slides05 (Лекции по квантовой микрофизике)

Лекция 5. Момент импульса вквантовой механике. Движение вцентральном поле. Элементарнаятеория атома водорода.Колебательные и вращательныеуровни энергии.В.Н.Глазков, МФТИ 2018Часть 1. Момент импульса вквантовой физикеhttps://www.youtube.com/watch?v=DcaJQtKHm88Момент импульса в квантовойфизикедля сферического волчка̂2⃗LĤ вращ =2Ihttps://www.youtube.com/watch?v=DcaJQtKHm88Момент импульса в квантовойфизикедля сферического волчка̂2⃗LĤ вращ =2I()y ̂p z−z ̂p ŷ⃗L=[ ⃗r × ⃗p̂ ]= −x ̂p z + z p̂ xx ̂p y − y ̂p xстоп-кадр из https://www.youtube.com/watch?v=DcaJQtKHm88Момент импульса в квантовойфизикедля сферического волчка̂2⃗LĤ вращ =2I()y ̂p z−z ̂p ŷ⃗L=[ ⃗r × ⃗p̂ ]= −x ̂p z + z p̂ xx ̂p y − y ̂p xстоп-кадр из https://www.youtube.com/watch?v=DcaJQtKHm88В стационарных состояниях L2 должениметь строго определенные значения,но все компоненты вектора Lодновременно задать невозможноНемного математики в сферическихкоординатахX =r sin Θ cos ϕr=√ X +Y + ZY =r sin Θsin ϕX +Y√Θ=arctgZ =r cos Θ22222ZYϕ=arctgXhttps://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system(L̂ z =x p̂ y− y p̂ x =−i ℏ x ∂ − y ∂∂y∂x)Немного математики в сферическихкоординатахX =r sin Θ cos ϕr=√ X +Y + ZY =r sin Θsin ϕX +Y√Θ=arctgZ =r cos Θ22222ZYϕ=arctgX(https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system(L̂ z =x p̂ y− y p̂ x =−i ℏ x ∂ − y ∂∂y∂xL̂ z =−i ℏ ∂∂ϕl̂z =−i ∂∂ϕ)())21 ∂ 2∂ f1∂f1∂f∂Δ f= 2r+ 2sin Θ+ 2 2∂Θ∂Θ∂rr ∂rr sin Θr sin Θ ∂ ϕ 2Немного математики в сферическихкоординатахX =r sin Θ cos ϕr=√ X +Y + ZY =r sin Θsin ϕX +Y√Θ=arctgZ =r cos Θ22222ZYϕ=arctgX(https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system(L̂ z =x p̂ y− y p̂ x =−i ℏ x ∂ − y ∂∂y∂xL̂ z =−i ℏ ∂∂ϕl̂z =−i ∂∂ϕ)())21 ∂ 2∂ f1∂f1∂f∂Δ f= 2r+ 2sin Θ+ 2 2∂Θ∂Θ∂rr ∂rr sin Θr sin Θ ∂ ϕ 2∝ l̂2 fСобственные значения проекциимомента̂l z=−i ∂∂ϕ−i ∂∂ Ψϕ =m ΨΨ= f (r , Θ)ei m ϕ+ требование однозначности при повороте на 2 πСобственные значения проекциимомента̂l z=−i ∂∂ϕ−i ∂∂ Ψϕ =m ΨΨ= f (r , Θ)ei m ϕ+ требование однозначности при повороте на 2 πm — целоевозможные значения от -l до lСобственные значения проекциимомента̂l z=−i ∂∂ϕ∂ Ψ =m Ψ−iz∂ ϕ «Векторная» модель:● при заданной длине2Ψ= f (r , Θ)ei m ϕвозможны только+ требованиеоднозначностипри поворотена 2 π1дискретныезначенияпроекциина ЛЮБУЮm — целоезаданнуюось значения от -l до l0возможные● соотношениянеопределенности-1запрещают-2направление «строговдоль Z»Собственные значения квадратамомента.

Математика.(l̂2=−1∂ sin Θ ∂ + 1∂2∂ Θ sin2 Θ ∂ ϕ2sin Θ ∂ Θ())l̂2 Ψ= A Ψ решается в сферических функциях, см ЛЛ.III, пар.28Y lm(Θ , ϕ)=С lm P∣lm∣(cos Θ)e i m ϕсобственные значения A=l (l +1)Собственные значения квадратамомента. Математика.(l̂2=−1∂ sin Θ ∂ + 1∂2∂ Θ sin2 Θ ∂ ϕ2sin Θ ∂ Θ())l̂2 Ψ= A Ψ решается в сферических функциях, см ЛЛ.III, пар.28Y lm(Θ , ϕ)=С lm P∣lm∣(cos Θ)e i m ϕсобственные значения A=l (l +1)Пространственная чётностьсостояния с определенныммоментом импульса⃗r ⇔−⃗r{r , Θ , ϕ }⇔{r , π−Θ , π+ϕ }Y lm (π−Θ , ϕ +π)=(−1)l Y lm (Θ , ϕ)Собственные значения квадратамомента. Физика.в отсутствие выделенного направления всезначения проекции равновероятны, все осикоординат равносильны〈 l̂2 〉 = l̂2 + l̂2 + l̂2 =3 l̂2 =〈210x[yz-2zl]12=3×m=∑2 l +1 m=−l31=× l(l +1)(2 l +1)=l (l +1)2 l +1 3̂ 〉 >l〈l√2-1〉 〈 〉Правила квантования моментаимпульса●z21●0-1●-2●одновременно могут бытьизмерены проекция момента назаданную (любую, традиционнообозначается Z) ось и квадратмомента импульсасобственные значения квадратамомента l(l+1) , «длиной»вектора момента импульсаназывают lпроекция момента импульса —целое число m=-l,-l+1...l-1, l ,всего (2l+1) возможностьчётность состояния сопределённым l : P=(-1)lЧасть 2.

Движение в центральномполе, некоторые общие свойстваО строгом решении) ((2)2ℏ̂p̂E Ψ= H Ψ=+U (r ) Ψ= −Δ+U (r ) Ψ2m2m22ℏ 1 ∂ 2∂Ψℏ ̂2−r+U (r )Ψ+l Ψ= E Ψ222m r ∂r∂r2 mr()действует толькона радиальнуючастьξ(r )Ψ=×Y lm(Θ , ϕ)rдействуеттолько наугловуючасть(2)ℏl (l+1)− строгомξ ' ' + U (r )+ решенииξ=E ξ2О2mrСведена к одномерной задаче, r>022ℏp̂̂ Ψ=E Ψ= H+U (r ) Ψ= − Ψ(Δ+U) Ψ n ,l , mr , Θ(r, ϕ)=Ψ2m2mE =E (n r , l)) ((2)r2ℏ 1 ∂ 2∂Ψℏ ̂2−r+U (r )Ψ+l Ψ= E Ψ222m r ∂r∂r2 mr()действует толькона радиальнуючастьξ(r )Ψ=×Y lm(Θ , ϕ)rдействуеттолько наугловуючасть(2)ℏl (l+1)− строгомξ ' ' + U (r )+ решенииξ=E ξ2О2mrСведена к одномерной задаче, r>022ℏp̂̂ Ψ=E Ψ= H+U (r ) Ψ= − Ψ(Δ+U) Ψ n ,l , mr , Θ(r, ϕ)=Ψ2m2mE =E (n r , l)) ((2)r2ℏ 1 ∂ 2∂Ψℏ ̂2Квантовые−r+U (r )Ψ+l Ψ=числа:EΨ222m r ∂r∂r2 mr● n — радиальное()действует толькона радиальнуючастьr(0,1,2...)действуеттолькона●l —орбитальноеугловую{s,p,d,f..}={0,1,2,3..}часть● m — магнитноеξ(r )Ψ=×Y lm(Θ , ϕ)r(2)ℏl (l+1)− строгомξ ' ' + U (r )+ решенииξ=E ξ2О2mrцентробежнаяэнергия22ℏ̂p̂E Ψ= H Ψ=+U (r ) Ψ= −Δ+U (r ) Ψ2m2m) ((U2)2ℏ 1 ∂ 2∂Ψℏ ̂2−r+U (r )Ψ+l Ψ= E Ψ222m r ∂r∂r2 mr()действует толькона радиальнуючастьдействуеттолько наугловуюrчастьξ(rпри) достаточноΨ=×Y lm(Θ , ϕ)большомl ямаrможет«пропасть»Вид некоторых волновых функций(угловая часть).2()ℏl (l +1)−ξ ' ' + U (r )+ξ=E ξ22mrΨ=ξ(r )×Y lm(Θ , ϕ)rl=1, m=0l=0, m=0http://lowrank.net/gnuplot/spherical_harmonics/index-e.htmll=2, m=0Трёхмерный осциллятор U=kr2/222ℏkr−ΔΨ+Ψ=E Ψ2m2Трёхмерный осциллятор U=kr2/222ℏkr−ΔΨ+Ψ=E Ψ2m2( )3E n =ℏ ω n+2n=n x +n y + n zТрёхмерный осциллятор U=kr2/222ℏkr−ΔΨ+Ψ=E Ψ2m2кратностьвырождения:x6x3( )3E n =ℏ ω n+2n=n x +n y + n zx1Трёхмерный осциллятор U=kr2/222ℏkr−ΔΨ+Ψ=E Ψ2m2кратностьвырождения:всферическихкоординатахx62s,1d1px3( )3E n =ℏ ω n+2n=n x +n y + n zx11sЧасть 3.

Спектры атомов и молекул:масштабы энергииЭнергия кванта ~ эВhttps://socratic.org/questions/why-are-atomic-spectra-of-an-element-discontinuousСпектры молекулКолебательные уровни вмолекуле, квант ~0.01 эВhttp://alkaad.com/pe-1600-iodine-molecular-spectroscopy.htmlВращательные уровни вмолекуле, СВЧ-спектр (1 см),квант ~10-4 эВPart of the rotational spectrum of trifluoroiodomethane, CF3Элементарная теория атомаводородаЗадача:финитное движение электрона вкулоновском поле ядраНайти:● уровни энергии (точно),● волновые функции (качественно)Уравнение Шредингера для двухразличимых телΨ( ⃗R ,⃗r)Координата электронаКоордината ядраУравнение Шредингера для двухразличимых телΨ( ⃗R ,⃗r)Координата электронаКоордината ядра22ℏℏ̂H =−Δ ⃗R−Δ⃗r +U (∣⃗R −⃗r∣)2M2mR⃗ЦМ , ( M +m )Mm⃗ρ= R −⃗⃗r ,μ=M +mСлучай кулоновского потенциалаU(r)=-e2/r. Уровни энергии.2()ℏl (l+1)−ξ ' ' + U (r )+ξ=E ξ22mrТолько ответы:1) случайное вырождение по орбитальномуквантовому числу2) энергию определяет главное квантовоечисло n=nr+l+13) возможные значения момента l=0,1...(n-1)m e4 1E n =− 2 22ℏ nПолная кратность вырождения n-ого уровня:n значений момента, (2l+1) значение проекции=n213.6 эВСлучай кулоновского потенциалаU(r)=-e2/r.

Волновые функции.(2)ℏl (l+1)−ξ ' ' + U (r )+ξ=E ξ22mr−rR10=2e1 −r / 2rR20=e1−2√21 −r /2R 21=e r2 √6( )r 0=ℏ22me≈0.53 ÅΨ=ξ(r )×Y lm(Θ , ϕ)=Rnl ×Y lmrВращательные и колебательныестепени свободы молекулКолебания двухатомной молекулы222ℏkx∂ +Ĥ =−2μ ∂ x 2 2kω= μ1E n=ℏ ω n+2√( )гармоническоеприближениеКолебания двухатомной молекулы222ℏkx∂ +Ĥ =−2μ ∂ x 2 2kω= μ1E n=ℏ ω n+2гармоническоеприближение√( )Средняя энергияпри конечной температуре(вычисление делалось для АЧТ)ℏωℏωE=∑ E n w n= ℏ ω /(kT ) +e−1 2Колебания двухатомной молекулы222ℏkx∂ +Ĥ =−2μ ∂ x 2 2kω= μ1E n=ℏ ω n+2гармоническоеприближение√( )Средняя энергияпри конечной температуре(вычисление делалось для АЧТ)ℏωℏωE=∑ E n w n= ℏ ω /(kT ) +e−1 2C=k(ℏ ω)2eℏ ω /(k T )(k T )2 ( eℏ ω/(k T )−1 )2классический пределКолебания двухатомной молекулы222гармоническоеℏkx∂̂H =−+2приближение2μ ∂ x2kω= μактивация1E n=ℏ ω n+2 колебательнойстепениСредняясвободыэнергияE=при конечной температуре(вычисление делалось для АЧТ)теоремаНернста√( )ℏω∑ E n w n= e ℏ ω /(kT )−1 + 2C=kℏω(ℏ ω)2eℏ ω /(k T )(k T )2 ( eℏ ω/(k T )−1 )2Оценка колебательного кванта2ℏ ∂kx̂H =−+22μ ∂ x2kω= μ22√●●●Энергия связи —кулоновская, ~RyМежатомное расстояние~боровского радиуса r0Энергия связи существенноменяется (на ~Ry) приизменении расстояния на r0r 0=ℏ22me≈0.53 Å4E n =−me 12 ℏ2 n242me /( ℏ )Rym3 e 8k∼ 2 ∼ 2= 62 2r 0 (ℏ /(m e ))ℏ√√me 4 mmℏ ω∼ 2 μ =Ry μℏдесятки мэВ, сотни итысячи К«Нулевые колебания» в молекулеВ основном состоянии атомы делокализованы(соотношение неопределённостей!).√2k A0 ℏ ω ℏ kОценка:==222 μ2ℏℏℏ2A0 == ωμ ∼∼Ry √ mμ√k μнесколько %отмежатомного−27 2∼( 10 )13.6×1.6×10≃2.5×10−12−19−27×102√2000×16см =( 5×102−10см )2см ≃Более формальное вычисление.Волновая функция основного состояния (ЛЛ.III)«Нулевые колебания» в молекуле( ) ()mω 1/ 4mω 2Ψ=exp −xπℏ2ℏВ основном состоянии атомы делокализованыСреднеквадратичное отклонение(соотношение неопределённостей!).∞∞ℏ11 ℏ22222 −ξA0 =〈 x 〉 =∫ x Ψ dx= √πξ e d ξ=∫−∞mω −∞2 mω2√2k A0 ℏ ω ℏ kОценка:==222 μ2ℏℏℏ2A0 == ωμ ∼∼Ry √ mμ√k μнесколько %отмежатомного−27 2∼( 10 )13.6×1.6×10≃2.5×10−12−19−27×102√2000×16см =( 5×102−10см )2см ≃Вращение двухатомной молекулыТензор инерции( )I 0 0̂I = 0 I 00 0 ε2 22 22 22 2ℏ ̂l x ℏ ̂l y ℏ ̂l z ℏ 2 l̂2 1 1 ℏ ̂l zĤ =++=+ ε−2Ix 2Iy 2Iz 2II 2m=0( )Набор невырожденных уровней,энергии уровней2ℏ l (l +1)El=,l =0,1,2 ...2IТеплоёмкость молекулы водорода2ℏ l (l +1)El=2IДискретность уровней =активационный характертеплоёмкостиТемпература активации:22ℏℏk T∼ ∼≈2I M r0−27 2≈рисунок из статьи R.E.Cornish and E.D.Eastman “The specific heat of hydrogengas at low temperatures...”, J.Am.Chem.Soc.

50, 627 (1928)(10 )2000×10−27=0.5×10−16×10T ≃50 К−14эргОценка вращательного квантаэнергии●Расстояние порядкаборовского радиуса22ℏℏm me 4 mℏ ω∼=== Ry222 22MM r 0 M (ℏ /(me )) M ℏдоли мэВ, единицы и десятки КСравнение масштабов расщепленияспектров√m mω e :ω кол : ω вращ=1 ::M MОсновное на лекции2l̂ →l (l + 1)l̂z →m=−l...lz210-1-24me 1E n =− 2 22ℏ n√m mω e :ω кол :ω вращ=1 ::M M.