Обработка результатов учебного эксперимента (1178198), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В качестве результата эксперимента представляют интерес каксреднее значение скоростей ⟨⟩ = 162 ± 6 м/с ( ≈ 4%), так и значение ≈ 14 м/с, характеризующее разброс значений скоростей от выстрела квыстрелу. Малая инструментальная погрешность в принципе позволяет более точно измерить среднее и дисперсию, и исследовать закон распределения выстрелов по скоростям более детально — для этого требуется набратьбо́льшую статистику по выстрелам.Пример. Измерение скорости полёта пули было проведено с погрешностью = 10 м/c. Результаты измерений для = 6 выстрелов:, м/с150170160180150170Усреднённый результат ⟨⟩ = 163,3 м/с, = 12,1 м/c, ⟨⟩ = 5 м/с,полн ≈ 11,2 м/с.
Инструментальная погрешность каждого измерения превышает разброс данных, поэтому в этом опыте затруднительно сделать вывод о различии скоростей от выстрела к выстрелу. Результат измерений скорости пули: ⟨⟩ = 163 ± 11 м/с, ≈ 7%. Проводить дополнительные выстрелы при такой большой инструментальной погрешности особого смысла нет— лучше поработать над точностью приборов и методикой измерений.2.6.
Обработка косвенных измеренийКосвенными называют измерения, полученные в результате расчётов,использующих результаты прямых (то есть «непосредственных») измерений физических величин.2.6.1. Случай одной переменнойПусть в эксперименте измеряется величина , а её «наилучшее» (в некотором смысле) значение равно ⋆ и оно известно с погрешностью . Послечего с помощью известной функции вычисляется величина = ().В качестве «наилучшего» приближения для используем значение функции при «наилучшем» : ⋆ = (⋆ ) .Найдём величину погрешности . Обозначая отклонение измеряемойвеличины как ∆ = − ⋆ , и пользуясь определением производной, приусловии, что функция () — гладкая вблизи ≈ ⋆ , запишем∆ ≡ () − (⋆ ) ≈ ′ · ∆,⋆— производная фукнции (), взятая⟨︀в точкегде ′ ≡ ⟩︀ 2 . ⟨︀Возведём⟩︀22полученное в квадрат, проведём усреднение ( = ∆ , = ∆2 ), изатем снова извлечём корень.
В результате получим⃒ ⃒⃒ ⃒ = ⃒⃒ ⃒⃒ .(2.10)23Пример. Для степенной функции = имеем = −1 , откуда= ,или = ,то есть относительная погрешность степенной функции возрастает пропорционально показателю степени .Пример. Для = 1/ имеем 1/ = — при обращении величины сохраняется её относительная погрешность.Упражнение. Найти погрешность логарифма = ln по заданным и .Упражнение. Найдите погрешность показательной функции = , еслиизвестны и . Коэффициент задан точно.2.6.2. Случай многих переменныхПусть величина вычисляется по измеренным значениям несколькихразличных независимых физических величин , , . .
. на основе известногозакона = (,, . . .). В качестве наилучшего значения можно по-прежнемувзять значение функции при наилучших значениях измеряемых параметров:⋆ = (⋆ , ⋆ , . . .) .Для нахождения погрешности воспользуемся свойством, известнымиз математического анализа, — малые приращения гладких функции многих переменных складываются линейно, то есть справедлив принцип суперпозиции малых приращений:∆ ≈ ′ · ∆ + ′ · ∆ + . .
. ,где символом ′ ≡ обозначена частная производная функции по переменной — то есть обычная производная по , взятая при условии, чтовсе остальные аргументы (кроме ) считаются постоянными параметрами.Тогда пользуясь формулой для нахождения дисперсии суммы независимыхвеличин (2.7), получим соотношение, позволяющее вычислять погрешностикосвенных измерений для произвольной функции = (,, . . .):2 = ′2 2 + ′2 2 + . . .(2.11)Отметим, что формулы (2.10) и (2.11) применимы только если относительные отклонения всех величин малы ( , , .
. . ≪ 1), а измерения проводятся вдали от особых точек функции (производные ′ , ′ . . . не должныобращаться в бесконечность). Также подчеркнём, что все полученные здесьформулы справедливы только для независимых переменных , , . . .Остановимся на некоторых важных частных случаях формулы (2.11).24Пример. Для суммы (или разности) =∑︀ имеем=12 =∑︁2 2 .(2.12)=1Пример. Найдём погрешность степенной функции = · · . .
.:222= 2 2 + 2 2 + . . .2или через относительные погрешности2 = 2 2 + 2 2 + . . .(2.13)Пример. Вычислим погрешность произведения и частного = или =/. Тогда в обоих случаях имеем2 = 2 + 2 ,(2.14)то есть при умножении или делении относительные погрешности складываются квадратично.Упражнение. Найти погрешность вычисления гипотенузы =прямоугольного треугольника по измеренным катетам и .√︀2 + 2Упражнение. Найти погрешность вычисления угла прямоугольного треугольника по его катетам: = arctg .Исходя из полученных результатов можно дать следующие практические рекомендации.∙ Как правило, нет смысла увеличивать точность измерения какой-то однойвеличины, если другие величины, используемые в расчётах, остаются измеренными относительно грубо — всё равно итоговая погрешность будетопределяться самым неточным измерением.
Поэтому все измерения следует проводить примерно с одной и той же относительной погрешностью.∙ При этом, как следует из (2.13), особое внимание следует уделять величинам, возводимым при расчётах в степени с большими показателями.∙ При сложных функциональных зависимостях имеет смысл детально проанализировать структуру формулы (2.11): если вклад от некоторой величины в общую погрешность мал, нет смысла гнаться за высокой точностьюеё измерения, и наоборот, точность некоторых измерений может оказатьсякритически важной (особенно осторожным нужно быть на участках резкогоизменения функции , когда производная |′ | велика).25∙ Следует избегать измерения малых величин как разности двух близкихзначений (например, толщины стенки цилиндра как разности внутреннего =√︀ и внешнего радиусов): если = − , то абсолютная погрешность2 + 2 меняется мало, однако относительная погрешность = −может оказаться неприемлемо большой, если ≈ .3.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ИПРЕДСТАВЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ3.1. Проведение измеренийКлючевым элементом проведения лабораторной работы является ведение лабораторного журнала. Журнал является главным источником информации о проведенном эксперименте.3.1.1. Правила ведения лабораторного журнала∙ Лабораторный журнал оформляется от руки. Для оформления лучше использовать большую тетрадь формата A4 с несъемными листами. Это правило связано с тем, что никакой электронный журнал не обладает такой жеинформативностью и гибкостью в оформлении.
Рукописные журналы используются на всех крупных современных физических экспериментах.∙ В журнале необходимо фиксировать всю информацию о проводимом эксперименте: название работы, дату и время проведения эксперимента, типыиспользованных приборов, схему установки, а также любые другие показатели, которые могут быть связаны с проведением работы и обработкойрезультатов.∙ Лабораторный журнал должен содержать максимально полную информацию о процессе проведения эксперимента, а не только результаты измерений. Обязательно должны быть указаны все проводимые экспериментатором действия. По возможности должны присутствовать временные меткивсех действий (например, чтобы потом можно было сверить журнал с журналами других студентов, работающих в это время, или с другой информацией).∙ Не допускается исключение из журнала «неправильных» (или показавшихся неправильными) измерений.
Если по какой-то причине сделано заключение о том, что измерение проведено в неправильных условиях, результатыдолжны быть сохранены, а в журнале сделана пометка о том, почему этоизмерение считается ненадежным. История знает много примеров, когда напервый взгляд «ошибочные» измерения приводили к открытиям.∙ Рекомендуется дублировать в журнале показания приборов даже если онизаписываются автоматически электронным способом. Это позволяет избежать многих ошибок.∙ Во избежание искажения или потери информации об измерениях при записиих результатов не допускается использование карандаша, корректора иличерновиков.263.1.2.
Подготовка к работеПеред выполнением лабораторной работы необходимо∙ ознакомиться с описанием работы и теоретическим введением по соответствующей теме: получить таким образом представление об изучаемых явлениях, порядках измеряемых величин и связывающих их закономерностях,а также о методе измерения, используемых приборах и последовательностидействий при проведении измерений;∙ продумать предложенный в описании план действий, оценить необходимоеколичество измерений.
Количество измерений студент должен оцениватьсамостоятельно исходя из а) требуемой точности измерений и б) планируемого времени выполнения работы;∙ желательно заранее (в крайнем случае, на начальном этапе работы) представлять диапазон изменения измеряемых величин и выбрать для них соответствующие единицы измерения;∙ предварительно оценить достижимую точность измерений, проанализировать возможные источники погрешностей и их влияние на погрешность конечного результата.Для подготовки к выполнению работы рекомендуется наличие в журнале следующих элементов:∙ название (не только номер!) и цели работы; схема установки и краткое описание использованных приборов.∙ основные теоретические положения и расчётные формулы для данной работы. Не следует переписывать (или перепечатывать) всё, что изложено вописании работы — нужно выделить ключевые моменты, необходимые дляпроведения работы и интерпретации результатов.∙ план работы с оценкой количества измерений и времени, необходимого навыполнение каждого пункта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
