1598004876-ea2cd03673c5d2c1073eb9d0dce244cb (Линейная алгебра и аналитическая геометрия), страница 6

Рассмотрим матричное уравнение A·X = B.Если m=n и матрица A обратима, то⋅ =A ⋅ B,A⋅⋅⋅ X=E ⋅ X=X, ⇒ X=A ⋅ ,т.е. получили выражение для решения системы матричного уравненияA·X = B. Ясно, что по этой формуле можно вычислить решение системы n линейныхалгебраических уравнений относительно n неизвестных (см. запись системы вматричной форме).Аналогично, если соответствующие матрицы обратимы, имеем:X·A = B, X = B·A-1,A·X·B = C, X = A-1·C· B-1,A·X+B = 0, A·X = - B, X = - A-1·B.1112Пример.1 2 30 5 60 0 21 2 3X= 0 5 60 0 211 2 31Решим матричное уравнение 0 5 6 ⋅ X= 2:0 0 2310⋅ A= 00⋅01 0 00 1 0.0 0 11⋅23110см.предыдущийпример 01 2 3Проверим: 0 5 6 ⋅0 0 201001⋅2310.12.3Формулы Крамера.

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравненийотносительно n неизвестных...+a1n =b ,11 +a12...+a2n =b ,21 +a22...............................................+ann =b .n1 +an2...............11...Обозначим: Δ=detA= ∣i1...n11j...ij...nj...............1n...in...∣— определитель матрицы системы, иnn...11 ...1n... ... ... ... ......∣ i1 ...in ∣ — определитель матрицы, полученной из матрицы... ... ... ... ......n1 ...nnсистемы заменой j-го столбца столбцом правых частей.Если определитель матрицы системы отличен от нуля, Δ=det0, то решениесистемы...+a1n =b ,11 +a12+a...+a2n =b ,2122...............................................+ann =b .n1 +an2,...,x0.определяется равенствами:,xДокажем это утверждение.

ПустьΔ=detОбозначим X= ...11...⋅ X=i1...n1...............1j...ij...nj..................и покажем, что...⋅1k=1n...⋅...⋅⋅2k⋅1k=...nnnkk=1kk=2kk=.⋅ X=B.Вычислим1kin,...,x⋅...1nkk=.⋅Вычислим определитель разложением по первому столбцу, определитель — повторому, …,— по n-му:......111n... ... ... ... ......∣ i1 ...⋅ pj , поскольку определитель отличается отin ∣ ∑p=... ... ... ... ......n1 ...nnтолько j-м столбцом.Тогда111k ⋅1k12k1⋅2k...nkk=1ik⋅⋅pk2k⋅pknk⋅pk...k=...1⋅pkp=1⋅⋅p=⋅1kk=pkp=⋅p=,k=⋅ Δ=b ,ikk=⋅ik1⋅⋅0pk0при.p=k=1⋅p=Т.е.⋅k=поскольку1p=⋅...nk⋅p=p=1⋅1pkp=k=11⋅k=k=k=⋅ik⋅pkk=⋅ X=BприX=....Формулы Крамера доказаны.Замечание.

Нетрудно, показать, что выражения X=A⋅ и X=...— две формызаписи одного и того же равенства.Действительно,j111...1⋅ B=⋅ 1idet...1n...............j1...ji...jn...............j=n1...ni......⋅...1...⋅jij=nn...1 ...⋅..........jnj=2xПример. Решим по формулам Крамера систему:3x6x5x2x1,2,3.1 2 311 2A= 0 5 6, B= 2, Δ=detA= ∣ 0 50 0 230 01 2 31 1∣2 5 6∣7,∣0 23 0 20 371410,x101 2 3Проверим: 0 5 6 ⋅0 0 21036 ∣ 10 0,231 2 114,∣0 5 2∣6∣20 0 3715 3,x.510 215,12.3Элементарные преобразования матрицПомимо операций с матрицами определены операции с элементами матриц, операции состолбцами и строками матрицы — так называемые элементарные преобразования матриц.Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы;2.

умножение любой строки (столбца) на произвольное, отличное от нуля, число;3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной(умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.4. к элементарным преобразованиям иногда относят и операцию транспонированияматрицы.Приведение матрицы к ступенчатому виду Гауссовым исключениемУтверждение. Любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарныхпреобразований привести к ступенчатой форме.Это утверждение на лекции доказано.12Пример. Приведем к ступенчатой форме матрицу 11321234213 11 105⇒12343 63 242 86 281 2342⋅⇒ ,∣0339∣1⋅⇒ ,0339∣1 ⋅⇒ , ⇒⇒0 0003⋅⇒ ,∣0 06 12∣2⋅⇒ ,0 12 12 36211268343 105.343 246 281⇒ ,1 230 110 1⋅ ⇒ ,∣⇒30 12⇔ ,∣0 010 0⋅⇒ ,∣6101 ⋅⇒ ,∣01⇒0⋅ ⇒ ,∣1200⇒10⇔ ,∣0⇒∣1 ⋅⇒ ,000∣⋅3111210433⇒3620210100310110210000311000430⇒320432.000Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарныхпреобразований называют Гауссовым исключением или методом Гаусса.Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекции 7-8Пространство арифметических векторов RnОпределение.

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.Обозначается ̅, ,..., , числа , ,..., называются компонентами арифметическоговектора.Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметическихвекторов и умножение вектора на число: ̅, ,..., ,, ,..., , ̅,,...,, ̅,,...,,для любых ̅ и и любого числаОпределение.

Множество арифметических векторов, для которых определены операциисложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.Вектор ̅ 0,0,..., 0называется нулевым вектором, а векторпротивоположным вектором для вектора ̅ .̅,—,...,Для любых ̅ , , ̅из Rn и любых чисел α , β справедливо:1.̅̅ , сложение коммутативно;2.̅̅̅̅, сложение ассоциативно;̅3.̅̅,̅,4.̅̅̅̅, умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;5.6.̅αβ ̅ , умножение на число ассоциативно;7.̅̅̅ , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложениячисел.8.1⋅ ̅̅.Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрическихвекторов на плоскости, записанных в координатной форме.Линейная зависимость и линейная независимость в RnОпределение. Линейной комбинацией векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ называется выражение̅ , где коэффициенты линейной комбинации , ,..., — некоторые числа.̅̅...Определение.

Говорят, что вектор ̅ пространства Rn линейно выражается через векторы̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов̅ , ̅ ,..., ̅ , т.е. представить в виде ̅̅̅...̅ .Определение. Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из Rn называется линейно независимой если из̅ следует равенство нулю всех коэффициентов̅̅...̅0,0,...,0,∑0.Иными словами, линейная комбинация векторов равна нулю тогда и только тогда, когда всекоэффициенты линейной комбинации равны нулю.Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейнонезависимой.Иными словами, существуют такие коэффициенты линейной комбинации̅.0, что̅̅...̅равные нулю ∑,,...,, не всеИли: линейная комбинация векторов может обратиться в нуль, хотя не все коэффициенты линейнойкомбинации равны нулю.Пример.

Исследуем на линейную зависимость векторы̅1,0,0 , ̅Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:̅̅⋅ 1,0,0, ,̅⋅ 0,1,00,0,0 ⇔⋅ 0,0,10,, 0,0, 1,00,0.0,0,0,1,0 ,0,0,1 из R3.Т.е. линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все ее коэффициентынулевые — векторы ,̅ ,̅ линейно независимы.Пример. Исследуем на линейную зависимость систему векторов ,̅ ̅ ,̅ ̅ и̅ з R3.Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:̅̅̅̅̅⋅ 1,0,0,⋅ 1,1,0⋅ 1,1,0̅ 0,0,0 ⇔,00, тогда̅̅̅, 0,00,̅ 0⋅ ̅,,0.1⋅ ̅,,0Пусть,1,1,̅̅1 ⋅ ̅например,̅ , т.е.

существует нулевая линейная комбинация с отличными от нуля̅̅коэффициентами — векторы ,̅ ̅ ,̅ ̅ —̅ линейно зависимы.̅̅̅Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем функций1.Любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима.2.Любая система векторов, содержащая пару взаимно противоположных векторов —линейно зависима.3.Любая система векторов, содержащая два равные вектора — линейно зависима.4.Любая подсистема линейно независимой системы векторов — линейно независима.5.Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система— линейно зависима.Докажем первое из этих утверждений: любая система векторов, содержащая нулевойвектор линейно зависима.

Рассмотрим произвольную систему векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ и̅ , т.е.добавим к ней нулевой вектор: ̅ , ̅ ,..., ̅ , ̅ . Тогда : 0 ⋅ ̅ 0 ⋅ ̅ ... 0 ⋅ ̅ 1 ⋅равна нулю линейная комбинация с одним ненулевым коэффициентом — векторылинейно зависимы, ч.т.д.Остальные утверждения доказываются аналогично. Докажите сами.Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системывекторов в RnСправедливо следующее утверждение.Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системывекторов).

Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из Rn линейно зависима тогда и только тогда,когда хотя бы один вектор системы векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ из Rn линейно выражается черезостальные векторы системы.Доказательство теоремы. Необходимость. Дано: векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависимы.Докажем, что хотя бы один из них линейно выражается через остальные .Векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависимы. Это означает, что существуют такие коэффициенты̅.линейной комбинации , ,..., , не все равные нулю, что̅̅...̅Не умаляя общности, предположим, что именно0. Тогда из̅̅...̅ следует: ̅̅...̅ — вектор ̅ линейно выражается через ̅ ,..., ̅ .Необходимость доказана.̅Достаточность. Дано: один из векторов системы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно выражается черезостальные.

Докажем, что векторы линейно зависимы.Действительно, не умаляя общности, положим, что вектор ̅ линейно выражается через̅ и векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно̅ ,..., ̅ : ̅̅..̅ . Если все0,2,3,..., , то ̅зависимы (см. св-во 1). Если же среди ,2,3,..., есть хоть одно отличное от нуля число,̅̅..̅— имеем нулевую линейную комбинацию, не все коэффициентыто ̅которой равны нулю — система векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависима. Достаточностьдоказана. Теорема доказана.Базис в Rn. Координаты вектора в заданном базисе. Линейные операции вкоординатной формеОпределение.

Система векторов из Rn образует базис в Rn если:система векторов упорядочена;1.2.система векторов линейно независима;любой вектор из Rn линейно выражается через векторы системы.3.Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈nОбразует базис в Rn если любой вектор ̅, ,...,̅ из R может быть представлен в виде̅̅̅...̅ .Определение. Выражение ̅̅̅...̅ называется разложением вектора вбазисе ̅ , ̅ ,..., ̅ , а числа , ,..., называются координатами вектора ̅ в базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ .Пример.

Нетрудно доказать, что система арифметических векторов̅1,0,0,..., 0,̅0,1,0,..., 0,0,0,1,..., 0,̅..........................,̅0,0,0,..., 1линейно независима (см. пример с ,̅ ,̅ ) и что для любого ̅ из Rn система векторов̅ , ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависима, поскольку любой вектор ̅ линейно выражается черезn̅ , ̅ ,..., ̅ : ̅, ,...,̅̅...̅ . Т.е. в R существует базис, состоящийиз n векторов. Базис ̅1,0,0,..., 0, ̅0,1,0,..., 0,..., ̅0,0,0,..., 1 называется естественнымnбазисом в R , и компоненты вектора ̅, ,..., — его координаты в естественном базисе.Справедливо следующее утверждение.nТеорема (о единственности разложения вектора в базисе). Для любого вектора ̅ из Rразложение ̅̅̅...̅ вектора в базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ единственно.Доказательство теоремы. «От противного».