slides07 (Лекции по квантовой микрофизике)

Лекция 7.Неразличимость частиц в квантовоймеханике, запрет Паули, обменноевзаимодействие.Сложный атом. Термы. ТаблицаМенделеева.В.Н.Глазков, МФТИ 2019Пространственная чётностьсостояния квантовой системыΨ(⃗r )=Rnl (r )Y lm (Θ , ϕ )Пространственная чётностьсостояния квантовой системыΨ(⃗r )=Rnl (r )Y lm (Θ , ϕ )Инверсия:⃗r ⇔−⃗r{r ,Θ , ϕ}⇔{r , π−Θ , π+ ϕ }Пространственная чётностьсостояния квантовой системыΨ(⃗r )=Rnl (r )Y lm (Θ , ϕ )Инверсия:⃗r ⇔−⃗r{r ,Θ , ϕ}⇔{r , π−Θ , π+ ϕ }По свойствам сферическойфункции чётность состояния равна(-1)lВолновая функция пары частиц.Ψab ( x1 , x 2)=???1Ψ a ( x 1)a2bΨb ( x 2)Волновая функция пары частиц.Ψab ( x1 , x 2)1ab2ζ∞ξ−∞Ψwa 1(=x 1∫) d x 1 ∫ d x 2 [ Ψ∗ab Ψ ab ]Ψb ( x 2)Волновая функция пары частиц.Ψab ( x1 , x 2)1ab2ζ∞ξ−∞Ψwa 1(=x 1∫) d x 1 ∫ d x 2 [ Ψ∗ab Ψ ab ]Догадка №1Ψbпроб( x 2)Ψab ( x 1 , x 2)=Ψ a ( x1 ) Ψ b ( x 2)неразличимыхВолновая функция пары частиц.Ψab ( x1 , x 2)1ab2ζ∞ξ−∞Ψwa 1(=x 1∫) d x 1 ∫ d x 2 [ Ψ∗ab Ψ ab ]Догадка №1Ψbпроб( x 2)Ψab ( x 1 , x 2)=Ψ a ( x1 ) Ψ b ( x 2)Неразличимость частиц!Перестановка (1↔2) не должна менятьнаблюдаемыеВолновая функция парынеразличимых частиц.ababr1r2r2r1Волновая функция парынеразличимых частиц.ababr1r2r2r1(±)abψ(⃗r 1, ⃗r 2)=ψ a (⃗r 1) ψb (⃗r 2)±ψa ( ⃗r 2) ψb (⃗r 1)(с точностью до нормировки!)Волновая функция парынеразличимых частиц.ababr1r2r2r1(±)abψ(⃗r 1, ⃗r 2)=ψ a (⃗r 1) ψb (⃗r 2)±ψa ( ⃗r 2) ψb (⃗r 1)Четность или нечётность парной волновойфункции к перестановке — внутреннеесвойство частицы!Запрет Паулиa=ba=br1(±)abψr2r2r1(⃗r 1, ⃗r 2)=ψ a (⃗r 1) ψb (⃗r 2)±ψa ( ⃗r 2) ψb (⃗r 1)Запрет Паулиa=ba=br1(±)abψr2r2r1(⃗r 1, ⃗r 2)=ψ a (⃗r 1) ψb (⃗r 2)±ψa ( ⃗r 2) ψb (⃗r 1)БОЗЕчастицыЧЁТНЫЕ кперестановкеМОГУТ находиться в одномсостоянииФЕРМИчастицыНЕЧЁТНЫЕ кперестановкеНЕ МОГУТ находиться водном состоянииТождественность частиц и обменноевзаимодействие.ababr1r2r2r1U (r 1−r 2)(±)abψ(⃗r 1, ⃗r 2)=ψ a (⃗r 1) ψb (⃗r 2)±ψa ( ⃗r 2) ψb (⃗r 1)Тождественность частиц и обменноевзаимодействие.ababr1r2r2r1U (r 1−r 2)(±)abψ(⃗r 1, ⃗r 2)=ψ a (⃗r 1) ψb (⃗r 2)±ψa ( ⃗r 2) ψb (⃗r 1)±E =∬( Ψ± ∗ab)± ∗±ΨΨ∬ ( ab ) ab d x 1 d x 2±U ( x 1, x 2) Ψab d x 1 d x 2=A± JТождественность частиц и обменноевзаимодействие.ababr1r2r2r1U (r 1−r 2)(±)abψ(⃗r 1, ⃗r 2)=ψ a (⃗r 1) ψb (⃗r 2)±ψa ( ⃗r 2) ψb (⃗r 1)±E =∬( Ψ± ∗ab)± ∗±ΨΨ∬ ( ab ) ab d x 1 d x 2±U ( x 1, x 2) Ψab d x 1 d x 2=A± JJ ∝∬ ( Ψ a ( x1 ) Ψ b ( x 2 ))∗ U ( x 1, x 2) Ψ a ( x 2) Ψb ( x1 ) d x1 d x 2Обменное взаимодействие.

Случайдвух фермионов с S=1/2.Ψab ( x1 , σ1 , x 2 , σ2 )=ξab (σ 1 , σ 2) F ab ( x1 , x 2)спиновая частькоординатная частьОбменное взаимодействие. Случайдвух фермионов с S=1/2.Ψab ( x1 , σ1 , x 2 , σ2 )=ξab (σ 1 , σ 2) F ab ( x1 , x 2)S =1 :{спиновая часть∣↑↑ 〉∣↑↓ 〉 +∣↓↑〉∣↓↓ 〉S =0 :∣↑↓〉 −∣↓↑ 〉координатная частьОбменное взаимодействие.

Случайдвух фермионов с S=1/2.Ψab ( x1 , σ1 , x 2 , σ2 )=ξab (σ 1 , σ 2) F ab ( x1 , x 2)S =1 :{спиновая часть∣↑↑ 〉чётн.∣↑↓〉 +∣↓↑〉∣↓↓ 〉〉 −∣↓↑ 〉нечётн.S =0 :∣↑↓координатная частьОбменное взаимодействие. Случайдвух фермионов с S=1/2.Ψab ( x1 , σ1 , x 2 , σ2 )=ξab (σ 1 , σ 2) F ab ( x1 , x 2)S =1 :{спиновая часть∣↑↑ 〉чётн.∣↑↓〉 +∣↓↑〉∣↓↓ 〉〉 −∣↓↑ 〉нечётн.S =0 :∣↑↓координатная частьF — нечётн.F — чётн.Обменное взаимодействие.Гамильтониан Гейзенберга.̂ ̂̂ =J ⃗HS1 ⃗S 2=J ⃗̂ 2̂ 2 ⃗̂ 2⃗=S полн −S 1−S 2 =2()J= ( S полн ( S полн +1)−2S( S +1) )2Обменное взаимодействие.Гамильтониан Гейзенберга.̂ ̂̂ =J ⃗HS1 ⃗S 2=J ⃗̂ 2̂ 2 ⃗̂ 2⃗=S полн −S 1−S 2 =2()J= ( S полн ( S полн +1)−2S( S +1) )2JE ( S =1)=43JE ( S =0)=−4Орто- и пара- водородц.м.Орто- и пара- водородS =0 :∣↑↓〉 −∣↓↑ 〉ц.м.два электрона на одноймолекулярной S-орбитали вантисимметричномспиновом состоянии с S=0:электронная часть волновойфункции антисимметричнаОрто- и пара- водородц.м.Протоны — тоже фермионы!В.ф.

двух протонов должнабыть антисимметрична поперестановке.Инверсия отн. ц.м. =перестановка!Чётность состояния (-1)lОрто- и пара- водородц.м.Протоны — тоже фермионы!В.ф. двух протонов должнабыть антисимметрична поперестановке.Инверсия отн. ц.м. =перестановка!Чётность состояния (-1)lЗапрет Паули«связывает» полныйспин пары протонов сполным орбитальныммоментом молекулыортоI=1L=1,3,5...параI=0L=0,2,4...Pobell, Matter and methods at low TОрто- и пара- водородS =0 :∣↑↓〉 −∣↓↑ 〉два электрона на одной молекулярной орбитали вантисимметричном спиновом состоянии с S=0ц.м.172KПротоны — тоже фермионы!В.ф. двух протонов должнабыть антисимметрична поперестановке.Инверсия отн. ц.м.

=перестановка!Чётность состояния (-1)lЗапрет Паули«связывает» полныйспин пары протонов сполным орбитальныммоментом молекулыортоI=1L=1,3,5...параI=0L=0,1,2...Сложный атом. Термы.Сложный атом. Термы.●Много электроновСложный атом. Термы.●●Много электроновВзаимодействиеэлектроновСложный атом.

Термы.●●Много электроновВзаимодействиеэлектроновБудет некотороезаполнение доступныхэлектронныхсостояний. Вбольшинстве случаевтакое состояниезаметно выгоднее.Сложный атом. Термы.●●Много электроновВзаимодействиеэлектроновБудет некотороезаполнение доступныхэлектронныхВ силу неразличимости электронов,состояний. Впока внешние воздействия сильнобольшинстве случаевслабее внутриатомныхтакое состояниевзаимодействий и если спинзаметно выгоднее.орбитальное взаимодействие слабо«для внешнего мира» свойстваатома описываются егоПОЛНЫМИ L, S, JСложный атом. Термы.●●Много электроновВзаимодействиеэлектроновБудет некотороезаполнение доступныхэлектронныхВ силу неразличимости электронов,состояний.

Впока внешние воздействия сильнобольшинстве случаевслабее внутриатомныхтакое состояниевзаимодействий и если спинзаметно выгоднее.орбитальное взаимодействие слабоМРА«для внешнего мира» свойстваЕМТОатома описываются егоТАПОЛНЫМИ L, S, JОбозначение терма2S+1XJS,P,D,F,G,H...Правила Хунда1) Максимально возможный полный спин S2) Для данного полного спина — максимальное L3) Если оболочка заполнена менее чем на половинуJ=L-S, если более чем на половину J=L+SПравила ХундаE~ кулоновской!Обменное взаимодействие«предпочитает» параллельнуюориентацию спинов1) Максимально возможный полный спин S2) Для данного полного спина — максимальное L3) Если оболочка заполнена менее чем на половинуJ=L-S, если более чем на половину J=L+SПравила ХундаE~ кулоновской!Обменное взаимодействие«предпочитает» параллельнуюориентацию спиновE~кулоновской1)Максимальновозможный полный спин S«вращение» в одном направленииминимизируетэнергию отталкивания2) Для данногополного спина — максимальное L3) Если оболочка заполнена менее чем на половинуJ=L-S, если более чем на половину J=L+SПравила ХундаE~ кулоновской!Обменное взаимодействие«предпочитает» параллельнуюориентацию спиновE~кулоновской1)Максимальновозможный полный спин S«вращение» в одном направленииминимизируетэнергию отталкивания2) Для данногополного спина — максимальное L3) Если оболочка заполнена менее чем на половинуJ=L-S, если более чем на половину J=L+SE~ спин-орбит., α2«Эффект барона Мюнхаузена» +дуализм электронов и «дырок»http://nra-media.ru/Таблица МенделееваПорядок заполнения оболочек.Правила Моделунга-Клечковского.Оболочки заполняются в порядке роста (n+l), при равных(n+l) первыми заполняются уровни с меньшим n1s< 2s< 2p<3s<3p< 4s <3d< 4p<5s << 4d< 5p<6s< 4f ≃5d< 6p<7s<<5f ≃6d <7p <8sВнутренние оболочки сложныхатомов.

Характеристическоеизлучениеhttps://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_absorption_spectroscopyВнутренние оболочки сложныхатомов. ХарактеристическоеизлучениеСпектр рентгеновского излучения в трубке сродиевым анодом при энергии электронов 60кэВ. Ссайта wikipedia.org, Тормозное излучение, 2016,http://en.wikipedia.org/wiki/BremsstrahlungСерия фотопластинок с записью линий характеристическогорентгеновского излучения разных материалов из работы Г.Мозли (1913).С сайта University of Wisconsin–Madison, EPMA History - Some documentsand oral history links, 2016, http://www.geology.wisc.edu/~johnf/g777/EPMAhistory.htmlВнутренние оболочки сложныхатомов. ХарактеристическоеизлучениеСпектр рентгеновского излучения в трубке сродиевым анодом при энергии электронов 60кэВ.

Ссайта wikipedia.org, Тормозное излучение, 2016,http://en.wikipedia.org/wiki/BremsstrahlungВнутренние электроны (K-оболочка) ихарактеристическое рентгеновское излучение242(Z −1) m e(Z −σ K , L ) m eE K ≈−, экранирование E K , L≈−22ℏ2 ℏ2Серия фотопластинок с записью линий характеристическогорентгеновского излучения разных материалов из работы Г.Мозли (1913).С сайта University of Wisconsin–Madison, EPMA History - Some documentsand oral history links, 2016, http://www.geology.wisc.edu/~johnf/g777/EPMAhistory.html4Основное на лекции̂ Ŝ =Ĥ =J ⃗S1 ⃗2J ̂2̂2 ̂2 J= ⃗S полн −⃗S 1− ⃗S 2 = ( S полн (S полн+1)−2S(S +1) )22().