Обработка результатов учебного эксперимента, страница 2

Тогда при вычислении (1.1) почти все отклонения ∆ скомпенсируются и можно ожидать,что выборочное среднее при ≫ 1 будет стремиться к некоторому пределу:1 ∑︁ .→∞ =1 = limТогда предельное значение , называемое в теории вероятностей математическим ожиданием, можно отождествить с «истинным» средним дляисследуемой величины.Предельную величину среднеквадратичного отклонения обозначим как⎯⎸ ⎸ 1 ∑︁ = lim ⎷∆2 .→∞ =1Замечание. Вообще говоря указанные пределы могут и не существовать.Например, если величина меняется во времени или в результате самого измерения, либо испытывает слишком большие случайные скачки и т.

п. Такиеситуации требуют особого рассмотрения и мы на них не останавливаемся.Итак, если результаты небольшого числа измерений имеют не слишкомбольшой разброс, то величина ⟨⟩ может быть использована как приближенное значение (оценка) истинного значения ⟨⟩ ≈ , а увеличение числаизмерений позволит уточнить результат. При этом выборочное среднее значение ⟨⟩ оказывается с большей вероятностью ближе к истинному значению , чем каждое из измерений { } в отдельности. При этом, как будетпоказано в п.

2.4, погрешность вычислениясреднего убывает пропорцио√нально корню из числа измерений .Замечание. Если мало ( . 10), для оценки среднеквадратичного отклонения математическая статистика рекомендует вместо (1.2) использовать2−1 =1 ∑︁Δ2 , − 1 =1(1.4)где произведена замена → − 1. Величину −1 часто называют выборочным стандартным отклонением. Подробнее о преимуществах такой оценкиперед (1.2), см. Приложение.8Упражнение. Показать, что⟨︀ ⟩︀2 = 2 − ⟨⟩2 .⟨︀ ⟩︀то есть дисперсия равна разности среднего значения квадрата 2 =)︂2(︂ ∑︀ .и квадрата среднего ⟨⟩2 = 1(1.5)1∑︀2=1=11.3.

Классификация погрешностейЧтобы лучше разобраться в том, сколько раз нужно повторять измерения, и в каком случае это позволит улучшить результаты опыта, проанализируем источники и виды погрешностей.В первую очередь, многократные измерения позволяют проверить воспроизводимость результатов: повторные измерения в одинаковых условиях, должны давать близкие результаты. В противном случае исследованиебудет существенно затруднено, если вообще возможно. Таким образом, многократные измерения необходимы для того, чтобы убедиться как в надёжности методики, так и в стабильности измеряемой величины как таковой.При любых измерениях возможны грубые ошибки — промахи (англ.miss). Это «ошибки» в стандартном понимании этого слова — возникающие по вине экспериментатора или в силу других непредвиденных обстоятельств (например, из-за сбоя аппаратуры).

Промахов, конечно, нужноизбегать, а результаты таких измерений должны быть по возможности исключены из рассмотрения.Как понять, является ли «аномальный» результат промахом? Вопросэтот весьма непрост. В литературе существуют статистические критерииотбора промахов, которыми мы, однако, настоятельно не рекомендуем пользоваться (по крайней мере, без серьёзного понимания последствий такогоотбора).

Отбрасывание аномальных данных может, во-первых, привестик тенденциозному искажению результата исследований, а во-вторых, такможно упустить открытие неизвестного эффекта. Поэтому при научныхисследованиях необходимо максимально тщательно проанализировать причину каждого промаха, в частности, многократно повторив эксперимент.Лишь только если факт и причина промаха установлены вполне достоверно, соответствующий результат можно отбросить.Замечание. Часто причины аномальных отклонений невозможно установить на этапе обработки данных, поскольку часть информации о проведении измерений к этому моменту утеряна. Единственным способ борьбы сэтим — это максимально подробное описание всего процесса измерений влабораторном журнале. Подробнее об этом см.

п. 3.1.1.При многократном повторении измерений одной и той же физическойвеличины погрешности могут иметь систематический либо случайный ха9рактер. Назовём погрешность систематической, если она повторяется отопыта к опыту, сохраняя свой знак и величину, либо закономерно меняется в процессе измерений.

Случайные (или статистические) погрешностименяются хаотично при повторении измерений как по величине, так и познаку, и в изменениях не прослеживается какой-либо закономерности.Кроме того, удобно разделять погрешности по их происхождению. Можно выделить∙ инструментальные (или приборные) погрешности, связанные с несовершенством конструкции (неточности, допущенные при изготовлении или вследствие старения), ошибками калибровки или ненормативными условиямиэксплуатации измерительных приборов;∙ методические погрешности, связанные с несовершенством теоретическоймодели явления (использование приближенных формул и моделей явления)или с несовершенством методики измерения (например, влиянием взаимодействия прибора и объекта измерения на результат измерения);∙ естественные погрешности, связанные со случайным характером измеряемой физической величины — они являются не столько «ошибками» измерения, сколько характеризуют природу изучаемого объекта или явления.Замечание.

Разделение погрешностей на систематические и случайные неявляется однозначным и зависит от постановки опыта. Например, производяизмерения не одним, а несколькими однотипными приборами, мы переводимсистематическую приборную ошибку, связанную с неточностью шкалы и калибровки, в случайную. Разделение по происхождению также условно, поскольку любой прибор подвержен воздействию «естественных» случайныхи систематических ошибок (шумы и наводки, тряска, атмосферные условия и т.

п.), а в основе работы прибора всегда лежит некоторое физическоеявление, описываемое не вполне совершенной теорией.1.3.1. Случайные погрешностиСлучайный характер присущ большому количеству физических явлений, и в той или иной степени проявляется в работе всех без исключенияприборов.

Случайные погрешности обнаруживаются просто при многократном повторении опыта — в виде хаотичных изменений (флуктуаций) значений { }.Если случайные отклонения от среднего в большую или меньшую стороны примерно равновероятны, можно рассчитывать, что при вычислениисреднего арифметического (1.1) эти отклонения скомпенсируются, и погрешность результирующего значения ⟨⟩ будем меньше, чем погрешностьотдельного измерения.Случайные погрешности бывают связаны, например,∙ с особенностями используемых приборов: техническими недостатками (люфтв механических приспособлениях, сухое трение в креплении стрелки прибора), с естественными (тепловой и дробовой шумы в электрических цепях,10тепловые флуктуации и колебания измерительных устройств из-за хаотического движения молекул, космическое излучение) или техногенными факторами (тряска, электромагнитные помехи и наводки);∙ с особенностями и несовершенством методики измерения (ошибка при отсчёте по шкале, ошибка времени реакции при измерениях с секундомером);∙ с несовершенством объекта измерений (неровная поверхность, неоднородность состава);∙ со случайным характером исследуемого явления (радиоактивный распад,броуновское движение).Остановимся несколько подробнее на двух последних случаях.

Они отличаются тем, что случайный разброс данных в них порождён непосредственно объектом измерения. Если при этом приборные погрешности малы,то «ошибка» эксперимента возникает лишь в тот момент, когда мы по своей воле совершаем замену ряда измеренных значений на некоторое среднее{ } → ⟨⟩. Разброс данных при этом характеризует не точность измерения,а сам исследуемый объект или явление. Однако с математической точкизрения приборные и «естественные» погрешности неразличимы — глядя наодни только экспериментальные данные невозможно выяснить, что именно явилось причиной их флуктуаций: сам объект исследования или иные,внешние причины. Таким образом, для исследования естественных случайных процессов необходимо сперва отдельно исследовать и оценить случайные инструментальные погрешности и убедиться, что они достаточно малы.1.3.2.

Систематические погрешностиСистематические погрешности, в отличие от случайных, невозможно обнаружить, исключить или уменьшить просто многократным повторениемизмерений. Они могут быть обусловлены, во-первых, неправильной работой приборов (инструментальная погрешность), например, сдвигом нуляотсчёта по шкале, деформацией шкалы, неправильной калибровкой, искажениями из-за не нормативных условий эксплуатации, искажениями из-заизноса или деформации деталей прибора, изменением параметров прибораво времени из-за нагрева и т.п.

Во-вторых, их причиной может быть ошибкав интерпретации результатов (методическая погрешность), например, изза использования слишком идеализированной физической модели явления,которая не учитывает некоторые значимые факторы (так, при взвешиваниител малой плотности в атмосфере необходимо учитывать силу Архимеда;при измерениях в электрических цепях может быть необходим учет неидеальности амперметров и вольтметров и т. д.).Систематические погрешности условно можно разделить на следующиекатегории.∙ Известные погрешности, которые могут быть достаточно точно вычисленыили измерены.

При необходимости они могут быть учтены непосредственно:11внесением поправок в расчётные формулы или в результаты измерений.Если они малы, их можно отбросить, чтобы упростить вычисления.∙ Погрешности известной природы, конкретная величина которых неизвестна, но максимальное значение вносимой ошибки может быть оценено теоретически или экспериментально. Такие погрешности неизбежно присутствуют в любом опыте, и задача экспериментатора — свести их к минимуму,совершенствуя методики измерения и выбирая более совершенные приборы.Чтобы оценить величину систематических погрешностей опыта, необходимоучесть паспортную точность приборов (производитель, как правило, гарантирует, что погрешность прибора не превосходит некоторой величины), проанализировать особенности методики измерения, и по возможности, провести контрольные опыты.∙ Погрешности известной природы, оценка величины которых по каким-либопричинам затруднена (например, сопротивление контактов при подключении электронных приборов).

Такие погрешности должны быть обязательно исключены посредством модификации методики измерения или заменыприборов.∙ Наконец, нельзя забывать о возможности существования ошибок, о которых мы не подозреваем, но которые могут существенно искажать результаты измерений. Такие погрешности самые опасные, а исключить их можнотолько многократной независимой проверкой измерений, разными методами и в разных условиях.В учебном практикуме учёт систематических погрешностей ограничивается, как правило, теоретическими поправками к упрощённой модели исследуемого явления и паспортными погрешностями приборов.

Стоит однако подчеркнуть, что приборная погрешность вовсе не обязательно являетсяисключительно систематической, и для большинства приборов имеет такжеи случайную составляющую.В общем случае корректный учёт систематической погрешности возможен только при анализе специфики конкретного эксперимента. Особенноевнимание следует обратить на зависимость (корреляцию) систематическихсмещений различных величин при повторных измерениях.Пример.

Рассмотрим измерение напряжения по стрелочному вольтметру.В показаниях прибора будет присутствовать, как минимум, три вида погрешности: 1) случайная погрешность, связанная с дрожанием стрелки иошибкой визуального наблюдения, примерно равная половине цены деленияшкалы; 2) cистематическая погрешность, связанная с неправильной установкой нуля; 3) систематическая погрешность, связанная с неправильнымкоэффициентом пропорциональности между напряжением и отклонениемстрелки. Как правило, приборы сконструированы так, чтобы максимальноезначение этой погрешности было также равно половине цены деления (хотяна практике это и не гарантируется).122. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОШИБОКРезультат любого измерения не определён однозначно и имеет случайную составляющую.