МУ - Элементы квантовой термодинамики (МУ - Элементы квантовой термодинамики.pdf), страница 8
Описание файла
PDF-файл из архива "МУ - Элементы квантовой термодинамики.pdf", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая механика" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 8 страницы из PDF
Ýòî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðåíîðìãðóïïîâîé èíâàðèàíò èíâàðèàíòíûé çàðÿä. Äîñòàòî÷íî îñòàâèòü òîëüêî ïåðåíîðìèðóþùóþñÿ, ïîïåðå÷íóþ ÷àñòü òî÷íîãî ïðîïàãàòîðà ôîòîíàkµ kν)D(k 2 )(10.2)2kdk 2 m2 212D(k ) = 2 , ãäå d( 2 , 2 , e0 ) =(10.3)kM M1 − Π̃(k 2 )Òå æå ôîðìóëû, ñ äîáàâëåíèåì èíäåêñà r, ïðèìåíèìû ê ïåðåíîðìèðîâàííîìó ïðîïàãàòîðó.Âàæíî, ÷òî d(k 2 /M 2 , m2 /M 2 , e2 ) ôóíêöèÿ òîëüêî áåçðàçìåðíûõïåðåìåííûõ è ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë (íàïðèìåð M → ∞), â êîòîðîìDµν (k) = (gµν −45ýòà ôóíêöèÿ íå çàâèñèò îò ðåãóëÿðèçóþùåãî ïàðàìåòðà M .k 2 m2 2k 2 m2 2 2−1dr ( 2 , 2 , er (µ )) = Z3 d( 2 , 2 , e0 )µ µM M(10.4)e2r = Z3 e20(10.5)Ïåðåìíîæèâ ýòè äâà ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òî÷íûìè è ïåðåíîðìèðîâàííûìè âåëè÷èíàìè, ïîëó÷àåì ðåíîðìèíâàðèàíò, íå çàâèñÿùåå îò ñïîñîáà ïåðåíîðìèðîâêè ïðîèçâåäåíèåm2 2 2k 2 m2 22, e (µ )) = e0 d( 2 , 2 , e0 )µ µ2 rM Mk22er dr ( 2 ,(10.6)Äàëüøå â ýòîì ðàçäåëå èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî ïåðåíîðìèðîâàííûå âåëè÷èíû.
×òîáû âûÿñíèòü çàâèñèìîñòü ðåíîðìèíâàðèàíòà îò èìïóëüñà, íàïèøåìk 2 m2 2 2k 2 m2 2 22 2e (µ )d( 2 , 2 , e (µ )) = e (ν )d( 2 , 2 , e (ν ))µ µν ν22(10.7)Ïðîïàãàòîð ôîòîíà íîðìèðóåòñÿ óñëîâèåìm2 2 2d(1, 2 , e (ν )) = 1ν(10.8)Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî D(k 2 → ν 2 ) → 1/k 2 , Π̃(ν 2 ) = 0. Èç ñîîòíîøåíèÿ(10.7) ïðè ν 2 = k 2 , ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ íîðìèðîâêè, ïîëó÷àåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ áåãóùåé êîíñòàíòû ñâÿçèe2 (k 2 ) = e2 (µ2 )d(k 2 m2 2 2,, e (µ ))µ2 µ2(10.9)Áåãóùàÿ êîíñòàíòà ñâÿçè â ÊÝÄ ýòî êâàäðàò çàðÿäà ñî ñëàáîé, êàê áóäåò äàëüøå âèäíî, ëîãàðèôìè÷åñêîé, çàâèñèìîñòüþ îò ïåðåäàâàåìîãîïðè ðàññåÿíèè èìïóëüñà.10.3Óðàâíåíèÿ ðåíîðìãðóïïû ïðåäåëå µ2 >> m2 çàâèñèìîñòü îò ìàññû ýëåêòðîíà âûïàäàåò èóðàâíåíèå äëÿ êâàäðàòà áåãóùåãî çàðÿäà óïðîùàåòñÿe2 (k 2 ) = e2 (µ2 )f (46k2 2 2, e (µ )),µ2(10.10)Ôóíêöèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷àåòñÿ èç ïðîïàãàòîðà ôîòîíàk2k2 2 2f ( 2 , e (µ )) = d( 2 , 0, e2 (µ2 ))µµ(10.11)Èç ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ ðåíîðìãðóïïû (10.10)ìîæíî ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèàëüíîå.
Äëÿ ýòîãî ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå íóæíî ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ïî k 2 è ïîëîæèòü çàòåì k 2 = µ2 . Ðåçóëüòàòíàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ãåëë-ÌàííàËîó22 ∂(e )k∂(k 2 )= β(e2 )(10.12)Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ãåëë-ÌàííàËîó222 ∂f (x, e )β(e ) = e∂x|x=1(10.13)Óðàâíåíèå Ãåëë-ÌàííàËîó èñïîëüçóåòñÿ òàêæå â èíòåãðàëüíîé ôîðìåZ 2 2e (k )k2ln 2 =µ10.4e2 (µ2 )dαβ(α)(10.14)Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãåëë-ÌàííàËîó. ñëó÷àå ïîëÿðèçàöèîííîãî îïåðàòîðà â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèèâ ïðîïàãàòîðå ôîòîíà ñòîèò ôóíêöèÿd(k2, 0, e2 ) =2µ1+1k212π 2 ln(− µ2 )e2(10.15)Èìïóëüñ çäåñü ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûé. Ôóíêöèÿ Ãåëë-ÌàííàËîóïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ òàê.e21/|x|e4β(e ) = e|x=1 = e|x=1 =e22∂x12π 2 (1 + 12π12π 2ln|x|)2(10.16) ðåçóëüòàòå e¼ ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèå (10.14) ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå, îïðåäåëÿþùåå áåã çàðÿäà, ñì.
ðèñ.222 ∂d(x, 0, e )2111k2=−ln||e2 (k 2 ) e2 (µ2 ) 12π 2 µ247(10.17)Êâàäðàò çàðÿäà êàê ôóíêöèÿ ïåðåäàâàåìîãî ýëåêòðîíîì ïðè ñòîëêíîâåíèè èìïóëüñà èìååò îñîáåííîñòü, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïîëþñîì Ëàíäàó2e2 (µ2 )2e (k ) =1−e2 (µ2 )k212π 2 ln(− µ2 )(10.18)Ñóùåñòâîâàíèå ýòîãî ïîëþñà îçíà÷àåò, ÷òî îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ÊÝÄïðèíöèïèàëüíî îãðàíè÷åíà ïðè áîëüøèõ ïåðåäàâàåìûõ èìïóëüñàõ, õîòÿ ýòî îãðàíè÷åíèå ïîâèäèìîìó äàëåêî îò ðåàëüíîñòè. Äëÿ îöåíêèâîçüìåì ìàññó ýëåêòðîíà me â êà÷åñòâå çíà÷åíèÿ èìïóëüñà, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò ïåðåíîðìèðîâêà. Òîãäà èçpïîëîæåíèÿ ïîëþñà îá3πëàñòü ïðèìåíèìîñòè ÊÝÄ îöåíèâàåòñÿ êàê−q 2 < me · exp 2α≈680280me e ≈ me 10 .
Îäíàêî ïðè ñóùåñòâåííî ìåíüøèõ ýíåðãèÿõ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî êðîìå ýëåêòðîíà â ïîëÿðèçàöèþ âàêóóìà äàþòâêëàä áîëåå ìàññèâíûå çàðÿæåííûå ÷àñòèöû, à ÷åðåç íèõ äðóãèå, íåýëåêòðîìàãíèòíûå, âçàèìîäåéñòâèÿ.48.
