МУ - Элементы квантовой термодинамики (МУ - Элементы квантовой термодинамики.pdf), страница 3

Ýíåðãèÿ p0 = ±p äî êâàíòîâàíèÿ ôîðìàëüíî äîëæíà ïðèíèìàòü îáà çíàêà, ïîòîìó ÷òî ïîëíûé íàáîð ðåøåíèéâêëþ÷àåò ïëîñêèå âîëíû ñ ÷àñòîòàìè îáîèõ çíàêîâ. Ïîñëå êâàíòîâàíèÿ, â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè, ïîëå ϕ(x) è êîýôôèöèåíòûïðè ïëîñêèõ âîëíàõ áóäóò îïåðàòîðàìè.  îïåðàòîðàõ ðîæäåíèÿ èóíè÷òîæåíèÿ îäíîé è òîé æå ÷àñòèöû âðåìåííûå ìíîæèòåëè èìåþò−ip t+ôàçû ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêà ap ∼ e, ap ∼ eip t .

Ýòî ìîæíîèñïîëüçâàòü, ÷òîáû èçáåæàòü ïîÿâëåíèÿ îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò ïðè(+)êâàíòîâàíèè.  ðàçëîæåíèè (2.23) êîýôôèöèåíò Ap çàìåíÿåì îïå(−)ðàòîðîì óíè÷òîæåíèÿ ÷àñòèö ap , à êîýôôèöèåíò Ap çàìåíÿåì îïåðàòîðîì ðîæäåíèÿ èõ ïàðòí¼ðîâ àíòè÷àñòèö b+p .  îáîèõ ñëàãàåìûõ(2.23) ïîñëå êâàíòîâíèÿ âðåìåííàÿ ÷àñòü ôàçû áóäåò òîãäà ñîîòâåòñòâîâàòü ïîëîæèòåëüíîé ÷àñòîòå. (Çíàê ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòè ôàçûipx ìîæíî, åñëè íåîáõîäèìî, èçìåíèòü, çàìåíèâ ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ p → −p.

Òàê ïîëó÷àåòñÿ ëîðåíöèíâàðèàíòíàÿ ôàçà.)Èç (2.23) â ðåçóëüòàòå êâàíòîâàíèÿ ïîëó÷àþòñÿ äâå íåçàâèñèìûåîïåðàòîðíûå ôóíêöèèZ1ϕ(x) =(2π)3Z1+ϕ (x) =(2π)3d3 pipx(ap e−ipx + b+pe )2pd3 p + ipx(ap e + bp e−ipx )2p(2.24)Çäåñü âî âñåõ ñëàãàåìûõ p0 > 0 è ñòîÿò b+−p âìåñòî ap , b−p âìåñòî++ap òàì, ãäå äëÿ ap èëè ap ÷àñòîòà (ýíåðãèÿ) áûëà áû îòðèöàòåëüíà. èòîãå ïîëíûé íàáîð ñîñòîÿíèé îáðàçóþò ñîâìåñòíî âñå âîçìîæíûåñîñòîÿíèÿ ÷àñòèö è ñîîòâåòñòâóþùèõ àíòè÷àñòèö. Ó àíòè÷àñòèöû, ïîñðàâíåíèþ ñ ÷àñòèöåé, êàæäîå êâàíòîâîå ÷èñëî, êðîìå ýíåðãèè, èìååòïðîòèâîïîëîæíûé çíàê.

Äëÿ ÷àñòèö ñî ñïèíîì ýòî âêëþ÷àåò ïðîòèâîïîëîæíóþ ïîëÿðèçàöèþ, òî åñòü ïðîåêöèþ ñïèíà.2.7Óïðàæíåíèÿ1. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà â âèäå ïëîñêèõ âîëí îïèñûâàþò íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ ïðè ðàññåÿíèè.ψ (+) (x) = u(p)e−ipx ïîëîæèòåëüíî÷àñòîòíûå, è(2.25)ψ (−) (x) = v(p)eipx îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûå,(2.26) îáîèõ ñëó÷àÿõ p0 > 0. Íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü íàáîð èç ÷åòûð¼õëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé ñâîáîäíîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà,îòëè÷àþùèõñÿ ïîëÿðèçàöèÿìè è çíàêîì çàðÿäà.15Ïðè ïîäñòàíîâêå ïëîñêèõ âîëí â ñâîáîäíîå óðàâíåíèå Äèðàêà èâ åìó äèðàêîâñêè ñîïðÿæåííîå âîçíèêàþò àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû óðàâíåíèé(p̂ − m)u(p) = 0(p̂ + m)v(p) = 0ū(p̂ − m) = 0v̄(p̂ + m) = 0Íàáîð ÷åòûð¼õ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé ëåâîé ïàðû óðàâíåíèé ïðîùå âûãëÿäèò, êîãäà ÷àñòèöà áåð¼òñÿ â å¼ ñèñòåìå ïîêîÿ.Åãî îáðàçóþò äâà ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèÿ ñ ïðîòèâîïîëîæíûìèîðèåíòàöèÿìè ñïèíà u(α) , α = 1, 2 è äâà ïîçèòðîííûõ ("îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûõ") ñîñòîÿíèÿ, òîæå ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè îðèåíòàöèÿìè ñïèíà v (β) , β = 1, 2.u(α)  10√0  √1 = 2m 0 ; 2m 000v (β)  00√0  √0 = 2m 1 ; 2m 001(2.27)Áèñïèíîðû u(α) è v (β) îðòîíîðìèðîâàíû è îðòîãîíàëüíû äðóãäðóãóū(α) (p)u(β) (p) = 2mδαβ ,v̄ (α) (p)v (β) (p) = −2mδαβ ,ū(α) (p)v (β) (p) = 0v̄ (α) (p)u(β) (p) = 02.

Ïðè âû÷èñëåíèè óñðåäíåííûõ ïî ïîëÿðèçàöèè äèðàêîâñêîé ÷àñòèöû âåðîÿòíîñòè ïðîöåññà èëè ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ êâàäðàò àìïëèòóäû ñîäåðæèò îïåðàòîð (ïîëÿðèçàöèîííóþ ìàòðèöó ïëîòíîñòè ýëåêòðîíà â íåïîëÿðèçîâàííîì ñîñòîÿíèè)Λ− ≡Xu(α) (p)ū(α) (p) = p̂ + m(2.28)α=1,2Äëÿ ïðîâåðêè ýòîãî ðàâåíñòâà âû÷èñëèòå ìàòðè÷íûé ýëåìåíòū(β) Λ− u(γ) .  ëåâîé ÷àñòè (2.28) ïîëó÷èòñÿ2(2m)Xδβα δαγ = (2m)2 δβγα=1,216 ïðàâîé ÷àñòè, ó÷èòûâàÿ ÷òî ñïèíîð u óäîâëåòâîðÿåò ñâîáîäíîìó óðàâíåíèþ Äèðàêà, èìååìū(β) Λ− u(γ) = ū(β) (p̂ − m + 2m)u(γ) = 2mū(β) u(γ) = δβγ (2m)2Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé ñîâïàäàþò ïðè ïðîèçâîëüíûõ îáêëàäêàõ.

Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñïðàâåäëèâî îïåðàòîðíîåðàâåíñòâî (2.28), äâà ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîé ìàòðèöûïëîòíîñòè ýëåêòðîíà â íåïîëÿðèçîâàííîì ñîñòîÿíèè ýêâèâàëåíòíû. Àíàëîãè÷íî äëÿ ïîçèòðîíàΛ+ ≡3Xα=1,2v (α) (p)v̄ (α) (p) = p̂ − m(2.29)Ñïåêòðàëüíûå ðàçëîæåíèÿ ïîëåé â ÊÝÄÑïåêòðàëüíûå ðàçëîæåíèÿ âåêòîðíîãî è ñïèíîðíîãî ïîëåé ìîæíî íàïèñàòü ïî àíàëîãèè ñ (2.10). Îíè äîïîëíèòåëüíî ñîäåðæàò òîëüêî èíäåêñû ïîëÿðèçàöèè ôîòîíîâ è ýëåêòðîíîâ, ñ ñóììèðîâàíèåì ïî âñåìâîçìîæíûì çíà÷åíèÿì ýòèõ èíäåêñîâ.

Äàëüíåéøèå ðàçëîæåíèÿ íàïèñàíû äëÿ ïîëåé â ÿùèêå (åäèíè÷íîãî îáúåìà), ãäå íàáîð ñîñòîÿíèéáóäåò äèñêðåòíûì.  ýòîì ñëó÷àå âìåñòî èíòåãðàëà ïî èìïóëüñó ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå áóäåò ñîäåðæàòü ñóììó ïî èìïóëüñó, ïðîáåãàþùåìó äèñêðåòíûé íàáîð çíà÷åíèé òàêèõ, ïðè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùåå ïîëå çàíóëÿåòñÿ íà ñòåíêàõ ÿùèêà. Ìû èñïîëüçóåì äèñêðåòíûéíàáîð ïëîñêèõ âîëí.3.1Êâàíòîâàííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.Ðàçëîæåíèå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ïî ïëîñêèì âîëíàì èìååò âèä4iXXeν (k, σ) h−ikx+ ikx√ck,σ e+ ck,σ e,Aν (x) =2ωkk σ=1(3.1)çäåñü c+k , ck - îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ïëîñêèõ âîëí,eν (k, σ) = gν,σ - ÷åòûðå îðòà ïîëÿðèçàöèè ñ íîðìèðîâêîé e∗ν eν = −1. êóëîíîâñêîé êàëèáðîâêå ïîëÿðèçàöèÿ ôîòîíà ïîïåðå÷íà, ke = 0.

Âëþáîé êàëèáðîâêå, ñêàëÿðíûå (ñ àìïëèòóäîé ∼ e0 ) è ïðîäîëüíûå (ñàìïëèòóäîé ∼ e ∼ k) ôîòîíû äàþò íóëåâîé ñóììàðíûé âêëàä. Ýòîáóäåò ïîêàçàíî íèæå â ñëó÷àå ýëåêòðîíôîòîííîãî ðàññåÿíèÿ. Òîëüêî äâå ïîëÿðèçàöèè ôîòîíà íåçàâèñèìû. Ôîòîí ïðåäñòàâëÿåò ïðèìåð17èñòèííî íåéòðàëüíîé ÷àñòèöû: îí íå èìååò äèñêðåòíûõ êâàíòîâûõ÷èñåë, îòëè÷àþùèõ ÷àñòèöó îò àíòè÷àñòèöû (òàêèõ êàê çàðÿä ó ýëåêòðîíà) è ïîýòîìó ñîâïàäàåò ñ ñîáñòâåííîé àíòè÷àñòèöåé. ïëîñêîé âîëíå êîìïîíåíòû ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ïðîñòî ñâÿçàíû ñ êîìïîíåíòàìè ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåííèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A.Ek = iωk Ak ,(3.2)Hk = i[kAk ]Ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ íà ïëîñêèå âîëíû ïîòåíöèàëà (3.1) è ïîëåé(3.2) ãàìèëüòîíèàí âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îïåðàòîðû ck,σ , c+k,σ è ïðèíèìàåòâèä ñóììû ýíåðãèé íåçàâèñèìûõ ôîòîíîâ1H=8πZ(E2 +H2 )dx =X ωkk,σ2+(c+k,σ ck,σ +ck,σ ck,σ ) =Xk,σ1ωk,σ (c+k,σ ck,σ + )2(3.3)Âõîäÿùèå â ñïåêòðàëüíûå ðàçëîæåíèÿ ïëîñêèå âîëíû îðòîíîðìèðîâàíû, ïîýòîìó â áèëèíåéíûõ ïî ïîëÿì ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòàõ äâîéíûåñóììû ïî èìïóëüñàì ïëîñêèõ âîëí ñâîäÿòñÿ ê îäèíàðíûì.

Ïîñëåäíååèç ðàâåíñòâ 3.3 îáåñïå÷èâàåò ïîëîæèòåëüíîñòü ýíåðãèè ñèñòåìû, íîîíî ïîëó÷àåòñÿ òîëüêî åñëè[ck,σ c+k0 ,σ 0 ] = δk,k0 δσ,σ 0òî åñòü åñëè ôîòîíû ïî÷èíÿþòñÿ ñòàòèñòèêå Áîçå.3.2Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ýëåêòðîí-ïîçèòðîííîãîïîëÿèìååò âèäψ(x) =Xp,λψ̄(x) =1ipxp (ap,λ up,λ e−ipx + b+−p,−λ u−p,−λ e )2p(3.4)1p (a†p,λ ūp,λ eipx + b−p,−λ u−p,−λ eipx )2p(3.5)Xp,λÝíåðãèþ äèðàêîâñêèõ ÷àñòèö â ñîñòîÿíèè ñ âîëíîâîé ôóíêöèåé ψìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñðåäíèå îò ïðîèçâåäåíèé îïåðàòîðîâ ap,λ , a+p,λ+è b−p,−λ , b−p,−λ , èñïîëüçóÿ ïîïóòíî óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà, ïðî÷èòàííîå ñïðàâà íàëåâî.hEi =Z†ψ Hψdx =ZZψ̄γ0 Hψdx = i18ψ̄γ0dψdxdt(3.6)Ïîäñòàâèì ïðîèçâîäíóþ îò âîëíîâîé ôóíêöèèdψ X −ip0ipxp (ap,λ up,λ e−ipx − b+=−p,−λ u−p,−λ e )dt2p(3.7)p,λÑ ïîìîùüþ ñâîáîäíîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà ïîëó÷àåòñÿūp γα up = 2pα(3.8)Ýòî ñîîòíîøåíèå èñïîëüçóåòñÿ çäåñü ïðè α = 0 êîãäà âû÷èñëÿåòñÿñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ.hEi =Xp,λ+p h(a+p,λ ap,λ − bp,λ bp,λ )i =Xp,λ+p (a+p,λ ap,λ + bp,λ bp,λ − 1) (3.9)Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âèäíî ÷òî (ïîñëå âû÷åòà áåñêîíå÷íîé ïîñòîÿííîé) êàæäîå èç ñîñòîÿíèé äèðàêîâñêîé ÷àñòèöû äà¼ò ïîëîæèòåëüíûé âêëàä â ýíåðãèþ â ñïåêòðàëüíîì ðàçëîæåíèè.

Åãî âûâîä îïèðàåòñÿ íà àíòèêîììóòàòèâíñòü îïåðàòîðîâ+{ap,λ , a+p0 ,λ0 } = δp,p0 δλ,λ0 , {bp,λ , bp0 ,λ0 } = δp,p0 δλ,λ0(3.10)Äâà ïîñëåäíèõ ïðèìåðà ñïåêòðàëüíûå ðàçëîæåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî è äèðàêîâñêîãî ïîëåé èëëþñòðèðóþò îáùåå ïðàâèëî, ñâÿçûâàþùåå ñïèí è ñòàòèñòèêó ÷àñòèö. Ïîëÿ ñ öåëûì ñïèíîì ïîä÷èíÿþòñÿñòàòèñòèêå ÁîçåÝéíøòåéíà è êâàíòóþòñÿ ñ ïîìîùüþ êîììóòàòîðîâ,à ïîëÿ ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì ñòàòèñòèêå ÔåðìèÄèðàêà è êâàíòóþòñÿñ ïîìîùüþ àíòèêîììóòàòîðîâ.44.1Èíâàðèàíòíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèéÎïåðàòîð ýâîëþöèèÒåîðèÿ âîçìóùåíèé äëÿ ÊÝÄ äîëæíà áûòü ëîðåíö èíâàðèàíòíîéè çíà÷èò íåñòàöèîíàðíîé.

Îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âîçìóùåíèåâêëþ÷àåòñÿ è âûêëþ÷àåòñÿ àäèàáàòè÷åñêè (ìåäëåííî) òàê ÷òî ïðèýòîì íå ïðîèñõîäèò ïåðåñêîê, íàïðèìåð ñèñòåìà íå ïåðåõîäèò âíåçàïíî èç îñíîâíîãî â âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå. ïðåäûäóùåì ðàçäåëå îáñóæäàëèñü êîððåëÿòîðû ñâîáîäíûõ ïîëåé â ãåéçåíáåðãîâñêîì ïðåäñòàâëåíèè h0| ϕ(x)ϕ(y) |0i , â êîòîðûõ çàâèñèìîñòü îïåðàòîðîâ îò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ ïîëíûì ãàìèëüòîíèàíîì ϕ(x) = eiHt ϕ(0, x)e−iHt . Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ãàìèëüòîíèàí ñîñòîèò èç íåâîçìóùåííîé ÷àñòè H0 è âîçìóùåíèÿ H 0 ,19H = H0 +H 0 .

Ïîä äåéñòâåì âîçìóùåíèÿ ìåíÿþòñÿ îïåðàòîð ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå, ïî êîòîðîìó ïðîèñõîäèò óñðåäíåíèå.Ðàññìîòðåòü ýòè èçìåíåíèÿ îòäåëüíî ïîìîãàåò ïðåäñòàâëåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ, â êîòîðîì îïåðàòîðû çàâèñÿò îò âðåìåíè êàê íåâîçìóùåííûå, à çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè âîëíîâîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ òîëüêîâîçìóùåíèåì.ϕI (x) = eiH0 t ϕ(0, x)e−iH0 t(4.1)d(4.2)i ψI = HI0 ψIdtÈíäåêñ I îòìå÷àåò ïåðåìåííûå â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ.Îïåðàòîð ýâîëþöèè U (t, t0 ) îïèñûâàåò çàâèñèìîñòü îò âðåìåíèâîëíîâîé ôóíêöèè, à òàêæå ñâÿçûâàåò îïåðàòîð â ïðåäñòàâëåíè âçàèìîäåéñòâèÿ ñ òåì æå îïåðàòîðîì â ïðåäñòàâëåíèè Ãåéçåíáåðãà.ψI (t) = U (t, t0 )ψI (t0 )(4.3)ϕ(t, x) = U + (t, t0 )ϕI (t0 , x)U (t, t0 )(4.4)Èç ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äâóìÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè îïåðàòîðà ïîëÿϕ(t, x) = eiH∆t ϕ(t0 , x)e−iH∆t = eiH∆t e−iH0 ∆t ϕI eiH0 ∆t e−iH∆t≡ U + (t, t0 )ϕI U (t, t0 ), ãäå ∆t = t − t0ñëåäóåò ôîðìóëàU (t, t0 ) = eiH0 (t−t0 ) e−iH(t−t0 )(4.5)(4.6)Ñ å¼ ïîìîùüþ ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îïåðàòîð ýâîëþöèè óäîâëåòâîðÿåòäèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìdU (t, t0 ) = HI0 (t)U (t, t0 ), U (t0 , t0 ) = 1dtè ýêâèâàëåíòíîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþZ tU (t, t0 ) = 1 − iHI0 (t1 )U (t1 , t0 )dt1i(4.7)(4.8)t04.2Ðÿä òåîðèè âîçìóùåíèéïîðîæäàåòñÿ èòåðàöèÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ.

Äàëüøå âñå îïåðàòîðû èñïîëüçóþòñÿ â ïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ.U (t, t0 ) = 1 − iZtt00Ztt2H (t1 )dt1 + (−i)dt2 H (t2 )dt1 H 0 (t1 ) + ...ttZ t 0Z 0t2+(−i)ndtn H 0 (tn )...dt1 H 0 (t1 ) + ...(4.9)2t0200Zt0Âûðàæåíèå äëÿ âêëàäà âòîðîãî ïîðÿäêà ñèììåòðèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþïåðåñòàíîâêè ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ t1 t2 .2Z tZt2U2 (t, t0 ) = (−i)t02(a)dt1 dt2 H 0 (t1 )H 0 (t2 )(b)t0Z tZt1= (−i)t0(−i)2=2!dt2 dt1 H 0 (t2 )H 0 (t1 )t0tZ tZt0t0T {H 0 (t1 )H 0 (t2 )}dt1 dt2(4.10)Àíàëîãè÷íî â ñëåäóþùèõ ïîðÿäêàõ(−i)nUn (t, t0 ) =n!tZZt...t0t0dt1 ...dtn T {H 0 (t1 )...H 0 (tn )}(4.11)Âåñü ðÿä ñîáèðàåòñÿ â óïîðÿäî÷åííóþ ïî âðåìåíè ýêñïîíåíòóZt0U (t, t0 ) = T exp{−it0H (t1 )dt1 } =Z∞X(−i)nn=0n!tt0T {H 0 (tn )...H 0 (t1 )}dt1 ...dtn(4.12)Îïåðàòîð U (t, t0 ) îïèñûâàåò îáðàùåííîå ïî âðåìåíè (ïîïÿòíîå)äâèæåíèå.