МУ - Элементы квантовой термодинамики (МУ - Элементы квантовой термодинамики.pdf), страница 4

Ýòî âèäíî, íàïðèìåð, èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ,ýðìèòîâî ñîïðÿæåííîãî óðàâíåíèþ (4.7). Ïîëüçóÿñü ýòèì ìîæíî íàïèñàòü òàêîå ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðà ýâîëþöèè, â êîòîðîì îáà åãîàðãóìåíòà ðàâíîïðàâíû è íå ñâÿçàíû ñ íà÷àëîì îòñ÷åòà âðåìåíè.+U (t, t0 ) = U (t, t0 )U + (t0 , t0 )00= eiH0 (t−t0 ) e−iH(t−t ) e−iH0 (t −t0 )(4.13)Ñâîéñòâà îïåðàòîðà ýâîëþöèè ñëåäóþò èç ôîðìóëû (4.13) è èç åãîïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå óïîðÿäî÷åííîé ýêñïîíåíòû.ÓíèòàðíîñòüU + (t, t0 )U (t, t0 ) = 1(4.14)ãðóïïîâîå ñâîéñòâî, ïðè t3 > t2 > t1 ,U (t3 , t1 ) = U (t3 , t2 )U (t2 , t1 )(4.15)U (t, t) = 1(4.16)åäèíèöà ãðóïïû214.3Âàêóóì âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîëåé |ΩiÑâÿçü |Ωi c âàêóóìîì ñâîáîäíûõ ïîëåé |0i ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ íàáîðà ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé òî÷íîãî ãàìèëüòîíèàíà, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ïîëíîòû1 = |Ωi hΩ| +Xn6=0(4.17)|ni hn|Äîìíîæèâ (4.17) íà e−iHt ñëåâà è íà |0i ñïðàâà, ó÷èòûâàÿ îáû÷íûåóñëîâèÿ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíàH |ni = En |ni ïðè n 6= 0,H |Ωi = E0 |Ωi ,H0 |0i = 0,ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþe−iHt |0i = e−iE0 t |Ωi hΩ|0i +Xn6=0e−iEn t |ni hn|0i(4.18)Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íå ðàâåí íóëþ ìàòðè÷íûé ýëåìåíò hΩ|0i, èíà÷åâîçìóùåíèå íåëüçÿ ñ÷èòàòü ìàëûì.

Ïðè ïåðåõîäå ê ïðåäåëó t → (1 −i0)∞ âñå ñîñòîÿíèÿ ïðèîáðåòàþò áåñêîíå÷íî ìàëîå çàòóõàíèå, à âêëàäîñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â ïðàâóþ ÷àñòü óáûâàåò ìåäëåííåé îñòàëüíûõñëàãàåìûõ.  ïðåäåëå îñòàåòñÿ òîëüêî ýòîò ãëàâíûé âêëàäe−iHt |0i ≈ e−iE0 t |Ωi hΩ|0i(4.19)Òåïåðü ñäâèíåì âðåìÿ íà ïîñòîÿííûé èíòåðâàë t0 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òîH0 |0i = 0 âñòàâèì ïåðåä íåâîçìóùåííûì âàêóóìîì ýêâèâàëåíòíûéåäèíèöå ìíîæèòåëü eiH0 (t+t0 ) .  èòîãå â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (4.19)îáíàðóæèâàåòñÿ îïåðàòîð ýâîëþöèèe−iH(t+t0 ) eiH0 (t+t0 ) |0i = U + (−t, t0 ) |0i = U (t0 , −t) |0i(4.20)è èç (4.19) ñëåäóåò òàêàÿ ñâÿçü ìåæäó íåâîçìóùåííûì âàêóóìîì èòî÷íûì âàêóóìîì â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè|Ωi =limt→(1−i0)∞(e−iE0 (t+t0 ) hΩ|0i)−1 U (t0 , −t) |0i(4.21)Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå äëÿ òî÷íîãî âàêóóìà â êîíå÷íîìñîñòîÿíèèhΩ| =lim(e−iE0 (t+t0 ) h0|Ωi)−1 h0| U (t, t0 )t→(1−i0)∞22(4.22)4.4Òåîðåìà Âèêàïîçâîëÿåò âûðàçèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïðîèçâåäåíèÿ ïîëåé,óñðåäíåííûå ïî âàêóóìó âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîëåé, ÷åðåç êîððåëÿòîðû íàä âàêóóìîì ñâîáîäíûõ ïîëåé âèäàh0|T ϕ(x1 )...ϕ(xn )|0i(4.23)Ïðè n = 2 ýòî ôåéíìàíîâñêèé ïðîïàãàòîð.

Çäåñü âñå ïîëÿ áåðóòñÿ âïðåäñòàâëåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Ó íèõ âûäåëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíî èîòðèöàòåëüíî ÷àñòîòíûå ÷àñòè, ñîîòâåòñòâåííî ϕ+ (x) è ϕ− (x).+ϕ(x) = ϕ (x) + ϕ− (x),±Zϕ =dp e∓ipx ∓p a(2π)3 2p p(4.24)Ïðè äåéñòâèè ýòèõ îïåðàòîðîâ ïîëåé íà âàêóóì íåêîòîðûå âêëàäûçàíóëÿþòñÿ.Rϕ+ |0i = 0,h0| ϕ− R = 0,(4.25)ãäå R ïðîèçâîëüíîå îïåðàòîðíîå âûðàæåíèå.(N ïðîèçâåäåíèåì)íàçûâàåòñÿ òàêîå ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ, â êîòîðîì âñå îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ a+p ñòîÿò ñëåâà îò îïåðàòîðîâ óíè÷òîæåíèÿ ap0 .Ïðèìåð : ïðè x0 > y0 èìååìÍîðìàëüíî óïîðÿäî÷åííûì ïðîèçâåäåíèåìT ϕ(x)ϕ(y)(4.26)= ϕ+ (x)ϕ+ (y) + ϕ+ (x)ϕ− (y) + ϕ− (x)ϕ+ (y) + ϕ− (x)ϕ− (y)= ϕ+ (x)ϕ+ (y) + ϕ− (y)ϕ+ (x) + ϕ− (x)ϕ+ (y) + ϕ− (x)ϕ− (y) + [ϕ+ (x)ϕ− (y)] ïîñëåäíåé ñòðîêå êîììóòàòîð ÷èñëî, à îñòàëüíûå ñëàãàåìûå íîðìàëüíî óïîðÿäî÷åííûå îïåðàòîðû.

Ñâåðòêîé ïàðû îïåðàòîðîâ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü èõ T- è N- ïðîèçâåäåíèéϕ(x)ϕ(y) = T ϕ(x)ϕ(y) − N ϕ(x)ϕ(y) = h0|T ϕ(x)ϕ(y)|0i = DF (x − y)(4.27)([ϕ+ (x), ϕ− (y)] , x0 > y0ϕ(x)ϕ(y) =[ϕ+ (y), ϕ− (x)] , y0 > x0Âèäíî, ÷òî ñâåðòêà ÷èñëî, à íå îïåðàòîð.Òåîðåìà ÂèêàT {ϕ(x1 )...ϕ(xn )} = N {ϕ(x1 )...ϕ(xn ) + Σn },23(4.28)ãäå Σn ýòî ñóììà ïðîèçâåäåíèé òåõ æå n ïîëåé, ñîäåðæàùèõ âñå âàðèàíòû âîçìîæíûõ ïîïàðíûõ ñâ¼ðòîê ýòèõ ïîëåé.Ïðè óñðåäíåíèè ýòîãî ðàâåíñòâà ïî âàêóóìó îñòàþòñÿ òîëüêî ñëàãàåìûå, â êîòîðûõ íåò íåñâ¼ðíóòûõ îïåðàòîðîâ.

Èëëþñòðàöèÿ ê òåîðåìåÂèêà:T {ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 } = N {ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4+ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 + ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 + ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4+ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 + ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 + ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4(4.29)+ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 + ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 + ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 }Ïðè óñðåäíåíèè ïî âàêóóìó âûæèâàþò òîëüêî ïîñëåäíèå òðè ñëàãàåìûõh0|T {ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 }|0i = DF (x1 − x2 )DF (x3 − x4 )+ DF (x1 − x3 )DF (x2 − x4 )+ DF (x1 − x4 )DF (x2 − x3 )313131424242(4.30)Ðèñ. 4.1:Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Âèêàa) ïðè n = 2 è x01 > x02+− + − +− −+ −T {ϕ1 ϕ2 } = ϕ+1 ϕ2 + ϕ2 ϕ1 ϕ1 ϕ2 + ϕ1 ϕ2 + [ϕ1 ϕ2 ] = N {ϕ1 ϕ2 + ϕ1 ϕ2 }(4.31)êàê è äîëæíî áûòü ñîãëàñíî òåîðåìå;b) ïðè n > 2 è x01 > x02 > ...

> x0n ðàâåíñòâî (4.28) äëÿ ïðîèçâå−äåíèÿ ϕ1 ...ϕn−1 äîìíîæàåì ñïðàâà íà ϕ+n + ϕn .  ëåâîé ÷àñòè ïîäçíàêîì T −ïðîèçâåäåíèÿ äîáàâëÿåòñÿ ìíîæèòåëü ϕn . ïðàâîé ÷àñòèîïåðàòîð ϕ+n ïðîñòî âíîñèòñÿ ïîä çíàê N −ïðîèçâåäåíèÿ è îñòà¼òñÿ â í¼ì íà ïîñëåäíåì ìåñòå. Îïåðàòîð ϕ−n ïîñëå âíåñåíèÿ ïîä çíàêN −ïðîèçâåäåíèÿ íåîáõîäèìî ïðîíåñòè íàëåâî, ïðîêîììóòèðîâàâ åãîñ íåñêîëüêèìè ñîìíîæèòåëÿìè. Ýòè êîììóòàòîðû îñòàâëÿþò äîáàâêèê ñóììå Σn−1 . Ïîëó÷àåòñÿ ñóììà Σn è ðàâåíñòâî (4.28).245Äèàãðàììíàÿ òåõíèêà äëÿ òåîðèè âîçìóùåíèé5.1Àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ â ÊÝÄïðåäñòàâëÿåòñÿ ìàòðè÷íûì ýëåìåíòîì âèäà hout|S|ini ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ îïðåäåëåííûì íàáîðîì íà÷àëüíûõ è êîíå÷íûõ ÷àñòèö îòìàòðèöû ðàññåÿíèÿS = lim U (t, −t) = T exp{−iet→∞Z∞Zdtdxψ̄(x)γν ψ(x)Aν (x)}(5.1)−∞Ìàòðèöà ðàññåÿíèÿ ëîðåíö-èíâàðèàíòíà.

Îíà ñîäåðæèò ìàëûé ïàðàìåòð e2 /(~c), ïî êîòîðîìó å¼ ìîæíî (è íåîáõîäèìî) ðàçëàãàòü, ÷òîáûâûäåëèòü âêëàäû â êîíêðåòíûé ïðîöåññ.Ïðîöåññû ïåðâîãî ïîðÿäêà çàïðåùåíû êèíåìàòè÷åñêè. Íàïðèìåðñâîáîäíûé ýëåêòðîí íå ìîæåò èñïóñòèòü ôîòîí. Äëÿ ýëåêòðîíà ñ íà÷àëüíûì èìïóëüñîì p1 ïðåâðàùàþùåãîñÿ â ýëåêòðîí ñ èìïóëüñîì p2è ôîòîí ñ èìïóëüñîì k äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ îäíîâðåìåííî èíâàðèàíòíûå ñîîòíîøåíèÿ p21 = p22 = m2 , k 2 = 0 è êîâàðèàíòíûé çàêîíñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà p1 = p2 + k .

Ïðè ïðîâåðêå â ñèñòåìå ïîêîÿ êîíå÷íîãî ýëåêòðîíà ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ m2 = p21 6= (p2 + k)2 =m2 + 2mω > m2 , ω ýíåðãèÿ ôîòîíà.5.2ÏðèìåðÄîñòàòî÷íî ïðîñòîé ïðîöåññ âòîðîãî ïîðÿäêà óïðóãîå ðàññåÿíèå ïàðû ýëåêòðîíîâ. Îí âïîëíå ïîäõîäèò, ÷òîáû ðàçîáðàòü ïîäðîáíîñòèâû÷èñëåíèÿ àìïëèòóä. Íà÷àëüíûå ýëåêòðîíû ñ èìïóëüñàìè p1 , p2 , êîíå÷íûå ñ èìïóëüñàìè p3 , p4 . Àìïëèòóäó ýòîãî ïðîöåññà ñ ïîìîùüþîïåðàòîðîâ a, a+ ïåðåïèøåì êàê ñðåäíåå ïî âàêóóìóDE DE(2) + +3, 4|S |1, 2 = 0|a4 , a3 S a2 a1 |0(2)(5.2)d4 xd4 x0 T {jµ (x)jν (x0 )}T {Aµ (x)Aν (x0 )}(5.3)ãäåS (2) = (−e2 /2!)ZÝëåêòðîííûå è ôîòîííûå îïåðàòîðû êîììóòèðóþò äðóã ñ äðóãîì, ïîýòîìó èñõîäíîå îáùåå Tïðîèçâåäåíèå ðàñïàäàåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå25äâóõ íåçàâèñèìûõ. Âñ¼ ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñîäåðæèò: ïðîïàãàòîð ôîòîíà, íåîïåðàòîðíóþ ôóíêöèþi h0|T Aµ (x)Aν (x0 )|0i(5.4)è ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïðîèçâåäåíèÿ ýëåêòðîííûõ îïåðàòîðîâ+0|a4 a3 T {jµ (x)jν (x0 )}a+a|0,2 1(5.5)â êîòîðîì êàæäîìó îïåðàòîðó a+íàéòè1 , ..., a4 íóæíîDE ïàðòí¼ðà â îä-íîì èç îïåðàòîðîâ òîêà, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü 0|ap a+p0 |0 = δpp0 è íå îñòàëîñü íåñâåðòûâàåìûõ îïåðàòîðîâ.

Îïåðàòîð òîêà ñîäåðæèò ýëåêòðîíïîçèòðîííûå ïîëÿψ(x) =Xp[ψp (x)ap + ψ−p (x)b+p ];ψ̄(x) =Xp[ψ̄p (x)a+p + ψ̄−p (x)bp ](5.6)Ïîçèòðîííûå îïåðàòîðûâ äàííîì ïðîöåññå íå ó÷àñòâóþò (ïîêàíå èñïîëüçóþòñÿ). Ó÷òåì âñå âîçìîæíûå ñâåðòêè ýëåêòðîííûõ îïåðàòîðîâ.bp , b+p0+0|a4 a3 T {jµ (x)jν (x0 )}a+2 a1 |0=+00 + +a4 a3 (ψ̄γµ ψ)(ψ̄ 0 γν ψ 0 )a+2 a1 + a4 a3 (ψ̄γµ ψ)(ψ̄ γν ψ )a2 a1+00 + ++a4 a3 (ψ̄γµ ψ)(ψ̄ 0 γν ψ 0 )a+2 a1 + a4 a3 (ψ̄γµ ψ)(ψ̄ γν ψ )a2 a1 (5.7)Ñâåðòûâàåìûå îïåðàòîðû íóæíî ïîñòàâèòü ðÿäîì, ïðèìåíÿÿ ïðè ïåðåñòàíîâêàõ ïðàâèëî àíòèêîììóòàöèè. Ïîëó÷àþòñÿ ÷åòûðå ñëàãàåìûõ.Âñëåäñòâèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îäíîâðåìåííîé ïåðåñòàíîâêè èíäåêñîâ è âåêòîðíûõ àðãóìåíòîâ(µ ↔ ν), (x ↔ x0 ) ïîïàðíî ñîâïàäàþòïåðâîå è òðåòüå, à òàêæå âòîðîå è ÷åòâåðòîå ñëàãàåìûå.

Èñïîëüçóåìóïðîùåííûå îáîçíà÷åíèÿ ψpi = ψi , api = ai , ψ(x0 ) = ψ 0 ,.... ÝëåìåíòS−ìàòðèöû ïðèíèìàåò âèä(2)Sf i= ie2Zd4 xd4 x0 Dµν (x−x0 )[−(ψ̄3 γµ ψ1 )(ψ̄ 0 4 γν ψ20 )+(ψ̄3 γµ ψ2 )(ψ̄ 0 4 γν ψ10 )](5.8)5.3Äåòàëè âû÷èñëåíèÿ ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ïîäñòàâëÿþòñÿ ïëîñêèå âîëíû ýëåêòðîíîâ ψi = ui e−ipx , ψ̄i = ūi eipx .... Ïîñëå ïåðåõîäà (ñ åäèíè÷íûì ÿêîáèàíîì) ê êîîðäèíàòàì öåíòðà ìàññ ïàðû ýëåêòðîíîâ X = (x + x0 )/226è êîîðäèíàòàì èõ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ξ = x − x0 "ýëåêòðîííûéìíîæèòåëü" ïîä èíòåãðàëîì áóäåò ðàâåí[...] = {−(ū3 γµ u1 )(ū4 γν u2 )ei(p3 −p1 −p4 +p2 )ξ/2+(ū3 γµ u2 )(ū4 γν u1 )ei(p3 −p2 −p4 +p1 )ξ/2 }ei(p3 +p4 −p1 −p2 )X(5.9)Èíòåãðèðîâàíèå ïî êîîðäèíàòå öåíòðà èíåðöèè ïðèâîäèò ê óñëîâèþñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî èìïóëüñà ýëåêòðîíîâZd4 X[...] ∼ δ(p3 + p4 − p1 − p2 )à èíòåãðàë ïî îòíîñèòåëüíîé êîîðäèíàòå - ê ïðîïàãàòîðó ôîòîíà âèìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèèZd4 ξeiξq/2 Dµν (ξ) = Dµν (q/2),(5.10)ãäå q = p3 − p1 = p4 − p2 â ïåðâîì ñëàãàåìîì ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòàè q = p3 − p2 = p4 − p1 â åãî âòîðîì ñëàãàåìîì.

Ýëåìåíò ìàòðèöûðàññåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ðàññåÿíèå äâóõ ýëåêòðîíîâ, ïðèíèìàåò âèä(2)Sf i = ie2 (2π)4 δ(p3 + p4 − p1 − p2 ){−(ū3 γµ u1 )(ū4 γν u2 )Dµν (p3 − p1 )+(ū3 γµ u2 )(ū4 γν u1 )Dµν (p3 − p2 )}(5.11)(2)Äâà ñëàãàåìûõ Sf i ìîæíî íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü ïàðîé ãðàôèêîâ, åñëè çàäàòü òî÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âõîäÿùèìè â ìàòðè÷íûé ýëåìåíò âåëè÷èíàìè è ýëåìåíòàìè ýòèõ ãðàôèêîâ. Ýëåêòðîíó ñîïîñòàâëÿåòñÿ îòðåçîê ïðÿìîé ëèíèè ñî ñòðåëêîé, ôîòîíó îòðåçîê âîëíèñòîéëèíèè. ×àùå èñïîëüçóþòñÿ äèàãðàììû â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè.Ó ëèíèè ìîæíî óêàçàòü èìïóëüñ ÷àñòèöû.