slides04 (Лекции по квантовой микрофизике)

Лекция 4. Потенциальные барьерыи потенциальные ямыВ.Н.Глазков, МФТИ 20192ℏ ∂2−Ψ +U (x)Ψ= E Ψ22m ∂xбарьерпотенциальная яма2ℏ ∂2−Ψ +U (x)Ψ= E Ψ22m ∂xбарьеризмерениепрозрачности(коэффициентапрохождения),нахождение энергиистационарныхсостояний в ямепотенциальная ямаЧасть 1. Туннельный эффектЗадача 1: подбарьерноетуннелированиеEU0E<U00ikxΨ1=e + Ae√aX−ikx2mEk=ℏ2Ψ3=C eκx−κ xΨ2 =B1 e + B2 eκ=√2 m(U 0−E )ℏ2ikxЗадача 1: подбарьерноетуннелирование{EU01+ A=B1 + B 2i k ( 1− A) =κ ( B1−B2 )C ei k a =B1 e κ a + B 2 e−κ ai E<UkCeik a0=κ [ B1 e −B 2 eκa+ усидчивость...0ikxΨ1=e + Ae√aX−ikx2mEk=ℏ2Ψ3=C eκx−κ xΨ2 =B1 e + B2 eκ=√2 m(U 0−E )ℏ2ikx−κa]Задача 1: подбарьерноетуннелирование{EU01+ A=B1 + B 2i k ( 1− A) =κ ( B1−B2 )C ei k a =B1 e κ a + B 2 e−κ ai E<UkCeik a0=κ [ B1 e −B 2 eκa−κa]+ усидчивость...ikxΨ1=e + Ae√−ikx2mEk=ℏ2k0X 4i κi kaaCe =2 Ψ =C e ikx3kk−2 1− 2 sh(κ a)+4 i κ ch(κ a)κκx−κ x прохожденияΨ2 =Bкоэффициентe+Be12j прош4 k 2 κ222D=m(U 0−E=)∣C∣ =2 222 22κ=j2пад4kκ+(k+κ)sh(κ a)ℏ(√)Задача 1: подбарьерноетуннелирование{EU01+ A=B1 + B 2i k ( 1− A) =κ ( B1−B2 )C ei k a =B1 e κ a + B 2 e−κ ai E<UkCeik a0=κ [ B1 e −B 2 eκa−κa]+ усидчивость...ikxΨ1=e + Ae√−ikx2mEk=ℏ2k0X 4i κi kaaCe =2 Ψ =C e ikx3kk−21−22m sh(κU 0 a)+4 i κ ch(κ a)22k + κ =κ 2κx−κ x прохожденияℏΨ2 =Bкоэффициентe+Be12j прош4 k 2 κ222D=m(U 0−E=)∣C∣ =2 222 22κ=j2пад4kκ+(k+κ)sh(κ a)ℏ(√)Бонус: надбарьерное отражение2 2j прош24k κD==∣C∣ =2j пад4 k 2 κ2 + ( k 2 + κ2) sh 2 (κ a)EE>U0U00ai k'xΨ 2= B 1 ek '=√+ B2eX−i k ' x2 m(E−U 0 )ℏ2=i κБонус: надбарьерное отражение2 2j прош4k κD==j пад 4 k 2 κ 2+ ( k 2 +κ2 )2 sh2 (κ a)EE>U0U00i k'xk '=√22j прош4k k 'D== 2 2j пад 4 k k ' +( k 2−k ' 2) 2 sin 2 (k ' a )XaΨ 2= B 1 e+ B2e−i k ' x2 m(E−U 0 )ℏ2κ=−i k 'sh(κ a)=−i sin(k ' a)=i κпросветление приk ' a=π nПредельные случаи2 2j прош4k κD==j пад 4 k 2 κ 2+ ( k 2 +κ2 )2 sh2 (κ a)(κ a )≫1(κ a )≪1широкий/высокий барьерузкий/невысокий барьерD≈16 k 2 κ2( k 2 +κ2 )−2 κae2−2 κa≃eD≈1(1+2k +κ2k)2 2a2Приближенная формула дляпроницаемости барьера произвольнойформыEEU(x)0aXПриближенная формула для барьерапроизвольной формыEEU(x)0aXD≈∏ D i≈∏ e−2 κi a iii( √a=exp −∑ 2 κi ai =exp −2∫(i)=02 m ( U (x )−E )ℏ2dx)Примеры эффекта подбарьерноготуннелирования1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распад2) Туннельные контакты проводников и туннельныймикроскоп3) Оптическая аналогияПримерыэффектаподбарьерногоПример 1протон-протонныйцикл в звёздахтуннелирования2+p + p → H +e + ν e + 0.42 МэВ1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распадядра~1 фм2) Туннельные размерконтактыпроводникови туннельный−10 22микроскопe ( 4.8×10 )−7E==эрг=23×10эрг=1.5 МэВ3) Оптическая аналогиякул−13r101 эВ≈10000 К, 1 МэВ ≈ 1010 К=10 млрд.

Кв ядре Солнца 14 млн.Кальфа-распад плутония:энергия альфа-частицы 5.6 МэВвысота барьера вблизи ядра(Zα=2, Z'=92) ~200 МэВПримерыэффектаподбарьерногоПример 2Высота барьера определяетсятуннелированияработой выхода (2..4 эВ)1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распадТуннельныйток2) Туннельные контакты проводникови туннельныйIпропорционаленпрозрачностимикроскопбарьера D3) Оптическая аналогияОценка:( √D≈exp (−2 κ d )≃exp −22 m Aвыхℏ2d)ℏ10−27−8L==≃10см=1 Å−27−122 √ 2 m Aвых 2 √ 2×10 ×3×1.6×10ПримерыэффектаподбарьерногоПример 2туннелирования1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распад2) Туннельные контакты проводникови туннельныйFZ Juelich, STM Group, Scanning Probe Microscopy,http://www.fz-juelich.deмикроскоп/ibn/Scanning_probe_microscopy3) Оптическая аналогияВикипедия, Сканирующий туннельный микроскоп,http://en.wikipedia.org/wiki/Scanning_tunneling_microscopeNiWake Forest University, STM Group,http://www.wfu.edu/nanotech/Microscopy%20Facility/STMInstructions.htmlIBM Corp., STM Images Gallery, http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.htmlПримерыэффектаподбарьерногоОптическая аналогиятуннелирования1) Реакции ядерного синтеза и альфа-распад2) Туннельные контакты проводников и туннельныймикроскоп3) Оптическая аналогияЧасть 2.

Потенциальные ямыПрохождение над ямой (эффектРамзауэра)E22j прош4k k 'D==j пад 4 k 2 k ' 2 +( k 2−k ' 2) 2 sin 2 (k ' a )U0<0k ' a=π nНа длине ямыукладывается целоечисло полуволн деБройляЗадача 2: Одномерная яма сбесконечными стенкамиΨ=A e i k x + B e−i k x == A' sin (k x)+ B ' cos(k x )Ψ=0Ψ=0a0{U (x)=0, 0< x< a∞ , x <0 или x >aЗадача 2: Одномерная яма сбесконечными стенкамиΨ n= An sin k n xa k n=π nℏ2 k 2n ℏ 2 π2 n 2En==2m2 m a2Ψ=A e i k x + B e−i k x == A' sin (k x)+ B ' cos(k x )Ψ=0Ψ=0a0{U (x)=0, 0< x< a∞ , x <0 или x >aОбщие свойства волновой функции впотенциальной яме10●86●4200(ka)В связанном состоянииимеются дискретныеуровни энергии,маркируемые наборомквантовых чиселв 1D число нулейволновой функциирастет с ростомэнергииОбщие свойства волновой функции вОптическая аналогия:потенциальной яместоячие волны в резонаторах (для1D — резонатор Фабри-Перо)● В связанном состоянииимеются дискретныеуровни энергии,маркируемые наборомквантовых чисел● в 1D число нулейволновой функцииI Favero and K Karrai 2008 New J.

Phys. 10 095006растет с ростомэнергии10864200(ka)Задача 3: Уровни симметричнойодномерной яма конечной глубины-a/2Ψ= A(−)ea/2локализованноеΨ= A(+) e−κ xсостояниеE<0κx-U0Ψ= B1 sin (k x) или B2 cos(k x)Симметрия потенциала требует чётности или нечётностиволновой функциитипаCOS3:ЗадачатипаУровни симметричнойSIN−κa / 2−κa / 2cos(k a /2)= A esin(ka/2)=Aeодномерной яма−κ a /2 конечной глубины−κa / 2−k sin (k a / 2)=−κ A ek cos(k a/ 2)=−κ A e{{-a/2Ψ= A(−)ea/2локализованноеΨ= A(+) e−κ xсостояниеE<0κx-U0Ψ= B1 sin (k x) или B2 cos(k x)типаCOS3:ЗадачатипаУровни симметричнойSIN−κa / 2−κa / 2cos(k a /2)= A esin(ka/2)=Aeодномерной яма−κ a /2 конечной глубины−κa / 2−k sin (k a / 2)=−κ A ek cos(k a/ 2)=−κ A e{tgΨ= A(−)eka κ=2 k-a/2{tga/2kak=− κ2локализованноеΨ= A(+) e−κ xсостояниеE<0κx-U0Ψ= B1 sin (k x) или B2 cos(k x)типаCOS3:ЗадачатипаУровни симметричнойSIN−κa / 2−κa / 2cos(k a /2)= A esin(ka/2)=Aeодномерной яма−κ a /2 конечной глубины−κa / 2−k sin (k a / 2)=−κ A ek cos(k a/ 2)=−κ A e{tg{ka κkak=tg=− κ2 k2-a/2a/22 m U02mU0 222k +κ =→κ=локализованное−k22ℏℏсостояниеE<0√√2mUaka0-U0 1 −1tg=22 ℏ2 ( ka /2)2ka−1tg=2mU 0 a 21−1222 ℏ (ka /2)√Задача 3: Уровни симметричнойодномерной яма конечной глубины√m U 0a2ka1tg=−12222 ℏ ( ka /2)(ka)/2ka−1tg=2mU 0 a 21−1222 ℏ (ka /2)√A=√mU 0 a2ℏ22Задача 3: Уровни симметричнойодномерной яма конечной глубины√m U 0a2ka1tg=−12222 ℏ ( ka /2)(ka)/2ka−1tg=2mU 0 a 21−1222 ℏ (ka /2)√A=√mU 0 a2ℏ22В прямоугольной ямеЗадача 3: Уровни симметричнойконечной глубины —конечное глубинычислоодномерной яма конечной●связанных состояний● В одномерном случаесвязанноесостояние2m U 0aka1естьвсегдаtg=−122● В22 ℏ достаточно( ka /2)мелкойяме — единственноесвязанное состояниепри2mU 0 a π<22 (ka)/22ℏ√√ka−1tg=2mU 0 a 21−1222 ℏ (ka /2)√A=√mU 0 a2ℏ22Бонус: Сферическая прямоугольнаяпотенциальная яма{U r < R(U 0< 0)U (r )= 0,0, r > R2ℏ−Δ Ψ +U ( r ) Ψ=E Ψ2m1 ∂ 2 ∂ Ψ если Ψ от угловΔ Ψ= 2rне зависит∂rr ∂r()1) для f=Ψ/r получим одномерное уравнениеШредингера2) т.к.

r>0, то яма «полубесконечная»,решения (для f!) только типа SIN3) в трёхмерной яме решения есть приусловии2 mU 0 R2 π>22ℏ√Примеры потенциальных ям1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводниках и наночастицах4) Одноэлектронный транзисторПримеры потенциальных ямПример 1: Атом1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводниках4) Одноэлектронный транзисторZeU =−r2Кулоновское взаимодействиесоздает потенциальную ямудля электрона вблизи ядра.Стационарные состоянияэлектрона в такой яме и есть«орбиты» электрона.Примеры потенциальных ямПример 2: Гармонический осциллятор1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводниках4) Одноэлектронный транзисторkxU=22Задача решается точно (в полиномахЭрмита).

В 1D эквидистантные1невырожденные уровниE n =ℏ ω n+2( )Примеры потенциальных ямПример 3: Реализации в полупроводникахи наночастицах1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводниках4) Одноэлектронный транзистор 2 2 2ℏ π nEn=22 maметаллическаягрануларазмера ~нмJournal of Physics D AppliedPhysics 41(16):162004The self-assembled InAsSbP-based strain-induced islands grownby LPE on InAs substrateПримеры потенциальных ямПример 4: Одноэлектронный транзистор (наивно)1) Атом2) Гармонический осцилляторзатвор (управляющий электрод)3) Реализации в полупроводниках4) Одноэлектронный транзисторподложкатонкий слойполупроводника, вкотором могутраспространятьсяэлектроныПримеры потенциальных ямПример 4: Одноэлектронный транзистор (наивно)1) Атом2) Гармонический осциллятор3) Реализации в полупроводникахзатвор (управляющий электрод)4) Одноэлектронный транзисторберег 1(исток)«квантоваяподложкаточка»туннельный промежутокберег 2(сток)Задача 4: Связанные ямыĤ 0 Ψ1,2 =E 0 Ψ 1,2Ψ1Ψ212Оператор туннелированияT̂ Ψ 1,2=ℏ T Ψ 2,1Задача 4: Связанные ямыĤ 0 Ψ1,2 =E 0 Ψ 1,2Ψ1Ψ212Оператор туннелированияT̂ Ψ 1,2=ℏ T Ψ 2,1( Ĥ 0 + T̂ ) Ψ=E Ψ1( Ψ 1±Ψ 2)√2(± )E =E 0 ±ℏ TΨ(±)=туннельноерасщеплениеуровня энергииi ℏ ∂ Ψ =( Ĥ 0 + T̂ ) Ψ∂tЗадача 4:Ψ (t=0)=ΨСвязанные1ямы1 (+1Ψ (−) −iE t / ℏ̂) 0 Ψ−iE t=E/ℏH1,201,2Ψ=Ψ e+ Ψe=√2√2−i E t / ℏ=e[ Ψ1 cos ( T t )−Ψ 2 sin ( T t )]Оператор туннелирования̂ Ψ 1,2=ℏ T Ψ 2,12 Tw 1=cos ( T t )w 2=sin 2 ( T t )(+ )Ψ1Ψ2120( Ĥ 0 + T̂ ) Ψ=E Ψ1( Ψ 1±Ψ 2)√2(± )E =E 0 ±ℏ TΨ(±)=туннельноерасщеплениеуровня энергии(−)i ℏ ∂ Ψ =( Ĥ 0 + T̂ ) Ψ∂tЗадача 4:Ψ (t=0)=ΨСвязанные1ямы1 (+1Ψ (−) −iE t / ℏ̂) 0 Ψ−iE t=E/ℏH1,201,2Ψ=Ψ e+ Ψe=√2√2−i E t / ℏ=e[ Ψ1 cos ( T t )−Ψ 2 sin ( T t )]Оператор туннелирования̂ Ψ 1,2=ℏ T Ψ 2,12 Tw 1=cos ( T t )w 2=sin 2 ( T t )(+ )Ψ1Ψ2120̂ 0 + T̂ ) Ψ=E ΨВремя нахождения в( Hопределенномсостоянии:ℏ 11 (±)Ψ = ( Ψ 1±Ψ 2)τ∼ ∼T Δ E √2туннельное(± )E=E 0 ±ℏ Tрасщеплениеуровня энергии(−)Главное на лекцииk n a=π n2En=U(x)E0aD≈∏ Di≈∏ e −2 κ a =iiii=exp −2 ∑ κi ai =(( √a=exp −2∫0)i2 m ( U (x )−E )ℏ2dx)X√22ℏ π n2 ma2mU 0 a 2 π>222ℏ.