Обработка результатов учебного эксперимента, страница 9

Для участка,отклоняющегося от предсказываемой линейной зависимости, следует теоретически проанализировать причины отклонения и по возможности предложить уточнение теории. Возможно, стоит ожидать не квадратичное, акубическое отклонение? Различить их на ограниченном наборе данных сбольшими погрешностями невозможно! Имея достаточное количество точек,предложенную теорию можно проверить и лишь после этого аппроксимацииболее сложной функцией можно придать физический смысл.4.

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВЦель любого физического эксперимента — проверить, выполняется линекоторая теоретическая закономерность (модель), а также получить илиуточнить её параметры. Поскольку набор экспериментальных данных неизбежно ограничен, а каждое отдельное измерение имеет погрешность, можноговорить лишь об оценке этих параметров. Как правило, измеряется не однавеличина, а некоторая функциональная зависимость величин друг от друга. В таком случае возникает необходимость построить оценку параметровэтой зависимости.Пример.

Для измерения сопротивления некоторого резистора необходимополучить зависимость напряжения от тока (). Простейшая теоретическаямодель для резистора — закон Ома = , где сопротивление — единственный параметр модели. Можно также использовать модель с двумя параметрами {, 0 }: = + 0 , которая позволяет корректно учесть частовозникающую в подобных измерениях систематическую ошибку — смещениенуля напряжения или тока.В общем случае для построения оценки нужны следующие компоненты.1) данные — результаты измерений { , } и их погрешности { } (экспериментальная погрешность является неотъемлемой частью набора данных!).2) модель = ( | 1 ,2 , . .

.) — параметрическое описание исследуемой зависимости. Здесь — набор параметров модели, например, коэффициенты{, } прямой () = + . 3) процедура построения оценки параметровˆ , , }).по измеренным данным («оценщик»): ≈ ({Рассмотрим самые распространенные способы построения оценки.4.1. Метод минимума хи-квадратОбозначим отклонения результатов некоторой серии измерений от теоретической модели = ( | ) как∆ = − ( | ),41 = 1 .

. . ,где — некоторый параметр (или набор параметров), для которого требуется построить наилучшую оценку. Нормируем ∆ на стандартные отклонения и построим сумму2 =∑︁ (︂ ∆ )︂2,(4.1)которую принято называть суммой хи-квадрат.Метод минимума хи-квадрат (метод Пирсона) заключается в подборе такого , при котором сумма квадратов отклонений от теоретическоймодели, нормированных на ошибки измерений, достигает минимума:2 () → min.Замечание. Подразумевается, что погрешность измерений указана только для вертикальной оси . Поэтому, при использовании метода следует выбирать оcи таким образом, чтобы относительная ошибка по оси абсцисс былазначительно меньше, чем по оси ординат.Данный метод вполне соответствует нашему интуитивному представлению о том, как теоретическая зависимость должна проходить через экспериментальные точки.

Ясно, что чем ближе данные к модельной кривой,тем меньше будет сумма 2 . При этом, чем больше погрешность точки, темв большей степени дозволено результатам измерений отклоняться от модели. Метода минимума 2 является частным случаем более общего метода максимума правдоподобия (см.

ниже), реализующийся при нормальном(гауссовом) распределении ошибок.Замечание. Простые аналитические выражения для оценки методом хиквадрат существуют (см. п. 4.6.1, 4.6.3) только в случае линейной зависимости () = + (нелинейную зависимость часто можно заменой переменныхсвести к линейной). В общем случае задача поиска минимума 2 () решается численно, а соответствующая процедура реализована в большинствеспециализированных программных пакетов по обработке данных.4.2. Метод максимального правдоподобия.Рассмотрим кратко один из наиболее общих методов оценки параметровзависимостей — метод максимума правдоподобия.Сделаем два ключевых предположения:∙ зависимость между измеряемыми величинами действительно можетбыть описана функцией = ( | ) при некотором ;∙ все отклонения ∆ результатов измерений от теоретической моделиявляются независимыми и имеют случайный (не систематический!)характер.42Пусть (∆ ) — вероятность обнаружить отклонение ∆ при фиксированных { }, погрешностях { } и параметрах модели .

Построим функцию, равную вероятности обнаружить весь набор отклонений {∆1 , . . . ,∆ }.Ввиду независимости измерений она равна произведению вероятностей:=∏︁ (∆ ).(4.2)=1Функцию называют функцией правдоподобия.Метод максимума правдоподобия заключается в поиске такого , прикотором наблюдаемое отклонение от модели будет иметь наибольшую вероятность, то есть() → max.Замечание. Поскольку с суммой работать удобнее, чем с произведениями,чаще используют не саму функцию , а её логарифм:∑︁ln =ln (Δ ).Пусть теперь ошибки измерений имеют нормальное распределение.

Согласно (2.5), вероятность обнаружить в -м измерении отклонение ∆ пропорциональна величине (∆ ) ∝ −Δ22 2,где — стандартная ошибка измерения величины . Тогда логарифмфункции правдоподобия (4.2) будет равен (с точностью до константы)ln = −∑︁ ∆ 2221= − 2 .2Таким образом, максимум правдоподобия действительно будет соответствовать минимуму 2 .4.3. Метод наименьших квадратов (МНК)Рассмотрим случай, когда все погрешности измерений одинаковы, =const. Тогда множитель 1/ 2 в сумме хи-квадрат (4.1) выносится за скобки,и оценка параметра сводится к нахождению минимума суммы квадратовотклонений: (︁)︁2∑︁∑︁() =∆2 ≡ − ( | ) → min.(4.3)=1=1Оценка по методу наименьших квадратов (МНК) удобна в том случае, когда не известны погрешности отдельных измерений. Для построения прямой = + по методу МНК существуют простые аналитические43выражения (см.

п. 4.6.1). Однако тот факт, что метод МНК игнорирует информацию о погрешностях, является и его основным недостатком. В частности, это не позволяет определить точность оценки (например, погрешности коэффициентов прямой и ) без привлечения дополнительныхпредположений (см. п. 4.6.2 и 4.6.4).4.4. Проверка качества аппроксимацииЗначение суммы 2 позволяет оценить, насколько хорошо данные описываются предлагаемой моделью = ( | ).Предположим, что распределение ошибок при измерениях нормальное.Тогда можно ожидать, что большая часть отклонений данных от моделибудет порядка одной среднеквадратичной ошибки: ∆ ∼ . Следовательно, сумма хи-квадрат (4.1) окажется по порядку величины равна числувходящих в неё слагаемых: 2 ∼ .Замечание. Точнее, если функция ( | 1 , .

. . , ) содержит подгоночныхпараметров (например, = 2 для линейной зависимости () = + ), топри заданных лишь − слагаемых в сумме хи-квадрат будут независимы.Иными словами, когда параметры определены из условия минимума хиквадрат, сумму 2 можно рассматривать как функцию − переменных.Величину − называют числом степеней свободы задачи.В теории вероятностей доказывается [4, 5], что ожидаемое среднее значение (математическое ожидание) суммы 2 в точности равно числу степенейсвободы:2 = − .Таким образом, при хорошем соответствии модели и данных, величина2 /( − ) должна в среднем быть равна единице.

Значения существеннобольшие (2 и выше) свидетельствуют либо о плохом соответствии теориии результатов измерений, либо о заниженных погрешностях. Значенияменьше 0,5 как правило свидетельствуют о завышенных погрешностях.Замечание. Чтобы дать строгий количественный критерий, с какой долей вероятности гипотезу = () можно считать подтверждённой илиопровергнутой, нужно знать вероятностный закон, которому подчиняетсяфункция 2 .

Если ошибки измерений распределены нормально, величинахи-квадрат подчинятся одноимённому распределению (с − степенями свободы). В элементарных функциях распределение хи-квадрат не выражается,но может быть легко найдено численно: функция встроена во все основныестатистические пакеты, либо может быть найдена по таблицам.4.5. Оценка погрешности параметровВажным свойством метода хи-квадрат является «встроенная» возможность нахождения погрешности вычисленных параметров .44ˆ то есть ˆ — решеПусть функция () имеет максимум при = ,ние задачи о максимуме правдоподобия.

Согласно центральной предельнойтеореме мы ожидаем, что функциябудем близка к нормаль)︁(︁ правдоподобия^2(−)ному распределению: () ∝ exp − 22 , где — искомая погрешностьпараметра. Тогда в окрестности ˆ функция 2 () = −2 ln(()) имеет видпараболы:ˆ2( − )2 () =+ const.2Легко убедиться, что:ˆ = 1.2 (ˆ ± ) − 2 ()Иными словами, при отклонении параметра на одну ошибку от значеˆ минимизирующего 2 , функция 2 () изменится на единицу.