Обработка результатов учебного эксперимента, страница 8

Построение прямой является наиболее наглядным ипозволяет проверить «разумность» полученных результатов, сверив их спостроением «от руки».Пример. Высота и время падения груза без начальной скорости в полетяжести связаны соотношением = 12 2 + 0 . Для того, чтобы (︀получить)︀линейную зависимость, можно построить график в координатах ,2 .

Поугловому коэффициенту наилучшей прямой можно в таком случае вычислить ускорение свободного падения: = 12 .Пример. В термодинамике и химии часто встречается зависимость вида =−/ . Чтобы определить коэффициенты и , можно построить графикв координатах (,), где = ln и = 1 . В таком случае, как нетрудновидеть, = − + ln .3.4.1. Рекомендации по оформлению графиковОсновная цель использования графиков — наглядность отображениярезультатов. В связи с этим к ним предъявляются следующие требования:∙ график обязательно должен иметь подпись (заглавие) с кратким описаниемего содержания (графики — это первое, на что обращает внимание читатель,еще до прочтения текста отчёта!);∙ подписи, данные и линии не должны быть нагромождены друг на другатак, что препятствовало бы их чтению;∙ оси на графике должны быть подписаны: указаны буквенное обозначениевеличины и её единицы измерения; если величина безразмерна, указывается«отн. ед.» (относительные единицы);∙ на осях должны быть отмечены масштаб и положение нуля; масштаб обозначается несколькими отметками с подписанными значениями и дополнительными малыми отметками без подписей; масштаб должен быть удобнымдля чтения (использованы «круглые» числа, делящиеся на 10, 5 или 2);∙ масштаб осей и начало отсчёта должны быть выбраны так, чтобы экспериментальные данные занимали всю площадь листа, отведённую под график;∙ если график строится не «от нуля», это следует подчеркнуть отдельно, например «разрывом» оси;∙ при необходимости сравнения данных из разных серий измерений, их следует размещать на одном графике, обозначая их разными символами илицветами;36∙ график с несколькими сериями данных должен быть снабжен «легендой»,в которой указано соответствие серий данных и их обозначений; экспериментальные «точки» должны изображаться символами конечных размеров(позволяющими отличить их от случайных «пятен»);∙ точки не должны быть без необходимости соединены линиями; также ненужно подписывать положение каждой точки графика (при необходимости можно указать положение 1-2 особых точек, если это не загромождаетграфик);∙ все экспериментальные точки должны быть снабжены крестами погрешностей, размер которых соответствует инструментальной погрешности измерения соответствующей величины (либо вычисленной по результатам косвенных измерений); кресты погрешностей можно не отмечать, только еслипогрешности малы (настолько, что они не будут видны на графике) или неизвестны;∙ если теория предполагает некоторую (например, линейную) функциональную зависимость, на график должна быть тонкой линией нанесена соответствующая теоретическая кривая; расчёт параметров этой кривой (например, коэффициентов МНК для линейной зависимости) должен проводитьсяотдельно в тексте отчёта — с указанием используемых методов и формул;результаты таких расчётов и их погрешности указываются в легенде графика или в подписи к нему;∙ оптимальный размер графика — от четверти до половины страницы (приусловии, что отчёт оформляется на страницах формата А4).На рис.

3.3 приведён пример того, как не надо строить графики. В нёмсобраны наиболее типичные ошибки, совершаемые студентами. Предлагаемчитателю выявить их самостоятельно. Для сравнения на рис. 3.4 изображён график для тех же данных, выполненный с соблюдением изложенныхвыше указаний.3.5. Некоторые типичные ошибки обработки данныхНахождение углового коэффициента по среднему от частного.

Студент измеряет сопротивление резистора по зависимости (). Получив некоторое количество экспериментальных точек ( , ), и пользуясь закономОма = /, он вычисляет сопротивление для каждого измерения = / , а затем ∑︀определяет сопротивление резистора как среднее значение . Что не так с этим методом (результат-то получается0 = ⟨ ⟩ = 1вполне «разумным»)?Во-первых, применять процедуру усреднения можно только при повторенииодного и того же измерения.

В данном случае значения относятся к разным измерениям, так как параметры системы каждый раз изменялись. Вовторых, не была проверена линейность зависимости (), то есть справедливость закона Ома (существуют и нелинейные элементы, для которых он невыполняется). В-третьих, даже если зависимость можно считать линейной,может оказаться так, что она не проходит через ноль (например, из-за сдвига37Рис. 3.3. Пример неправильно построенного графика4ИзмеренияЛинейная апроксимация y = k x + bk = (6,11 ± 0,05) · 10-4 см/сb = - 3,7 ± 0,5 смL , см321089101112133t, 10 сРис.

3.4. Пример корректного графического представления данных38нуля у вольтметра или амперметра) — тогда формула = / не годится. И наконец, даже если выполнена линейность и зависимость проходитчерез ноль, вычисление таким способом чревато большими погрешностями.Нетрудно видеть, что среднее значение ⟨ / ⟩ по сути есть среднее тангенсовуглов наклона линий, проведённых из начала координат в экспериментальную точку. Как известно, функция tg при > /4 очень резко возрастает(и стремится к бесконечности при = /2). В таком случае даже небольшое«шевеление» экспериментальной точки, особенно если она находится достаточно близко к оси ординат, может привести к резкому увеличению вкладаэтой точки в итоговый результат.Таким образом, «разумный» результат студента — плод удачного стечения многих обстоятельств. Правильный — обоснованный и надёжный —алгоритм нахождения сопротивления: построить график (), убедитьсяв его линейности, и построить наилучшую прямую.

Угловой коэффициентэтой прямой и будет наилучшей оценкой для сопротивления резистора.Недооценка систематической погрешности. Студент измеряет сопротивление резистора, действуя по правильному алгоритму, описанному выше. При измерениях используются вольтметр и амперметр с классом точности 0,5. Получив большое число экспериментальных точек и построивнаилучшую прямую методом наименьших квадратов (формула (4.7)), студент находит сопротивление (например, = 5,555 Ом) и его погрешностьпо формуле (4.10), которая оказывается равна = 0,003 Ом. Окончательный результат измерения записывается как = 5,555 ± 0,003 Ом.Выходит так, что с помощью приборов, относительная погрешность которых составляет 0,5%, получен на порядок более точный результат ≈0,05%.

Возможно ли такое?Ситуация эта вполне реальна и встречается в учебной лаборатории довольно часто. Дело в том, что метод наименьших квадратов позволяет оценитьтолько случайную ошибку — и она в самом деле может оказаться довольномала. Однако учебные приборы далеки от совершенства и их ошибка имеет восновном систематический характер.

Поэтому в данном случае при записиконечного результата необходимо учесть систематическую ошибку, относительная величина которой по составляет не менее 0,5% (согласно классуточности прибора) и значительно превосходит случайную. Результат эксперимента стоило бы записать как = 5,55 ± 0,03 Ом.Всё же, может статься и так, что инструментальные ошибки наших вольтметра и амперметра имеют случайный характер, и мы в самом деле добилиськратного повышения точности за счёт многократных повторений измерений(сколько нужно измерений, чтобы увеличить точность на порядок?). Этонетрудно проверить, если заменить вольтметр или амперметр на аналогичный и повторить опыты.

Таким образом мы превратим систематическуюошибку одного прибора в случайную ошибку множества приборов. Еслиотклонение нового результата от исходного значительно превысит величину±0,003 Ом, гипотеза о случайности инструментальной ошибки будет опровергнута, то есть погрешность отдельного прибора действительно имеет восновном систематический характер.39Аппроксимация полиномом. Студент получает набор экспериментальных данных { , }, которые по теории должны ложиться на прямую. Нанеся точки на график, студент видит, что на прямую они ложатся не оченьхорошо (см. рис. 3.5а).

Для того, чтобы точки лучше ложились на график,студент решает использовать функцию аппроксимации полиномом (например, квадратичным), имеющуюся в наличии во всех электронных таблицахи программах обработки данных. Можно ли так делать?1616141412121010f(x) = 1,50x86f(x) = 1,28x86f(x) = 0,07x^2 + 0,98x44220002468100а)246810б)Рис. 3.5. Примеры аппроксимации данных: а) сплошная линия — линейная аппроксимация, пунктир — квадратичная аппроксимация; б) сплошная линия —линейная аппроксимация по нескольким начальным точкам, пунктир — аппроксимация полиномом высокой степени.Ответ на вопрос зависит от того, какую цель преследует студент.

Если цель— добиться того, чтобы «точки лучше ложились на график», то всё сделаноправильно. Если говорить «по-научному» — это попытка решить задачу интерполяции экспериментальных данных: по ограниченному набору { , }получить аналитическую функцию = (), позволяющую рассчитыватьзначения при произвольном . В учебном практикуме это может быть, например, задача построения калибровочного графика. В таком случае можнолишь дать практический совет — стараться использовать для интерполяции полином как можно меньшей степени (дело в том, что при слишкомбольшой степени функция почти наверняка станет сильно немонотонной, аэто вовсе не то, что хочется иметь в качестве результата интерполяции, см.рис.

3.5б).Однако ни в одной лабораторной работе курса общей физики задача интерполяции не является основной целью работы! Как правило, цель — проверить теоретические закономерности и измерить физические характеристикисистемы. Если нет теории, предсказывающей и объясняющей квадратичнуюзависимость, проделанная студентом процедура бесполезна, поскольку вы-40численным коэффициентам полинома невозможно приписать физическийсмысл.Правильно было бы в такой ситуации выявить, на каком участке зависимости линейный закон выполняется, оценить его границы, и по немупостроить наилучшую прямую (сплошная линия на рис. 3.5б).