Обработка результатов учебного эксперимента, страница 10

Такимния ,образом для нахождения интервальной оценки для искомого параметрадостаточно графическим или численным образом решить уравнение∆2 () = 1.(4.4)Вероятностное содержание этого интервала будет равно 68% (его еще называют 1– интервалом). Отклонение 2 на 2 будет соответствовать уже95% доверительному интервалу.4.6. Методы построения наилучшей прямойПрименим перечисленные выше методы к задаче о построении наилучшей прямой = + по экспериментальным точкам { , }. Линейностьфункции позволяет записать решение в относительно простом аналитическом виде.Обозначим расстояние от -й экспериментальной точки до искомой прямой, измеренное по вертикали, как∆ = − ( + ) ,и найдём такие параметры {,}, чтобы «совокупное» отклонение результатов от линейной зависимости было в некотором смысле минимально.4.6.1.

Метод наименьших квадратовПусть сумма квадратов расстояний от точек до прямой минимальна:(,) =∑︁( − ( + ))2 → min.(4.5)=1Данный метод построения наилучшей прямой называют методом наименьших квадратов (МНК).Рассмотрим сперва более простой частный случай, когда искомая прямая заведомо проходит через «ноль», то есть = 0 и = . Необходимое45условие минимума функции (), как известно, есть равенство нулю её производной.

Дифференцируя сумму (4.5) по , считая все величины { , }константами, найдём∑︁=−2 ( − ) = 0.=1Решая относительно , находим=∑︁ =1⧸︁ ∑︁2 .=1Поделив числитель и знаменатель на , этот результат можно записатьболее компактно:⟨⟩= 2 ,(4.6)⟨ ⟩где, напомним, угловые скобки обозначают выборочное среднее (по всемэкспериментальным точкам).В общем случае при ̸= 0 функция (,) должна иметь минимум какпо , так и по . Поэтому имеем систему из двух уравнений / = 0,/ = 0, решая которую, можно получить (получите самостоятельно):=⟨⟩ − ⟨⟩ ⟨⟩⟨2 ⟩ − ⟨⟩2 = ⟨⟩ − ⟨⟩ .,(4.7)Эти соотношения и есть решение задачи о построении наилучшей прямойметодом наименьших квадратов.Замечание.

Совсем кратко формулу (4.7) можно записать, если ввести обозначение ≡ ⟨Δ · Δ⟩ = ⟨⟩ − ⟨⟩ ⟨⟩ .(4.8)В математической статистике называют ковариацией. При ≡⟨︀ величину⟩︀ имеем дисперсию = Δ2 . Тогда=, = ⟨⟩ − ⟨⟩ .(4.9)4.6.2. Погрешность МНК в линейной моделиПогрешности и коэффициентов, вычисленных по формуле (4.7)(или (4.6)), можно оценить в следующих предположениях. Пусть погрешность измерений величины пренебрежимо мала: ≈ 0, а погрешностипо одинаковы для всех экспериментальных точек = const, независимыи имеют случайный характер (систематическая погрешность отсутствует).46Пользуясь в этих предположениях формулами для погрешностей косвенных измерений (см.

п. 2.6) можно получить следующие соотношения:√︃(︂)︂√︀1(4.10)− 2 , = ⟨2 ⟩, = − 2 где использованы введённые выше сокращённые обозначения (4.8). Коэффициент − 2 отражает число независимых «степеней свободы»: экспериментальных точек за вычетом двух условий связи (4.7).В частном случае = :√︃(︂ 2)︂1⟨ ⟩2 . =−(4.11) − 1 ⟨2 ⟩4.6.3. Метод хи-квадрат построения прямойПусть справедливы те же предположения, что и для метода наименьшихквадратов, но погрешности экспериментальных точек различны. Методминимума хи-квадрат сводится к минимизации суммы квадратов отклонений, где каждое слагаемое взято с весом = 1/2 :2 (,) =∑︁2 ( − ( + )) → min.=1Этот метод также называют взвешенным методом наименьших квадратов.Определим взвешенное среднее от некоторого набора значений { } как′⟨⟩ =где =∑︀1 ∑︁ , — нормировочная константа.Повторяя процедуру, использованную при выводе (4.7), нетрудно получить (получите) совершенно аналогичные формулы для искомых коэффициентов:′′′⟨⟩ − ⟨⟩ ⟨⟩′′= = ⟨⟩ − ⟨⟩ ,(4.12)′′2 ,2⟨ ⟩ − ⟨⟩′с тем отличием от (4.7), что под угловыми скобками ⟨.

. .⟩ теперь надо понимать усреднение с весами = 1/2 .Записанные формулы позволяют вычислить коэффициенты прямой, если известны погрешности . Значения могут быть получены либо изнекоторой теории, либо измерены непосредственно (многократным повторением измерений при каждом ), либо оценены из каких-то дополнительныхсоображений (например, как инструментальная погрешность).474.6.4. Недостатки и условия применимости методовФормулы (4.7) (или (4.6)) позволяют провести прямую по любому набору экспериментальных данных, а соотношения (4.10) — вычислить соответствующую среднеквадратичную ошибку для её коэффициентов.

Однакодалеко не всегда результат будет иметь физический смысл. Перечислимограничения применимости рассмотренных методов.В первую очередь, все статистические методы, включая МНК, предполагают для получения достоверных результатов использование достаточнобольшого количества экспериментальных точек (желательно > 10).Напомним, что всюду выше мы предполагали наличие погрешностейтолько по оси ординат, поэтому оси следует выбирать так, чтобы погрешность величины, откладываемой по оси абсцисс, была минимальна.Ещё одно предположение заключалось в том, что все погрешности опыта — случайны.

Поэтому, например, формулы (4.10)–(4.11) применимы только для оценки случайной составляющей ошибки или . Если в опытепредполагаются достаточно большие систематические ошибки, они должныбыть оценены отдельно. Отметим, что для оценки систематических ошибок не существует строгих математических методов, поэтому в таком случаепроще и разумнее всего воспользоваться графическим методом (см.

п. 3.4).Одна из основных проблем именно метода МНК — он не способен выявить ситуации, в которых разброс экспериментальных данных столь велик, что их нельзя считать соответствующими теоретической модели (метод всегда даст «разумный» результат для коэффициентов и их погрешностей). Поэтому, если погрешности измерений известны, предпочтительноиспользовать метод минимума 2 , лишённый данного недостатка.Наконец, стоит предостеречь от использования любых аналитическихметодов «вслепую», без построения графиков. В частности, МНК не способен выявить такие «аномалии», как отклонения от линейной зависимости,немонотонность, случайные всплески и т.

п. Эти случаи требуют особогорассмотрения и могут быть легко обнаружены визуально по графику.ЛИТЕРАТУРА[1] Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. — Москва : Мир, 1985.[2] Сквайрс Дж. Практическая физика. — Москва : Мир, 1971.[3] Зайдель А.Н. Погрешности измерений физических величин. — Ленинград : Наука, 1985.[4] Худсон Д. Статистика для физиков. — Москва : Мир, 1970.[5] Идье В., Драйард Д., Джеймс Ф., Рус М., Садуле Б.

Статистическиеметоды в экспериментальной физике. — Москва : Атомиздат, 1976.48.