МУ - Элементы квантовой термодинамики (МУ - Элементы квантовой термодинамики.pdf), страница 5

Ïîñìîòðèì íà ïåðâîå ñëàãàåìîå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ è ñðàâíèì åãî ñ ïåðâîé èç äèàãðàìì. Âûõîäÿùåé èç äèàãðàììû ëèíèè ñ èìïóëüñîì p3 ñîîòâåòñòâóåò äèðàêîâñêèñîïðÿæåííûé ñïèíîð ū(p3 ). Òî÷êå ñ èíäåêñîì µ, ãäå âñòðå÷àþòñÿ äâåýëåêòðîííûå è îäíà ôîòîííàÿ ëèíèè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé,ñîïîñòàâëÿåòñÿ ìíîæèòåëü −ieγµ . Ýòî óìíîæàåòñÿ íà ñïèíîð u(p1 ) âîëíîâóþ ôóíêöèþ âõîäÿùåãî (íà÷àëüíîãî) ýëåêòðîíà. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå âîçíèêàåò âîêðóã âåðøèíû ñ èíäåêñîì ν ,íóæíî óìíîæèòü íà íåãî è íà ïðîïàãàòîð ôîòîíà, ïåðåíîñÿùåãî èìïóëüñ k îò îäíîãî ýëåêòðîíà äðóãîìó.

×àñòèöà, ïðîõîäÿùàÿ âíóòðèäèàãðàììû, êàê ôîòîí â ýòîì ïðèìåðå, íàçûâàåòñÿ âèðòóàëüíîé, êîìïîíåíòû å¼ èìïóëüñà íåçàâèñèìû, òî åñòü íå îáÿçàíû ïîä÷èíÿòüñÿñîîòíîøåíèþ k 2 = 0 èëè, äëÿ ýëåêòðîíà, íå îáÿçàòåëüíî p2 = m2 .27Âòîðîå ñëàãàåìîå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîãî çíàêîì,ïîòîìó ÷òî ñïèíîðû ū3 è ū4 â íåì ïåðåñòàâëåíû ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì. Îáùèé çíàê âñåãî âûðàæåíèÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ íåñóùåñòâåí.p3p1p4p1µµ↑↓p2 − p4 = p3 − p1νp4p2 − p3 = p1 − p4νp2−e2 (ū3 γµ u1 )(ū4 γν u2 )p3p2e2 (ū4 γµ u1 )(ū3 γν u2 )Ðèñ.

5.1: Ðàññåÿíèå ýëåêòðîíà íà ýëåêòðîíå.5.4Ïðàâèëà ÔåéíìàíàÌàòðèöà ðàññåÿíèÿ îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå(2π)4 δ(pf − pi )iMf iSf i = (1 + iT )f i = δf i + p 0(21 ...21 ...)(5.12)δ ôóíêöèÿ â ÷èñëèòåëå îáåñïå÷èâàåòpñîõðàíåíèå ïîëíîãî èìïóëüñà. çàìåíàòåëå ïî îäíîìó ìíîæèòåëþ (2j ) íà êàæäóþ âõîäÿùóþ èêàæäóþ âûõîäÿùóþ ÷àñòèöó. Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Mf i äîëæåí áûòüâû÷èñëåí ñ ïîìîùüþ íîðìèðîâàííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé Aν = eν e−ikx ,ãäå e∗ν eν = −1 äëÿ ôîòîíà è ψ = ue−ipx , ãäå ūu = 2m äëÿ ýëåêòðîíà.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âêëàäà ïîðÿäêà n â àìïëèòóäó iMf i íåîáõîäèìî•Íàðèñîâàòü âñå âîçìîæíûå äèàãðàììû ñ n âåðøèíàìè è äàííûìèâõîäÿùèìè è âûõîäÿùèìè ÷àñòèöàìè èç ýëåìåíòîâ â òàáëèöå 5.1.•Ðàññòàâèòü èìïóëüñû òàê, ÷òîáû â êàæäîé âåðøèíå èìïóëüñ ñîõðàíÿëñÿ.•Ïåðåìíîæèòü âêëàäû ýëåêòðîííûõ ëèíèé è âåðøèí ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì îáõîäå ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ ñòðåëîê è óìíîæèòü ýòî âûðàæåíèå íà âêëàäû ôîòîííûõ ëèíèé.•Ïîçèòðîííîé ëèíèè ïðèïèñûâàåòñÿ èìïóëüñ −p, òî åñòü ïîçèòðîíäâèæåòñÿ "ïðîòèâ ñòðåëêè è àìïëèòóäà ïîëó÷àåò ìíîæèòåëü (-1), åñëè ýòà ëèíèÿ íà÷èíàåòñÿ è çàêàí÷èâàåòñÿ âíåøíèìè äëÿ âñåé äèàãðììû ïîçèòðîíàìè.•Êàæäàÿ ýëåêòðîííàÿ ïåòëÿ âíîñèò ìíîæèòåëü (−1) è áåðåòñÿ ñëåä28↓p−ieγνkνp−kiG(p)pÂåðøèíàν èíäåêñ ïîëÿðèçàöèè âõîäÿùåãî ôîòîíàG(p) =p̂+mp2 −m2 +i0=1p̂−m+i0 ïðîïàãàòîð ýëåÏðîïàãàòîð ôîòîíà−iDµν (k)kppp0e∗µ (k0 )kp00←eν (k)kµνdDµν (k) = k2 −λ2 +i0µ νdµν = g µν − (1 − ζ) k kk2u(p)Âõîäÿùèé ýëåêòðîí èëè âûõîäÿùèé ïîçèòðîíū(p0 )Âûõîäÿùèé ýëåêòðîí èëè âõîäÿùèé ïîçèòðîíeν (k)e∗µ (k 0 )Âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè ôîòîíîââõîäÿùåãîâûõîäÿùåãîÒàáëèöà 5.1: Ýëåìåíòû ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì ÊÝÄîò ïðîèçâåäåíèÿ âõîäÿùèõ â ýòó ïåòëþ îïåðàòîðîâ: ÷òîáû ïîëó÷èòüýëåêòðîííûé ïðîïàãàòîð, òî åñòü ñâåðòêó êðàéíèõ îïåðàòîðîâ ψ̄ è ψ ,îäèí ψ îïåðàòîð íóæíî ïðîíåñòè ÷åðåç (2k −1) òàêîãî æå òèïà îïåðàòîðîâ â ïðîèçâåäåíèè k ñêîáî÷íûõ ìíîæèòåëåé (ψ̄ Âψ)...(ψ̄ Âψ), (ãäåk ≥ 2).

Âî âñåõ îñòàëüíûõ ñâ¼ðòêàõ â ïåòëå ñâîðà÷èâàåìûå ïàðû îïåðàòîðîâ ïåòëè ñðàçó ñòîÿò ðÿäîì.•Íåîáõîäèìî ïðîèíòåãðèðîâàòüïî êàæäîìó ñâîáîäíîìó èìïóëüñó âíóòR 4−4ðåííåé ëèíèè d p(2π) (...).•Òåîðåìà Ôàððè. Äèàãðàììà, ñîäåðæàùàÿ çàìêíóòóþ ýëåêòðîííóþ ïåòëþ ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì âåðøèí, äàåò íóëåâîé âêëàä â ïîëíóþàìïëèòóäó.Âåñü âêëàä ýòîé äèàãðàììû îáðàçóþò äâà ïåðåõîäÿùèå äðóã â äðóãà ïðè çàðÿäîâîì ñîïðÿæåíèè ñëàãàåìûõ, îòëè÷àþùèåñÿ íàïðàâëåíèåì îáõîäà ïåòëè. ×òîáû ýòî óâèäåòü, â êàæäîé ïàðå ñîñåäíèõ îïåðàòîðíûõ ñîìíîæèòåëåé ïåòëè âñòàâèì ìåæäó íèìè 1 = Uc+ Uc . Ýòîýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî â êàæäîé âåðøèíå è â êàæäîì ïðîïàãàòîðåäåëàåòñÿ çàðÿäîâîå ñîïðÿæåíèå γν → Uc+ γν Uc = −γ̃ν , ïðè ýòîì â êàæäîì ïðîïàãàòîðå ïåòëè èìïóëüñ ìåíÿåò çíàê.

Ïðè N âåðøèíàõ ïîäèíòåãðàëîì â ïåòëå ñíà÷àëà ñòîèò FN = Sp[G1 γα1 ...GN γαN ], à ïîñëå29çàðÿäîâîãî ñîïðÿæåíèÿ áóäåò (−1)N FN . Äðóãèìè ñëîâàìè îäèí ðàçïî ïåòëå ïðîõîäèò ýëåêòðîí, à äðóãîé ðàç ïîçèòðîí, â òîì æå íàïðàâëåíèè, è ïîëó÷èâøèåñÿ àìïëèòóäû ñêëàäûâàþòñÿ. Ïðè íå÷¼òíîìN ñóììà áóäåò íóëåâîé.6Ýôôåêò Êîìïòîíàk2k1k2µνp1 + k1 = p2 + k2p2p1p2k1µνp1 − k2 = p2 − k1p1Ðèñ.

6.1: Ðàññåÿíèå ýëåêòðîíà íà ôîòîíå.6.1Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòüÐàññåÿíèå ôîòîíà íà ýëåêòðîíå ïðåäñòàâëÿþò äâå èçîáðàæåííûå íàðèñ. 6.1 äèàãðàììû, îòëè÷àþùèåñÿ èìïóëüñîì âèðòóàëüíîãî ýëåêòðîíà â ïðîìåæóòî÷íîì ñîñòîÿíèè. Îäíà èç íèõ ïåðåõîäèò â äðóãóþ, åñëèïåðåñòàâèòü íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé ôîòîíû (èëè íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé ýëåêòðîíû). Àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ ðàâíàM = e∗ν (k2 , σ2 )ū(p2 , λ2 )M νµ u(p1 , λ1 )eµ (k1 , σ1 ),(6.1)11γµ + γµγν ](6.2)ˆˆpˆ1 + k1 − mpˆ2 − k2 − mÀìïëèòóäà M äîëæíà áûòü èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿeν → eν + kν f (k)(6.3)ñ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé f (k). Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ëîêàëüíîìó äîáàâëåíèþ ãðàäèåíòà ê âåêòîðíîìó ïîòåíöèàëó â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè Aν (x) → Aν (x) + ∂ν f˜(x).

Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü îáåñïå÷åíà, åñëè òåíçîð M νµ ïîïåðå÷åí, k2ν M νµ = 0 èëè M νµ k1µ = 0.Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà ū2 (p̂2 − m) = 0 è(p̂1 − m)u1 = 0, ïîëó÷àåìM νµ = −e2 [γ νk2ν ū2 M νµ u1 =−e2 ū2 [(k̂2 + p̂2 − m)1k̂2 + p̂2 − mγµ + γµ301(k̂2 − p̂1 + m)]u1p̂1 − k̂2 − m= −e2 [γ µ − γ µ ] = 0 (6.4)Àìïëèòóäà êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿ äåéñòâèòåëüíî êàëèáðîâî÷íîèíâàðèàíòíà.6.2Îáùèé ñëó÷àéÒåïåðü ïîñìîòðèì, êàê àìïëèòóäà ñâÿçàíà ñ ñå÷åíèåì ðàññåÿíèÿ â áîëåå îáùåì ñëó÷àå ïðåâðàùåíèÿ äâóõ ÷àñòèö ñ èìïóëüñàìè pj = (j , pj )è ñóììàðíûì èìïóëüñîì pi â íåñêîëüêî ÷àñòèö ñ èìïóëüñàìè pk =(k , pk ) è ñóììàðíûì èìïóëüñîì pf .

Äåéñòâóåò ôîðìóëà (5.12). Äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ïðè ðàññåÿíèè ïðîèñõîäèò â îáúåìå V â òå÷åíèå èíòåðâàëà âðåìåíè T . Ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòè ïðîöåññà âîçíèêàåò êâàäðàò ñîäåðæàùåéñÿ â ýëåìåíòå S -ìàòðèöû δ -ôóíêöèè. Îí ðàñêðûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãîïðåäñòàâëåíèÿ îäíîãî èç ñîìíîæèòåëåé, ñ èíòåãðèðîâàíèåì â êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ[(2π)4 δ(pf −pi )]2 = (2π)4 δ(pf −pi )ZT,Vei(pf −pi )x d4 x = (2π)4 δ(pf −pi )T V(6.5)ñ ó÷åòîì ôà ñëó÷àå ïðåâðàùåíèÿ äâóõ ÷àñòèö â äâå p1 , p2 →çîâîãî îáúåìà êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ, âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â åäèíèöóâðåìåíè ðàâíàp01 , p02 ,dp01dp02V··dw = (2π) δ(pf − pi )|Mf i |41 2 V 2 201 (2π)3 202 (2π)342(6.6)×òîáû ïîëó÷èòü ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ ýòó âåðîÿòíîñòü íóæíî ðàçäåëèòüíà ïëîòíîñòü ïîòîêà ñòàëêèâàþùèõñÿ ÷àñòèöJ|j| =; J=V 1 2 ñèñòåìå öåíòðà èíåðöèèp1q(p1 p2 )2 − m21 m22(6.7)= −p2 = p, à ïîä êîðíåì áóäåò(p1 p2 )2 − m21 m22 = (1 2 + p2 )2 − m21 m22= (m21 + p2 )(m22 + p2 ) + 21 2 p2 + p4 − m21 m22= p2 (m21 + m22 + 2p2 + 21 2 ) = p2 (1 + 2 )2Ïëîòíîñòü ïîòîêà â ñ.ö.è.

ïðèíèìàåò íàãëÿäíûé âèä|j| =|p| 11|v1 | + |v2 |( + )=V 1 2V(6.8)Íîðìèðîâêà ñîîòâåòñòâóåò îäíîé ÷àñòèöå êàæäîãî ñîðòà â îáúåìå V .316.3Êîìïòîíîâñêîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿÂåðíóâøèñü ê îñíîâíîé çàäà÷å, âîçüìåì ñå÷åíèå êîìïòîíîâñêîãî ðàññåÿíèÿdσ =dp2 dk2 0 01 σ1 σ2 2|Mλ1 λ2 | (2π)4 δ(p2 + k2 − p1 − k1 )2p 2kJ(2π)6 2 2(6.9)Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò çàâèñèò îò èíäåêñîâ ïîëÿðèçàöèè íà÷àëüíîãî èêîíå÷íîãî ôîòîíîâ σ1,2 è íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ýëåêòðîíîâ λ1,2 . Ñå÷åíèå íåîáõîäèìî óñðåäíèòü ïî ïîëÿðèçàöèÿì íà÷àëüíûõ ÷àñòèö èïðîñóììèðîâàòü ïî ïîëÿðèçàöèÿì êîíå÷íûõ ÷àñòèö. Ñóììèðîâàíèåïî ïîëÿðèçàöèÿì ôîòîíà âûïîëíÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ åãî ïîëÿðèçàöèîííîé ìàòðèöû ïëîòíîñòèXσ=1,2eσµ eσ∗ν = −gµν(6.10)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîé ôîðìóëû ðàññìîòðèì äèàãðàììó ñ îäíîé ôîòîííîé âíåøíåé ëèíèåé. Àìïëèòóäà M (k) = M µ (k)eσµ çàâèñèò îò ïîëÿðèçàöèè ýòîãî ôîòîíà.

Ñîîòâåòñòâóþùååñå÷åíèå (èëè âåðîÿòíîñòüPµ∗νσ∗ σïðîöåññà) ïðîïîðöèîíàëüíîσ M (k)M (k)eµ eν . Èñïîëüçóåì ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ îñüþ z âäîëü èìïóëüñà ôîòîíàk µ = (|k|, 0, 0, |k|)è ïàðó îðòîãîíàëüíûõ ýòîìó èìïóëüñó íåçàâèñèìûõ îðòîâ ïîëÿðèçàöèèe1µ = (0, 1, 0, 0);e2µ = (0, 0, 1, 0)Òîãäà ñóììà ïî ïîëÿðèçàöèÿìXσ=1,2|eσµ (k)M µ (k)|2 = (−M1 )(−M1∗ ) + (−M2 )(−M2∗ ) = |M1 |2 + |M2 |2(6.11)Èç êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè, îçíà÷àþùåé ïîïåðå÷íîñòü M µ (k),â âûáðàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëó÷àåòñÿkµ M µ = |k|M 0 − |k|M 3 = 0, òî åñòü M 0 = M 3 ,ïîýòîìó â ñóììó (6.11). ìîæíî äîáàâèòü âêëàä ïðîäîëüíîé |M 3 |2 èâêëàä ñêàëÿðíîé −|M 0 |2 êîìïîíåíò, êîòîðûå êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà.  èòîãå ñóììà ïî ñîñòîÿíèÿì ïîëÿðèçàöèè îäíîãî ôîòîíà ïðèíèìàåò âèäXµν(k)∗eσµ eσ∗= −gµν M µ (k)M ν(k)∗(6.12)ν M (k)Mσ32Çäåñü àìïëèòóäà M µ (k) ïðîèçâîëüíà, ïîýòîìó ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà(6.10).Ñóììà ïî ïîëÿðèçàöèÿì ýëåêòðîíà ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ åãî ïîëÿðèçàöèîííîé ìàòðèöû ïëîòíîñòèXuλ (p)ūλ (p) = p̂ + m(6.13)λ=1,26.4Óñðåäíåíèå ïî ïîëÿðèçàöèÿìÓ÷èòûâàÿ óñðåäíåíèå ïî ïîëÿðèçàöèÿì íà÷àëüíûõ è ñóììèðîâàíèå ïîïîëÿðèçàöèÿì êîíå÷íûõ ÷àñòèö, â êîìïòîíîâñêîì ñå÷åíèè ïîëó÷àåììíîæèòåëü "êâàäðàò àìïëèòóäû"hM ∗ M i =1X λ(ū Mµν uκ )∗ (ūλ M µν uκ )4(6.14)κ,λÏåðâûé ñîìíîæèòåëü ïîä çíàêîì ñóììû òðàíñïîíèðóåì è âñòàâèììåæäó åãî ÷àñòÿìè 1 = γ0 γ0 , ëåâàÿ ìàòðèöà γ0 äåéñòâóåò íàëåâî, àïðàâàÿ íàïðàâî+(ūλ Mµν uκ )∗ = uκ+ γ0 γ0 Mµνγ0 uλ = ūκ Mνµ uλ(6.15)+γ0 = Mνµ .