1598004876-ea2cd03673c5d2c1073eb9d0dce244cb (Линейная алгебра и аналитическая геометрия), страница 9

Для того чтобы однородная система была нетривиальносовместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числанеизвестных.Доказательство теоремы̅ нетривиально совместна. Это означает, что существуютНеобходимость. Система ̅числа , ,..., не все равные нулю, для которых справедливо...̅ . Последнее равенство означает, что n столбцов матрицы систем линейнозависимы и, следовательно, ранг матрицы системы (максимальное число линейнонезависимых столбцов) меньше числа столбцов, меньше числа неизвестных.Необходимость доказана.Достаточность. Пусть ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных. По теоремео базисном миноре из этого следует, что существует отличный от нуля минор матрицы5порядка r.

Не умаляя общности, будем полагать, что базисный минор — главный минор.........11матрицы∣ ...... ∣0.rrРассмотрим первые r уравнений системы (по теореме о базисном миноре остальныеуравнения — линейные комбинации этих первых уравнений):111221220,0,............0.rnОставим слева первые r неизвестных, а остальные n-r неизвестные перенесем вправо иполучим неоднородную систему линейных уравнений относительно неизвестных, ,..., :1121......,,............rr...rr.rnОпределитель полученной системы — отличный от нуля базисный минор Mr.Уравнения системы справедливы при произвольных значениях переменных,,..., .Их естественно называть свободными. А переменные , ,..., в левой частиуравнений системы естественно назвать базисными.Базисные переменные можно вычислить по формулам Крамера, i = 1, 2, …, r .Здесь0— определитель матрицы системы, а — определитель, полученный из Mrзаменой i-го столбцом правых частей.

Вычислим, например, x1.1......⋅∣22...rr12⋅∣1222......rr..................rn............... ∣... ∣rr.rrЗдесь — некоторые числа.∑∑∑∑Итак,. Аналогично,,...,базисные переменные линейно выражаются через свободные переменные.Положим, например такие значения свободных переменных:1,0,...,...∑∑∑Тогда вектор ̅...однородной системыдоказана.— т.е.0.1121...rp...̅rp21...10...0— отличное от тождественного нуля решение̅ . Т.е. однородная система нетривиально совместна. ТеоремаФундаментальная система решений однородной системы.

Структура общегорешения однородной системы̅ — векторы из Rn. Вспомним также,Вспомним, что решения однородной системы ̅что в силу свойств решений линейной однородной системы множество L ее решений —линейное подпространство в Rn. Действительно: если ̅ и — два решения однородной6̅ , то при любых действительных числах α и β вектор ̅системы ̅— решение̅ , иначе говоря, для любых ̅ ∈ и ∈ и любого числах α ̅системы ̅∈ и̅ ∈ . Доказано также, что если ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n,то система имеет ненулевые решения.Определение. Выражение, позволяющее вычислить все (любое) решения системы,называется общим решением системы.В теореме о нетривиальной совместности однородной системы показано, что если r —ранг матрицы системы, то r базисных переменных выражаются через свободныепеременные по формулам∑∑∑∑,,,...,.rpЗдесь для простоты полагали, что базисные переменные — это первые r переменных.Вообще говоря, это могут быть любые r переменных.∑∑∑∑Итак,,,,...,— т.е.

базисныеrpпеременные линейно выражаются через свободные переменные.Построим n-r ненулевых решений однородной системы специальным образом.Сначала положим1,0,...,0и полученное решение обозначим ̅ .Затем положим0,1,0,...,0и полученное решение обозначим ̅ ,и т.д., и, наконец, положим0,0,0,...,0,1и полученное решениеобозначим ̅ . Имеем (см. док-во теоремы о нетривиальной совместности)11122122...̅10...0..., ̅...,..., ̅01...0rn00...1.Нетрудно видеть, что эти n-r ненулевые решения линейно независимы.Действительно, запишем матрицу, столбцами которой являются векторы ̅ , ̅ ,..., ̅1121...10...001222...01...00...........................0.0...01:Минор этой матрицы, расположенный в последних n-r строках равен 1, отличен от нуля.Это означает, что ранг матрицы равен n-r и что ее n-r столбца линейно независимы.

Астолбцы этой матрицы — ненулевые решения однородной системы ̅ , ̅ ,..., ̅ .С другой стороны, любое решение системы, в соответствии с приведенными вышеформулами, можно записать в виде:11...2121......̅2121⋅rp......⋅10...0......01...0⋅rn00...1...⋅ ̅⋅ ̅...⋅ ̅̅̅...̅.7Здесь произвольные значения свободных переменных,,..., обозначены буквами, ,...,.Подведем итог:построена система ̅ , ̅ ,..., ̅ , состоящая из n-r линейно независимых решенийоднородной системы;любое решение системы линейно выражается через решения ̅ , ̅ ,..., ̅ ;множество решений однородной системы — линейное подпространство.Тогда можно утверждать:̅ равна n – r ,1.размерность подпространства L решений однородной системы ̅где n — число неизвестных, r = RgA: dimL = n – r;2.система ̅ , ̅ ,..., ̅ — базис в подпространстве L решений однородной системы̅;̅3.выражение ̅̅̅...̅ — общее решение однородной системы.Определение.

Система ̅ , ̅ ,..., ̅ , состоящая из n-r линейно независимых решений̅ , ̅ ∈ , RgA=r , называется фундаментальной системойоднородной системы ̅решений однородной системы.Выше мы доказали следующие утверждения.Утверждение. Фундаментальная система решений однородной системы — базиспространства решений однородной системы.Теорема о структуре общего решения однородной системы линейныхалгебраических уравнений.

Если ранг r матрицы однородной системы линейныхуравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записатьв виде линейной комбинации решений фундаментальной системы: ̅̅̅...̅ .Пример 1. Исследуем однородную систему линейных алгебраических уравнений2x4x0,2x2x0,3x2x2x0,2x2x6x0.Исследовать однородную систему — ответить на вопрос является ли системанетривиально совместной, и если является, то найти ее общее решение.Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана.Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарные преобразованиястрок (прямой ход метода Гаусса):141 2 14 1 21 2 142 01 2043 100 4 310→→43 103 2 02 00 0 001 2 26 0 4310 0 0 00Ранг матрицы системы равен r = 2, число неизвестных n =4, r < n — система нетривиальносовместна.

Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы спреобразованной матрицей совпадают.Продолжим преобразование матрицы системы, выполняя элементарные операции состроками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратный ход методаГаусса):14 1 01 2 14 1 2 10 10 4 3 10→→0 1.0 0 0 00 0 0 00 0 000 0 0 00 0 0 00 0 008Запишем эквивалентную систему уравнений:10,2350.421 0∣ 1 0.0 1Следовательно, переменные , — базисные переменные, а ,Перенесем свободные переменные вправо:1,235.42Главный минор матрицы этой системы —∣— свободные.Получили выражение базисных переменных через свободные.

Такое выражение — общеерешение однородной системы, записанное «на языке систем».Найдем базис в подпространстве решений системы (фундаментальную систему). Дляэтого положим значения свободных переменных равными1,0и вычислимбазисные переменные:111⋅1 0,22235353⋅1⋅0.42424Тогда вектор ̅— решение однородной системы.10Затем положим значения свободных переменных равнымибазисные переменные:11⋅0 11,2235355⋅0⋅1.424221Тогда вектор ̅01— решение однородной системы.0x1и вычислим9Векторы ̅ , ̅ — линейно независимые решения однородной системы размерностьпространства решений которой d = n– r = 4 – 2 = 2, т.е.

̅ , ̅ — базис пространстварешений.Запишем общее решение системы:1̅̅̅⋅10Проверим:̅1231⋅20221102.0142⋅2624C22C322C6C00.0022C,— произвольные постоянные.Верно.Ответ: Общее решение системы ̅,1Базис в пространстве решений системы — ̅, ̅1001.Структура общего решения неоднородной системыВспомним одно из свойств решений линейной неоднородной системы:Если ̅ и — два решения системы ̅, то вектор ̅— решение приведенной̅.однородной системы ̅̅̅...̅ задает все решения однороднойПоскольку выражение ̅системы, то для любых двух решений ̅ и неоднородной системы справедливо̅̅...̅ и, следовательно, выражение ̅̅̅...̅̅позволяет вычислить любое решение неоднородной системы.Таким образом доказана теорема о структуре общего решения линейной неоднороднойсистемы.Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейныхалгебраических уравнений. Если ранг r матрицы неоднородной системы линейныхуравнений меньше числа неизвестных n, то общее решение системы можно записать ввиде̅̅̅...̅где , ,...,— произвольные константы, а ̅ , ̅ ,..., ̅ — фундаментальная системарешений приведенной однородной системы, — некоторое известное (частное) решениенеоднородной системы.Пример 2.

Исследуем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений102x4x2x2x2,3x2x2x3,2x2x6x1,1.Исследовать неоднородную систему — ответить на вопрос является ли системасовместной, и если является, то найти ее общее решение.Решение. Решим задачу методом Гаусса-Жордана.Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду, выполняя элементарныепреобразования строк (прямой ход метода Гаусса):1 214 1 1 21 2 14 114 12 01 22043 10 0 043 10 0→→р0431003 2 02 30 000 01 2 261 0 4310 0 0 000 0Ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы и равен двум:RgAp =RgA= r = 2, система совместна. Число неизвестных n =4, r < n — приведеннаяоднородная система нетривиально совместна.Кроме того, очевидно, множества решений исходной системы и системы спреобразованной матрицей совпадают.Продолжим преобразование расширенной матрицы системы, выполняя элементарныеоперации со строками так, чтобы базисный минор матрицы стал единичным (обратныйход метода Гаусса):1 14 1 1 01 214 1 1 2 10 0 1043 10 0 0 10.→→0 000 0 0 0 0 0 00 00 000 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0Запишем эквивалентную систему уравнений:11,2350.42Как и в примере 1, переменные , — базисные переменные, аПеренесем свободные переменные вправо:11,235.42,— свободные.Получили выражение базисных переменных через свободные переменные.