åñòü â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå íèæíèå êîìïîíåíòû χ ìàëû ïîñðàâíåíèþ ñ âåðõíèìè ϕ.Óïðàæíåíèå.
Ïðîâåðüòå ÿâíûì âû÷èñëåíèåì (â ëþáîì ïðåäñòàâëåíèè) ñâîéñòâàχ=(γ 0 )2 = 1,(γ k )2 = −1, k = 1, 2, 3;(γ 5 )2 = 1,γ 5+ = γ 5 ,7{γ 5 , γ ν } = 0,γ 0 γ ν+ γ 0 = γ ν ,(1.14)(1.15)Çàòåì óáåäèòåñü â òîì, ÷òî ýðìèòîâ äèðàêîâñêèé ãàìèëüòîíèàíH = γ 0 (pγ + m).(1.16)•Äèðàêîâñêîå ñîïðÿæåíèå. Óðàâíåíèå, ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîå óðàâíåíèþ (7) (ñ äåéñòâóþùèì íàëåâî îïåðàòîðîì èìïóëüñà)←ψ + (x)(−i ∂ ν γ ν+ − m) = 0(1.17)óìíîæèì ñïðàâà íà γ 0 .
Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà (1.14),(1.15) íàéäåì, ÷òîäèðàêîâñêè ñîïðÿæåííûé ñïèíîð, òî åñòü ñòðîêàψ̄ = ψ + γ 0óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ←ψ̄(x)( p ν γ ν + m) = 0(1.18)•×òîáû ââåñòè âçàèìîäåéñòâèå ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, ïðåäñòàâëåííûì ïîòåíöèàëîì Aν , äîñòàòî÷íî â óðàâíåíèè (1.7) çàìåíèòü ∂ν →Dν = ∂ν + ieAν .
Ïîëó÷èòñÿ[(pν − eAν )γ ν − m]ψ = 0(1.19)Ýòî óðàâíåíèå êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíî, òî åñòü íå ìåíÿåòñÿ ïðèïîäñòàíîâêåAν → Aν + ∂ν f (x) ,ψ → e−ief (x) ψ(1.20)ãäå f (x) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè è êîîðäèíàò.•Äåéñòâèå è òîê. Óðàâíåíèå Äèðàêà (1.19) ïîëó÷àåòñÿ èç óñëîâèÿ çàíóëåíèÿ âàðèàöèè äåéñòâèÿZS=ψ̄[(pν − eAν )γ ν − m]ψd4 x(1.21)ïî ψ̄ .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
