1598004876-ea2cd03673c5d2c1073eb9d0dce244cb (Линейная алгебра и аналитическая геометрия), страница 8

С другой стороны, ̅, ̅̅ , ̅ 2α ̅ ,, , т.е. ̅ , ̅ 2α ̅ ,,0. Выражение в левой части неравенства —квадратный трехчлен относительно . Он неотрицателен тогда и только тогда, когдадискриминант 4 ̅ ,4 , ̅ , ̅ 0. Из последнего неравенства немедленно следуетнеравенство Коши-Буняковского: 4 ̅ ,4 , ̅, ̅, ̅,, ̅ , ̅ . Теорема доказана.Метрические соотношения в RnОпределение. Число ∣ ̅ ∣ √ ̅ , ̅ называется длиной вектора ̅ ; число ∣ ̅— расстоянием между векторами ̅ и ; угол , косинус которого cosмежду векторами ̅ и .Если в Rn скалярное произведение определено формулой ̅ ,̅, ,...,,, ,...,из Rn справедливо:̅,,∣ ̅ ∣,∣∣,cos∑∣∣ ̅ ∣⋅∣ ∣, ̅— углом, то для любых∑∑̅̅,∑Ортогональность, ортогональные системы, ортонормированные базисыОпределение.

Векторы ̅ и из пространства Rn называются ортогональными, если̅,0.Определение. Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из пространства Rn называетсяортогональной, если векторы системы попарно ортогональны.Теорема (о линейной независимости ортогональных систем). Ортогональная системавекторов линейно независима.Доказательство теоремы.Предположим противное: векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ попарно ортогональны, но они линейнозависимы. Тогда один из векторов линейно выражается через остальные. Например, пусть∑это первый вектор:,∑0(ясно, что речь идет о ненулевых∑∑векторах). Тогда ,,,0, для всех j = 2, 3, …, k, т.е.∑0.

Полученное противоречие доказывает теорему.Определение. Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из пространства Rn называетсяортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичнуюдлину.Определение. Базис пространства Rn называется ортонормированным базисом, еслиобразующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.∑В пространстве Rn в естественном скалярном произведении ̅ ,естественныйбазис — ортонормированный базис.1Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекции 9-10Общая теория линейных системСистемы линейных алгебраических уравнений. Основные понятияРассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных, ,..., :...,1112...,2122.......mnОпределение.

Решением системы называется совокупность n значений неизвестных, ,..., , при подстановке которых,,...,все уравнениясистемы обращаются в тождества.Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной;система, не имеющая ни одного решения — несовместной.Напомним, что система линейных уравнений может быть записана в матричной форме:̅,где — матрица системы, ,— правая часть, ̅ — искомое решение,...1112...2122,...... ... ... ,... .......mnИногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:...,где,,...,— столбцы матрицы системы....111111...2122Обозначим.......

... .........mnМатрица называется расширенной матрицей системы.Определение. Если правая часть системы равна нулю, то система называетсяоднородной.̅ (с той же матрицейОпределение. Для системы ̅однородная система ̅системы A) называется приведенной однородной системой.Свойства решений систем линейных алгебраических уравненийИспользуя свойства линейных операций с матрицами, нетрудно доказать, справедливостьследующих утверждений.̅ , то при любых действительных1.

Если ̅ и — два решения однородной системы ̅̅.числах α и β вектор ̅— решение системы ̅2. Если ̅ и — два решения неоднородной системы ̅, то вектор ̅— решение̅приведенной однородной системы однородной ̅.3. Если ̅ решение неоднородной системы ̅, а — решение однородной системы̅ , то вектор ̅̅— решение неоднородной системы ̅.2̅,Докажем, например, первое из этих свойств. Пусть ̅ и — два решения системы ̅̅и̅ и пусть α и β любые действительные числа.

Тогда ⋅ ̅т. е. ̅̅̅̅̅̅ , т.е. вектор ̅̅— решение однородной системы.Остальные утверждения докажите аналогично самостоятельно.Необходимое и достаточное условие совместности системы линейныхалгебраических уравненийНа вопрос о совместности системы линейных алгебраических уравнений отвечаетследующая теорема.Теорема (теорема Кронекера-Капелли). Для того, чтобы неоднородная системалинейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобыранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.Доказательство теоремы.совместна.

Докажем, что RgA RgAр .Необходимость. Система ̅Система ̅совместна — существуют такие числа , ,..., , что,...т.е. вектор-столбец правой части линейно выражается через столбцы,,...,матрицыA. Это означает, что при добавлении столбца число линейно независимых столбцов неувеличивается, т.е. RgA RgAр . Необходимость доказана.Достаточность. RgA RgAр. Докажем, что система ̅совместна.Пусть RgA RgAр.

Это означает, что среди столбцов обеих матриц есть r линейнонезависимых столбцов, а все остальные линейно выражаются через эти r столбцов. Неумаляя общности, положим, что линейно независимы первые r столбцов,,...,.Тогда столбцы,,...,, — линейно зависимы и, следовательно, столбецлинейно выражается через,,...,:....Положим,,...,,0,0,...,0,тогда......0...т.е. вектор ̅⋅0⋅0,⋅0⋅0— решение системы......⋅0⋅0,̅0...0т.е.

система ̅совместна. Теорема доказана.Очевидно, что однородная система всегда совместна, поскольку у нее всегда естьтривиальное — нулевое решение.Совместность однородной системы также легко получить из теоремы Кронекера-Капелли:добавление столбца правых частей — нулевого столбца, не может увеличить рангматрицы.Минор матрицы. Теорема о базисном минореОпределение. Минором матрицы порядка r называется определитель, составленный изэлементов матрицы, расположенных на пересечении любых r строк и r столбцовматрицы; обозначаем Mr.Пример.15039241083304742206510,553 1,7 510392108420650553минор M2 расположен на пересечении 2-й и 5-й строк с 3-м и 5-м столбцами, а минор M4— на пересечении 1-й, 3-й, 4-й и 5-й строк с 1-м, 2-м, 4-м и 5-м столбцами.Минор Mr, расположенный в первых r строках и в первых r столбцах матрицы ,называется угловым или главным минором матрицы.Справедлива следующая теорема.Теорема о базисном миноре.

Если ранг матрицы равен r, то у матрицы есть отличныйот нуля минор порядка r. Строки и столбцы этого минора линейно независимы, а всеостальные строки и столбцы матрицы через них линейно выражаются.Доказательство теоремы опускаем. Его можно найти в учебниках, приведенных в спискелитературы.Отличный от нуля минор r-го порядка матрицы, ранг которой равен r, называетсябазисным минором, столбцы матрицы, входящие в этот минор называются базиснымистолбцами, а строки, входящие в базисный минор — базисными строками.Т.е.

теорема о базисном миноре утверждает, что базисные строки и базисныестолбцы матрицы линейно независимы, а остальные строки и столбцы матрицылинейно выражаются через базисные.Следствия из теоремы о базисном минореЕсли ранг матрицы равен r, то все миноры матрицы более высокого порядка равнынулю.Действительно. Любой минор более высокого порядка содержит хотя бы один столбец(строку), который линейно выражается через столбцы базисного минора, и,следовательно, равен нулю, поскольку разлагается в линейную комбинациюопределителей с хотя бы двумя равными столбцами:1.1111∣ ............11...

∣0иA∣.rr11кС ∣з.....................rrrpjrjp∣........................rrrkjrjk∣ ∣...............rrrp...jrjp∣0.2.Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы.Действительно, из теоремы о базисном миноре следует, размерность базисного минора —наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.3.Строки и столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда,когда ее определитель отличен от нуля.Действительно, определитель — минор наивысшего порядка. Если он отличен от нуля,то он и есть базисный минор матрицы, т.е. все его столбцы (строки) — базисные —линейно независимые. И наоборот. Если все n строк и столбцов квадратной матрицыпорядка n линейно независимы, то ранг матрицы равен n.

Но по теореме о базисномминоре существует отличный от нуля минор матрицы порядка n, а такой минор —определитель матрицы.4Замечание. Утверждение теоремы о базисном миноре легко понять на примереступенчатой матрицы. Вспомним, что ранг ступенчатой матрицы1100...00...12220...00......23 ...33 ...... ...

...0 ...rr0 ... 0... ... ...000...0...0.....................13...rn0...равен числу r ненулевых строк. Видно, что главный минор этой матрицы, Mr отличен отнуля:110∣ ...001222...00...............,......,0∣11⋅22⋅ ... ⋅,0,,ведь все диагональные элементы 11 , 22 ,..., , отличны от нуля.Любой минор более высокого порядка содержит нулевую строку, т.е. равен нулю.Нетривиальная совместность однородных систем.

Необходимое идостаточное условие нетривиальной совместности однородной системыМы уже говорили, что однородная система линейных алгебраических уравнений всегдасовместна. Если однородная система имеет единственное решение, то это единственноерешение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однороднаясистема имеет более одного решения, то среди этих решений есть и ненулевые и в этомслучае система называется нетривиально совместной.Пример. Вектор ̅ 1 — отличное от нуля решение однородной системы10,2x2x0.Теорема (необходимое и достаточное условие нетривиальной совместностиоднородной системы).