Обработка результатов учебного эксперимента

Обработка результатов учебногоэкспериментаП.В. Попов, А.А. Нозик28 августа 2019 г.12ОГЛАВЛЕНИЕ1 Измерения и погрешности1.1 Результат измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Многократные измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Классификация погрешностей . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .2 Элементы теории ошибок2.1 Случайная величина . . . . . . . . .2.2 Нормальное распределение . . . . . .2.3 Независимые величины . . . . . . . .2.4 Погрешность среднего . . . . . . . .2.5 Результирующая погрешность опыта2.6 Обработка косвенных измерений .

...........................................................................................4579131316192021233 Рекомендации по выполнению и представлению результатовработы3.1 Проведение измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Анализ инструментальных погрешностей . . . . . . . . .

. . .3.3 Отчёт о работе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Построение графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5 Некоторые типичные ошибки обработки данных . . . . . . . .2626303134374 Оценка параметров4.1 Метод минимума хи-квадрат . . . . . .4.2 Метод максимального правдоподобия. .4.3 Метод наименьших квадратов (МНК) .4.4 Проверка качества аппроксимации . . .4.5 Оценка погрешности параметров .

. . .4.6 Методы построения наилучшей прямой414142434444453..............................................................................ПРЕДИСЛОВИЕДанное пособие содержит краткое изложение основных понятий и методов, необходимых для обработки результатов экспериментов в учебной лаборатории, а также указания по представлению результатов лабораторныхработ в соответствии со сложившимся современным стандартам оформления научных публикаций.Умение оценивать погрешности, или «ошибки», измерений является важной частью любого научного эксперимента на всех его этапах. Так, приподготовке и проведении эксперимента необходимо знать точность используемых приборов, уметь находить пути возможного уменьшения погрешностей, разумно организовать сами измерения и правильно оценивать точность полученных значений.

На этапе обработки возникает необходимостьпересчитывать возможную погрешность в конечных результатах по известным оценкам погрешностей в исходных данных. А на самом важном этапе— интерпретации результатов эксперимента — без знания точности проведённых измерений и без корректной статистической обработки невозможноделать обоснованные выводы в пользу той или иной физической модели,той или иной гипотезы.Пособие может быть рекомендовано студентам первого курса для первичного ознакомления с предметом, либо в качестве «шпаргалки» по основным формулам. Более подробное изложение элементарных основ теории погрешностей можно найти в пособиях [1, 2, 3].

Студентам, знакомымс основами теории вероятностей и математической статистики, и желающим на более глубоком уровне познакомиться с современными методикамиобработки данных, можно порекомендовать книги [4, 5].Расширенная html-версия данного пособия, содержащая в том числе сопроводительные видео-материалы, дополнительные главы и актуальные исправления, будет доступна на сайте кафедры общей физики МФТИ в разделе лаборатории 1-го семестра.1. ИЗМЕРЕНИЯ И ПОГРЕШНОСТИСвойства физического объекта (явления, процесса) определяются набором количественных характеристик — физических величин. Результатомизмерения может быть количество отсчётов некоторого события, логическое утверждение (да/нет) или даже качественная оценка (сильно/слабо/умеренно).

Мы ограничимся наиболее типичным для физики случаем, когда результат отдельного измерения представляет собой число, задающееотношение измеряемой величины к некоторому эталону. Сравнение с эталоном может быть как прямым (проводится непосредственно экспериментатором), так и косвенным (проводится с помощью некоторого прибора,которому экспериментатор доверяет).4Взаимосвязь между различными физическими величинами описывается физическими законами, представляющими собой идеализированную модель действительности. Конечной целью любого физического экспериментаявляется проверка адекватности и уточнение параметров таких моделей.1.1. Результат измеренияРассмотрим простейший пример: измерение длины стержня с помощьюлинейки.

Линейка проградуирована производителем с помощью некоторогостандартного эталона длины — таким образом, сравнивая длину стержнясо шкалой линейки, мы выполняем косвенное сравнение с эталоном.Приложим линейку к стержню и получим по её шкале некоторый результат = изм . Можно ли утверждать, что изм — это и есть истиннаядлина стержня? Ответ не столь очевиден, как может показаться.Во-первых, значение не может быть задано точно. Хотя бы потому,что оно обязательно округлено до некоторой значащей цифры: если линейка «обычная», то у неё есть цена деления; а если «линейка», к примеру,лазерная — у неё высвечивается конечное число значащих цифр на дисплее.Во-вторых, истинная длина вполне может отличаться от измереннойбольше, чем на ошибку округления.

Действительно, мы могли приложитьлинейку не вполне ровно; сама линейка всегда изготовлена не вполне точно;стержень не является идеальным цилиндром т. п.И, наконец, если пытаться хотя бы гипотетически переходить к бесконечной точности измерения, теряет смысл само понятие «истинной» длиныстержня. Ведь на масштабах атомов у стержня нет чётких границ, а значитговорить о его геометрических размерах в таком случае крайне затруднительно! В общем случае под «истинным значением» физической величинывсегда подразумевается некоторая идеализация.Итак, из нашего примера видно, что никакое физическое измерение неможет быть произведено абсолютно точно, то есть у любого измеренияесть погрешность.Замечание. Также используют эквивалентный термин ошибка измерения(от англ.

error). Подчеркнём, что смысл этого термина отличается от общеупотребительного бытового: если физик говорит «в измерении есть ошибка»,— это не означает, что оно неправильно и его надо переделать. Имеется ввиду лишь, что это измерение неточно, то есть имеет погрешность.Определим количественно погрешность как разность между измеренным и «истинным» значением физической величины: = изм − ист .Однако использование такого определения затруднено — величину невозможно непосредственно вычислить или измерить.

Во-первых, из-за неизбежного наличия погрешностей мы можем знать только изм , но не ист , и5во-вторых, само значение ист может отличаться в разных измерениях (например, стержень неровный или изогнутый, его торцы дрожат из-за тепловых флуктуаций и т.д.). Поэтому на практике можно говорить лишь обоценке величины погрешности.Об измеренной величине также часто говорят как об оценке, подчёркивая, что эта величина не точна и зависит не только от физических свойствисследуемого объекта, но и от процедуры измерения.Для оценки значения физической величины корректно использоватьне просто некоторое фиксированное число изм , а интервал (или диапазон) значений, в пределах которого может лежать её «истинное» значение.В простейшем случае этот интервал может быть записан как = изм ± ,где — абсолютная величина погрешности.

Эта запись означает, что исследуемая величина лежит в интервале ∈ (изм −; изм +) с некоторойдостаточно большой долей вероятности (более подробно о вероятностномсодержании интервалов см. п. 2.2). Для наглядной оценки точности измерения удобно также использовать относительную величину погрешности: =.измОна показывает, насколько погрешность мала по сравнению с самой измеряемой величиной (её также можно выразить в процентах: = · 100%).Пример. Штангенциркуль — устройство для измерения длин с ценой деления 0,1 мм.

Пусть диаметр некоторой проволоки равен 0,37 мм. Считая, чтоабсолютная ошибка составляет половину цены деления, результат измерения можно будет записать как = 0,40 ± 0,05 мм (или = (40 ± 5) · 10−5 м).Относительная погрешность составляет ≈ 13%, то есть точность измерения весьма посредственная — это обусловлено близостью размера объекта кпределу точности прибора.О необходимости оценки погрешностей. Измерим длины двух стержней 1 и 2 и сравним результаты. Можно ли сказать, что стержни одинаковы или различны?Казалось бы, достаточно проверить, справедливо ли 1 = 2 . Но никакиедва результата измерения не равны друг другу с абсолютной точностью!Таким образом, без указания погрешности измерения ответ на этот вопросдать невозможно.С другой стороны, если погрешность известна, то можно утверждать,что измеренные длины одинаковы в пределах погрешности опыта, если|2 − 1 | < (и различны в противоположном случае).Итак, без знания погрешностей невозможно сравнить между собой никакие два измерения, и, следовательно, невозможно сделать никаких значимых выводов по результатам эксперимента: ни о наличии зависимостей6между величинами, ни о практической применимости какой-либо теории,и т.

п. В связи с этим задача правильной оценки погрешностей являетсякрайне важной, поскольку существенное занижение или завышение значения погрешности (по сравнению с реальной точностью измерений) ведёт кнеправильным выводам.В физическом эксперименте оценка погрешностей должна проводитьсявсегда (даже когда составители «задания» не упомянули об этом!).1.2. Многократные измеренияИз-за неизбежного наличия случайных погрешностей однократного измерения величины недостаточно.

Проведём серию из одинаковых (однотипных) измерений одной и той же физической величины (например, многократно приложим линейку к стержню) и получим ряд значенийx = {1 , 2 , . . . , } .Что можно сказать о длине стержня по данному набору измерений? И влияет ли число проведенных измерений на конечный результат?Если цена деления самой линейки достаточно мала, то как нетрудно убедиться на практике, величины { } почти наверняка окажутся различными.Причиной тому могут быть самые разные обстоятельства, например: у наснедостаточно остроты зрения и точности рук, чтобы каждый раз прикладывать линейку одинаково; стенки стержня могут быть слегка неровными;у стержня может и не быть определённой длины, например, если в нёмвозбуждены звуковые волны, из-за чего его торцы колеблются, и т.

д.В такой ситуации результат измерения является случайной величиной,которую можно описать некоторым вероятностным законом — распределением (подробнее см. гл. 2). Важнейшей характеристикой случайной величины является её среднее значение. Вычислим среднее арифметическоепо набору результатов x, обозначив его угловыми скобками:1 + 2 + . . . + 1 ∑︁⟨⟩ =≡ .

=1(1.1)Это значение, вычисленное по результатам конечного числа измерений,принято называть выборочным средним.Кроме среднего представляет интерес и то, насколько сильно варьируются результаты от опыта к опыту. Определим отклонение каждого измерения от среднего как∆ = − ⟨⟩ , = 1 . . . .Разброс совокупности данных { } относительно среднего принято характеризовать среднеквадратичным отклонением:⎯√︂⎸ ⎸ 1 ∑︁∆21 + ∆22 + . . . + ∆2≡⎷∆2(1.2)= =17или кратко=√︀⟨∆2 ⟩ ≡√︀⟨( − ⟨⟩)2 ⟩.(1.3)2Средний квадрат отклонения называют выборочной дисперсией.Будем увеличивать число измерений ( → ∞). Если объект измеренияи методика достаточно стабильны, то отклонения от среднего ∆ будут, вопервых, относительно малы, а во-вторых, положительные и отрицательныеотклонения будут встречаться примерно одинаково часто.