1598004876-ea2cd03673c5d2c1073eb9d0dce244cb (Линейная алгебра и аналитическая геометрия), страница 2

Краткиий конспеккт. Лекции 1-2. 7Векторнное произзведение векторовООпределениие. Векторнным произвведением веекторов аи (обозначчаем его , )нназывается вектор, кооторый опрределяется следующимм образом::o ∣ , ∣ ∣ ∣⋅∣ ∣⋅ sin , —уголл между векторами аи ;(опрределили длину вектоора, );o векттор , орртогоналенвекттору аи векктору ;(опрределили положениепвекттора , в пространсстве);o вектторы а, и , обраазуютправвую тройкуу; (определлилинапрравление вектора , ).ППравая троййка: из конца вектораа , повоорот от векттора ак вектктору видиится противвччасовой стррелки. Праввую тройкуу хорошо «моделироввать тремя ппервыми пальцамипправой рукии.ВВажный прример.

,̅ ̅,̅,̅,,̅.̅ССвойства векторного произвведения. НетрудноНпоказать,пчтто для проиизвольныхввекторов а, и ̅, и дляя любого чиисла спрааведливо:1.,, ;2., ̅, ̅, ̅;3.,, ;4.,0.Доказательства своойств 1, 3 и 4 очевиднно следуютт из определления. Своойство 2докажемм чуть позжже.Из свойсств 1- 4 моожно вывессти весьма важныеви полезныепслледствия:1.,̅,, ̅;2.,, ;3.,0, тогдда и только тогда, когдда векторыы аи коллиинеарны (леежат напарааллельных прямых;пнуулевой векттор полагаюют коллинееарным лююбомувектоору);4. длинна векторноогопроиизведения (∣( , ∣ ∣ ∣⋅∣∣⋅ sins , — угол междунекооллинеарныыми вектор амиаи ) равна плоощадипарааллелограмма,посттроенного нан векторахх а икакк на сторонах;Линейная алгебра. Краткий конспект. Лекции 1-2. 85. если векторы аи заданы своими координатами в некоторой декартовой системекоординат:∣∣,,,∣⋅ ̅ ∣,,, то,∣⋅ ̅ ∣∣∣, ∣∣, ∣∣⋅ .Следствия 1- 4 очевидно следуют из определения векторного произведения и егосвойств.

Докажем свойство 5. Доказательство совершенно аналогичнодоказательству формулы вычисления скалярного произведения в координатах.Если векторы аи заданы своими координатами в некоторой декартовой системе, , ,, , , то̅̅,̅̅.координат:Вычислим , :,̅̅, ̅̅,̅ ̅,̅ ̅,̅,̅ ̅,̅ ̅,̅, ̅а поскольку (см. важный пример):,̅ ̅0, ,̅ ̅, ,̅,̅ ,̅ ̅,̅ ,0,то имеем:̅̅, ̅̅,̅̅̅̅∣∣⋅ ̅ ∣∣⋅ ̅ ∣, ̅∣⋅,, ,̅ ̅0, ,̅̅̅∣,,̅∣, ∣, ̅,̅∣, ∣, ̅∣.Для вычисления векторного произведения в координатах используютмнемоническую запись:̅̅,∣∣.Векторное произведение векторов можно использовать для вычисления площадейпараллелограммов и треугольников: углов между векторами: ∣ , ∣ ∣ ∣⋅∣ ∣⋅sin , — угол между неколлинеарными векторами аи если — угол междувекторами а и , ∣ , ∣— площадь параллелограмма, ∣ , ∣— площадьтреугольника.Равенство нулю векторного произведения векторов — признак коллинеарностивекторов: ,0, тогда и только тогда, когда векторы аи коллинеарны.Задача (Типовой расчет!).

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на— угол между векторами ̅ и ,векторах а 3 ̅ 2 и2 ̅, если∣ ̅ ∣ 4и ∣ ∣ 3.Решение. S — площадь параллелограмма.∣ , ∣ ∣ 3 ̅ 2 ,2 ̅∣.Воспользуемся линейностью векторного произведения (св-ва 2, 3, следствия 1, 2):∣ 3 ̅ 2 ,2 ̅∣ ∣ 3 ̅, 2 ̅2 ,2 ̅3 ̅,2 ,∣ ∣ 6 ̅, ̅4 , ̅3 ̅,2 , ∣а поскольку (св-ва 1 и 4) ̅ , ̅0, ,0, , ̅̅ , , то имеем3√2∣ 3 ̅ 2 ,2 ̅∣ ∣ 4 ̅,3 ̅ , ∣ 7 ∣ ̅ , ∣ 7 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ sin84 ⋅4242 ⋅ √2.Ответ.42 ⋅ √2.Смешанное произведение векторовЛинеейная алгеббра. Краткиий конспеккт.

Лекции 1-2. 9ООпределениие. Смешаннное произвведение веккторов а, и с(обозначачаем его , , с)оопределяетсся равенстввом , , с, , с, т.е.т равно скалярномусу произведеениюввекторов , и с.ССвойства смешанного произзведения. Понятно, что свойсттва смешаннногоппроизведения — это свойствассккалярного произведенпия двух веккторов, а посколькуппервый из сомножителслей, , , векторноее произведеение, то поолучим суперпозициююссвойств веккторного и скалярногоо произведеений.ННапример:, с, ̅, ̅ , ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, с, ̅, с, ̅ .РРассмотримм только неекоторые, ннаиболее иннтересные с нашей тоочки зренияя свойства.ППризнак компланаркрности веекторов. Векторы,Влеежащие в оодной плоскости(ппараллельнные одной плоскости)) называюттся компланнарными веекторами., , с 0тоогда и только тогда, коогда векторры а, и скоомпланарнны.ДДействителльно, если , , с, , с 0, тот векторы , и с— ортогоналльны.

Новвектор , ортогоналлен вектораам аи . Этто означает,, что у вектторов а, и сесть общщийпперпендикууляр, а это означает,очтчто векторыы а, и слежжат в однойй плоскостии(ппараллельнны одной плоскости)п— компланнарны. Наооборот: еслли векторы что векторрыа, и слежатат в одной плоскости,пто векторнное произвеедение , ортогонально этойпплоскости, т.е. ортогоннально всеем векторамм плоскостии, т.е. ортоггонально векторувс, т.е.тт же самоее, , , с 0.

Что и трребовалось доказать., , с 0, или, что тоы: ∣ , , с ∣С помощьюю смешанноого произвеедения можжно вычисллять объемы,V—ообъем паралллелепипедда, построеенного на векторахва, и скак наа ребрах. БолееБтого,еесли , , с, то веккторы а, и собразуютт правую трройку, еслии же , , стоввекторы а, и собразуют левую ттройку.ДДействителльно, , , с, , с ∣ , ∣⋅ пр , с⋅ , гдее S — площщадьооснования параллелепппипеда, h — высота параллелепиипеда, а знаак определяетсяннаправлениием вектораа с: «+» еслли вектор собразуетоосстрый уголл с плоскосстью векторрова, и««–», если эттот угол туппой;∣ с ∣ cos , — угол межжду векторрами , и с. См.ррисунок.Ясно, чтто смешаннноепроизвеедение позвволяетвычислиить объем тетраэдра,тпостроеенного на векторах а, искак на ребрах:р, ,с,,с∣,∣⋅ пр,с2⋅ ⋅6⋅⋅ .ЗдесьЗS — пплощадь осснованиятетраэдрат(пплощадь трреугольникка,онао равна пполовине ∣ , ∣), h —Линеейная алгеббра.

Краткиий конспеккт. Лекции 1-2. 10высота тетраэдрат(совпадает(свысотойй параллелеепипеда).См. рисуунок.Связь сммешанного произведеения с объеемом параллелепипедаа позволяет доказатьнетривииальное раввенство: , , с, ,с .Действиительно, леегко видетьь, что оба сммешанные произведенния равны объемуодного и того же параллелепипипеда (объему со знакком «–» еслли тройка левая).лНарисуййте соответтствующуюю картинку и увидите.Это послледнее равенство поззволяет докказать линейность веккторного прроизведениия.Посмотррите выше. Было обещщано доказзать, ̅, ̅, ̅;Действиительно., ̅, ̅, ,̅ ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅, ̅ , ̅,т.е., ̅, ̅, ̅, ̅ , ̅ , откудда, ̅, ̅, ̅ .

Чтоо и нужнобыло дооказать.Вычисллим смешшанное прроизведенние в кооррдинатах. Вспомнитте формулыыдля вычисления оппределителля 3-го поряядка, формулы вычислсления скаллярного их.векторного произвведения в кооординатахординатамии в некотороой декартоовой системмеЕсли веккторы а, и сзаданы ссвоими коокоординнат:∣, ∣, , ̅,, ̅,,∣∣∣,,,,с∣⋅ ̅ ∣∣⋅∣∣⋅с , с , с , то,∣⋅ ̅ ∣∣⋅ , а∣∣⋅∣∣, ∣∣∣Смешаннное произвведение веккторов можжно исполььзовать дляя вычислениия объемоввпараллеелепипедов: ∣ , , с ∣, V — оббъем параллелепипедаа, построеннного навекторахх а, и скаак на ребрахах .Если сммешанное произведенипие положиттельно — векторыва, и собразууют правуюютройку; иначе — левую.лРавенсттво нулю сммешанногоо произведеения векторров — приззнак компланарностиивекторовв: , , с 0тогда и тоолько тогдаа, когда веккторы а, и скомпланаарны.Задача (Типовой расчет!).рККомпланарнны ли вектооры7,8,9?1, 2,3,Решениие.

Вычисллим смешаннное произзведение веекторов: , , ̅4,5,6, с1 2∣4 57 84 65 64 5∣ 2 ⋅∣∣ 3 ⋅∣∣ 0.7 98 97 8Смешаннное произвведение веккторов равно нулю — векторы ккомпланарнны.36∣91 ⋅∣Линейная алгебра. Краткий конспект. Лекции 1-2. 11Ответ. Векторы компланарны.Задача (Типовой расчет!). Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точкахA1(1, -1, 2), A2(2, 1, 2), A3(1, 1, 4), A4(6, -3, 8) и его высоту h, опущенную извершины A4.Решение.

Вычислим смешанное.произведение векторов,,и:,,∣∣2 1 1 1 2 2∣1 1 1 1 4 2∣6 13 1 8 21 2 02 20 2∣0 2 2∣ ∣∣ 2 ⋅∣∣ 362 65 652 6∣,,∣⋅ 36 6. Теперь найдемТогда объем тетраэдравысоту тетраэдра h, опущенную из вершины A4 :∣,hS⋅ ∣,,,∣̅∣01,∣,∣̅222∣0√1644̅42 ̅√24∣2 ,2√6,⋅∣,∣√3√6.Ответ. Объем тетраэдра — 6; высота, опущенная из вершины A4, — 3√6.Задача (Типовой расчет!). Найти расстояние от точки M0(1, -1, 2) доплоскости, проходящей через точки M1(2, 1, 2), M2(1, 1, 4), M3(6, -3, 8) .Решение. Ясно, что искомое расстояние — это длины высоты тетраэдра свершинами в точках M0, M1, M2, M3, опущенной из вершины M0.Следовательно, решение задачи совершенно аналогично решениюпредыдущей задачи: вычислить объем тетраэдра (смешанное произведение),вычислить площадь основания (половина модуля векторного произведения),вычислить высоту тетраэдра.Линеейная алгеббра.

Краткиий конспеккт. Лекции 3-4.3 1Линнейная аллгебра и аналитиическая геометригияКраткийй конспект лекций.Лекции 3- 4. Плоскоость и пряямая в прЛространсттвеППлоскостьв прострранстве. УравненияУя плоскосттиВ даальнейшем полагаем, что в просттранстве оппределена некая пряммоугольнаяядекарартова систеема коордиинат — кажждая точка пространсства однознначноопрееделена свооими коорддинатами.Ураввнение видаа Ax By Cz0— линеейное алгеббраическоее уравнениееперввой степении или простто — линеййное уравннение.Ураввнение пллоскости,, проходящщей через заданнуую точку,перппендикуллярно задаанному веектору.

Пуусть заданаа точка, , ивектоор, , . Как оттличить точчки принаддлежащие плоскости,ппроходящеейчереез точку, , , перпендиикулярно вектору, , , отт точек, котторыеи не принаддлежат?этой плоскостиМожжно предложжить такойй способ:точкка, , принадлежжитплосскости тогдда и только тогда, когддавектоорорттогонален векторув, , , т.е. тогда и только тогда,,когдаа,0.,,получимплиинейное урравнение0. ЭЭто уравнение плоскости, прооходящей черезчточкуку, , нормаальным векктором, , .Замеечание.

Веектор, ортоггональный плоскостии, ортогоналлен любомму вектору,приннадлежащему плоскоссти. Такой вектор называю норммальным веекторомплосскости.Общщее уравннение плооскости. РРаскроем сккобки в ураавнении плооскости,прохходящей через точку, ,нормалььным векторром, , : AxBy CzAxxByCz0и ообозначимAxByCCz .Полуучим общее уравнениие плоскостти Ax Byy Cz0.Тогдда, поскольккуИз ппредыдущихх рассуждеений ясно,что ккоэффициеенты , , общегоураввнения плосскости Ax By Cz0определяяют нормалльный вектоори:, , .этой плоскостиЗадаача (Типоввой расчет!). Записатьь уравнениие плоскостти, проходяящей черезточкуку A(2, 5, -3) перпендиикулярно веектору BC, B(7, 8, -1),, C(9, 7, 4).Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт.