Обработка результатов учебного эксперимента, страница 4

Ихтичное отклонение для разности =|2 −1 |отношение≈ 2. Из свойств нормального распределения находим: вероятность того, что измерялась одна и та же величина, а различия в ответахвозникли из-за случайных ошибок, равна ≈ 5%.2.3. Независимые величиныВеличины и называют независимыми если результат измерения одной из них никак не влияет на результат измерения другой. Для такихвеличин вероятность того, что примет значения из некоторого множества, и одновременно — в множестве , равна произведению соответствующих вероятностей:∈,∈ = ∈ · ∈ .Обозначим отклонения величин от их средних как ∆ = − и ∆ = − . Средние значения этих отклонений равны, очевидно, нулю: ∆ = − = 0, ∆ = 0. Из независимости величин и следует, что среднеезначение от произведения ∆ · ∆ равно произведению средних ∆ · ∆ и,следовательно, равно нулю:∆ · ∆ = ∆ · ∆ = 0.(2.6)Пусть измеряемая величина = + складывается из двух независимыхслучайных слагаемых и , для которых известны средние и , и ихсреднеквадратичные погрешности и .

Непосредственно из определения(1.1) следует, что среднее суммы равно сумме средних: = + .Найдём дисперсию 2 . В силу независимости имеем∆ 2 = ∆2 + ∆ 2 + 2∆ · ∆ = ∆2 + ∆ 2 ,то есть:2 = 2 + 2 .(2.7)Таким образом, при сложении независимых величин их погрешности складываются среднеквадратичным образом.Подчеркнём, что для справедливости соотношения (2.7) величины и не обязаны быть нормально распределёнными — достаточно чтобы их дисперсии были конечны. Однако можно показать, что если и распределенынормально, нормальным будет и распределение их суммы.Замечание. Требование независимости слагаемых является принципиальным. Например, положим = . Тогда = 2. Здесь√ и , очевидно, зависятдруг от друга.

Используя (2.7), находим 2 = 2 , что, конечно, неверно— непосредственно из определения следует, что 2 = 2 .19Отдельно стоит обсудить математическую структуру формулы (2.7). Если одна из погрешностей много больше другой, например, ≫ , томеньшей погрешностью можно пренебречь, + ≈ . С другой стороны, если два источника погрешностей имеют один порядок ∼ , то и+ ∼ ∼ . Эти обстоятельства важны при планирования эксперимента: как правило, величина, измеренная наименее точно, вносит наибольшийвклад в погрешность конечного результата.

При этом, пока не устраненынаиболее существенные ошибки, бессмысленно гнаться за повышением точности измерения остальных величин.√︁Пример. Пусть = /3, тогда = 1 + 19 ≈ 1,05 , то есть приразличии двух погрешностей более, чем в 3 раза, поправка к погрешностисоставляет менее 5%, и уже нет особого смысла в учёте меньшей погрешности: ≈ . Это утверждение касается сложения любых независимыхисточников погрешностей в эксперименте.2.4. Погрешность среднегоВыборочное среднее арифметическое значение ⟨⟩, найденное по результатам измерений, само является случайной величиной.

Действительно, если поставить серию одинаковых опытов по измерений, то в каждом опытеполучится своё среднее значение, отличающееся от предельного среднего .Вычислим среднеквадратичную погрешность среднего арифметического ⟨⟩ . Рассмотрим вспомогательную сумму слагаемых = 1 + 2 + . . . + .Если { } есть набор независимых измерений одной и той же физическойвеличины, то мы можем, применяя результат (2.7) предыдущего параграфа,записать√︁√ = 12 + 22 + . . . + 2 = ,поскольку под корнем находится одинаковых слагаемых.

Отсюда с учётом⟨⟩ = / получаем важное соотношение:⟨⟩ = √ .(2.8)Таким образом, погрешность среднего√ значения по результатам независимых измерений оказывается в раз меньше погрешности отдельного измерения. Именно этот факт позволяет уменьшать случайные погрешности эксперимента за счёт многократного повторения измерений.Подчеркнём различия между и ⟨⟩ :величина — погрешность отдельного измерения — является характеристикой разброса значений в совокупности измерений { }, = 1... При20нормальном законе распределения примерно = 68% измерений попадаютв интервал ⟨⟩ ± ;величина ⟨⟩ — погрешность среднего — характеризует точность, с которой определено среднее значение измеряемой физической величины ⟨⟩относительно предельного («истинного») среднего ; при этом с доверительной вероятностью = 68% искомая величина лежит в интервале⟨⟩ − ⟨⟩ < < ⟨⟩ + ⟨⟩ .2.5.

Результирующая погрешность опытаПусть для некоторого результата измерения известна оценка его максимальной систематической погрешности ∆сист и случайная среднеквадратичная погрешность случ . Какова «полная» погрешность измерения?Предположим для простоты, что измеряемая величина в принципе может быть определена сколь угодно точно, так что можно говорить о некотором её «истинном» значении ист (иными словами, погрешность результата связана в основном именно с процессом измерения). Назовём полнойпогрешностью измерения среднеквадратичное значения отклонения от результата измерения от «истинного»:⟨⟩22полн= ( − ист ) .Отклонение − ист можно представить как сумму случайного отклоненияот среднего случ = − и постоянной (но, вообще говоря, неизвестной)систематической составляющей сист = − ист = const: − ист = сист + случ .Причём случайную составляющую можно считать независимой от систематической.

В таком случае аналогично (2.7) находим:⟨︀⟩︀ ⟨︀⟩︀22полн= 2сист + 2случ ≤ ∆2сист + случ.(2.9)То есть для получения оценки значения полной погрешности некоторогоизмерения нужно квадратично сложить максимальную систематическую ислучайную погрешности.Замечание. Согласно данному нами в начале главы определению, неизвестное значение систематической погрешности также можно считать случайнойвеличиной (например, мы пользуемся линейкой, при изготовлении которойна заводе произошло некоторое случайное искажение шкалы).

В такой трактовке формула (2.9) есть просто частный случай (2.7).Подчеркнем однако, что вероятностный закон, которому подчиняется систематическая ошибка, как правило неизвестен. Следовательно, мы, строгоговоря, не можем приписать интервалу ± Δсист какую-либо определённуюдоверительную вероятность.21Если измерения проводятся многократно, то согласно (2.8) случайнаясоставляющая погрешности может быть уменьшена, а систематическая составляющая при этом остаётся неизменной:2.Отсюда следует важное практическое правило (см. также обсуждениев п.

2.3): если случайная погрешность измерений в 2–3 раза меньше предполагаемой систематической, то нет смысла проводить многократные измерения в попытке уменьшить погрешность всего эксперимента. В такойситуации измерения достаточно повторить 2–3 раза — чтобы убедиться вповторяемости результата, исключить промахи и проверить, что случайнаяошибка действительно мала. В противном случае повторение измерений может иметь смысл до тех пор, пока погрешность среднего ⟨⟩ = √не станетменьше систематической.2≤ ∆2сист +полнПример. В результате измерения диаметра проволоки микрометром, имеющим цену деления ℎ = 0,01 мм, получен следующий набор из = 8 значений:, мм0,390,380,390,370,400,390,380,39Вычисляем среднее значение: ⟨⟩ ≈ 386,3 мкм.

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение: ≈ 9,2 мкм. Случайная погрешность среднего согласно (2.8): ⟨⟩ = √≈ 3,2 мкм. Все результаты лежат в пределах ±2 , поэто8му нет причин сомневаться в нормальности распределения. Максимальнуюпогрешность микрометра оценим как половину цены√︁деления, Δ = ℎ/2 =2Δ2 + 8 ≈ 6,0 мкм.5 мкм. Результирующая полная погрешность ≤Видно, что случ ≈ Δсист и проводить дополнительные измерения особогосмысла нет. Окончательно результат измерений может быть представлен ввиде (см. также правила округления результатов измерений в п.

3.3.2) = 386 ± 6 мкм, = 1,5%.Заметим, что поскольку случайная погрешность и погрешность прибора здесь имеют один порядок величины, наблюдаемый случайный разбросданных может быть связан как с неоднородностью сечения проволоки, таки с дефектами микрометра (например, с неровностями зажимов, люфтомвинта, сухим трением, деформацией проволоки под действием микрометраи т. п.). Для ответа на вопрос, что именно вызвало разброс, требуются дополнительные исследования с использованием более точных приборов.Пример. Измерение скорости полёта пули было осуществлено с погрешностью = ±1 м/c.

Результаты измерений для = 6 выстрелов представленыв таблице:, м/с146170160181147168Усреднённый результат ⟨⟩ = 162,0 м/с, стандартное отклонение =√13,8 м/c, случайная ошибка для средней скорости ¯ = / 6 = 5,6 м/с.Поскольку разброс экспериментальных данных существенно превышает по-22грешность каждого измерения, ≫ , он почти наверняка связан с реальным различием скоростей пули в разных выстрелах, а не с ошибкамиизмерений.