1598004876-ea2cd03673c5d2c1073eb9d0dce244cb (811178), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Пусть не так. Т.е. векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈образуют базис в Rn , помимо разложения ̅̅̅...̅ , существуетразложение ̅̅̅...̅ и не все коэффициенты Ci , Bi совпадают.Тогда ̅̅̅...̅̅̅...̅ , и, следовательно,̅̅̅....̅̅̅...̅ , откуда̅̅...̅Но векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ образуют базис, — они линейно независимы, и, следовательно,...0, т.е.,,...,— все коэффициентыразложений соответственно равны — разложения совпадают. Теорема доказана.Следствие.
Координаты вектора в заданном базисе определяются единственнымобразом.Теорема. В пространстве Rn существует базис из n векторов.Действительно, этот базис — естественный базис ̅1,0,0,..., 0, ̅0,1,0,..., 0,..., ̅0,0,0,..., 1Линейные операции в координатной формеПусть векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ образуют базис в Rn.
Тогда для любых двух векторов ̅ ииз Rn однозначно определены разложения ̅̅̅...̅ ,̅̅n...̅ . Тогда из свойств арифметических операций в R следует:̅̅...̅̅...̅̅...̅ идля любого числа : ̅̅...̅̅...̅ .Иными словами, координаты суммы векторов в заданном базисе равны суммесоответствующих координат слагаемых, а координаты произведения вектора на число —произведению соответствующих координат вектора на число.Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис вподпространствеОпределение. Множество L векторов из Rn , такое, что для любых ̅ и из L и любого числа αсправедливо ̅∈ , ̅ ∈ , называется линейным подпространством в Rn.Пример. Множество L арифметических векторов из Rn, у которыхнулевые, образует линейное подпространство в Rn:̅, ,...,,...,̅, 0,, ,...,,0 ∈ , ̅, 0, ̅ , ∈ ,,,...,последние компоненты —,0 ∈ .Нетрудно доказать, что для любого линейного подпространства справедливо:1.
если вектор ̅ принадлежит линейному подпространству L, то и вектор̅ принадлежитлинейному подпространству L;2. любое линейное подпространство содержит нулевой элемент.Действительно, пусть ̅ ∈ ,но тогда и̅1 ⋅ ̅ ∈ , и, следовательно, ̅̅̅∈ .nУтверждение. Пространство R само является линейным подпространством в Rn.Это утверждение очевидно, поскольку сумма любых двух векторов из Rn и произведение любоговектора из Rn на любое число принадлежат Rn.Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в Lсуществует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейнозависимы. Обозначаем dimL=k.Нетрудно доказать следующее утверждение.Теорема.
В k-мерном линейном подпространстве существует базис их k векторов.Доказательство теоремы. Действительно, если dimL=k, то существует система из k линейнонезависимых векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ , а любая система из k+1 вектора ̅ , ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ —линейно зависима, но тогда любой вектор ̅ ∈ линейно выражается через векторы :̅̅̅...̅ , т.е. ̅ , ̅ ,..., ̅ — базис в L.Справедливы также следующие утверждения (оставим их без доказательства).Теорема. Любая упорядоченная система из k линейно независимых векторов k-мерного линейногоподпространства является базисом в этом подпространстве.Теорема. Размерность линейного подпространства равна числу векторов в базисе этогоподпространства.Отсюда следует: dim(Rn) = n.Действительно, в пространстве Rn есть базис из n векторов — естественный базис в Rn.Пример.
Размерность линейного подпространства L арифметических векторов из Rn, у которыхпоследние компоненты — нулевые, равна n – 1.Действительно, векторы ̅1,0,0,..., 0,0, ̅0,1,0,..., 0,0,..., ̅0,0,0,..., 1,0— очевидно,принадлежат L и линейно независимы. Покажем, что они образуют базис в L. Для произвольного,...,, 0 ∈ имеет место разложение справедливо: ̅̅...̅ ,вектора ̅т.е.
векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ образуют базис в L. В этом базисе n-1 вектор, следовательно, dimL= n –1.Тогда можно использовать другое определение базиса.Определение. Любая упорядоченная линейно независимая система из k векторов k-мерноголинейного подпространства L образует базис этого линейного подпространства L.Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ из L линейно независимы, то̅̅для любого ̅ ∈ существует единственный набор чисел , ,..., таких, что ̅̅....Подпространство строк и подпространство столбцов прямоугольной матрицыРассмотрим прямоугольную матрицу Am, n, у которой m строк и n столбцов:11,21...1222...Её строки —...............
.mn,,...,in—являются векторами из Rn,... — являются векторами из Rm.А столбцы —mjПонятно, что множество строк матрицы Am, n , к которому добавили все строки, которыемогут быть получены при элементарных преобразованиях матрицы (исключаятранспонирование) — линейное подпространство в Rn.А аналогично образованное множество столбцов — линейное подпространство в Rm.Это означает, что мы можем говорить о линейной зависимости и о линейнойнезависимости строк и столбцов матрицы, о размерности подпространства строк иподпространства столбцов матрицы, о базисах в соответствующих подпростьранствах.Ранг матрицыОпределение.
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строкматрицы. Обозначаем RgA, rgA.Т.е., если ранг матрицы равен r, то среди строк матрицы есть r линейно независимыхстрок, а любые r +1 строки — линейно зависимы.Определение. Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются подобными.Утверждение. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.Доказательство утверждения.
Пусть Am, n — прямоугольная матрица и RgA = r. Неумаляя общности, положим — линейно независимы первые r строк: , ,..., . Выполнимэлементарные преобразования строк матрицы. Обозначим полученную матрицу A’, еестроки — ′ .Очевидно, что перестановка строк или умножение строки на число не можетповлиять на количество линейно независимых строк.Выполним такое преобразование: к одной из строк матрицы прибавим другую,умноженную на отличное от нуля число.Сначала выполним такое преобразование с первыми r линейно независимыми строками.Например, ′,0, ′,. Тогда ∑′......Т.к.
строки..., ,...,0,0..., то линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда0,0,...,0. Отсюда немедленно следует, что и0, т.е.первые r строк преобразованной матрицы ′ , ′ ,..., ′ — линейно независимы. Покажем,что любая система ′ , ′ ,..., ′ , ′ ,строк преобразованной матрицы линейно зависима,линейно выражается через строки ′ , ′ ,..., ′ :т.е. покажем, что строка ′ ,поскольку строки , ,..., , ,линейно зависимы, то∑,, а отсюда — ′ ∑′ ′ ,и0,...,′......′.........′...′′′ ,.Если же ′,,0иA′,, то первые r строк преобразованной матрицылинейно независимы, а любые r+1 линейно зависимы, т.к. любая строка преобразованнойматрицы линейно выражается через ее первые r линейно независимых строк:′ijkjijkjijkj′′ij ′Утверждение доказано.Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы.Доказательство теоремы. Рассмотрим ступенчатую матрицу11...23 ...33 ......
... ...0 ...rr0 ... 0... ... ...000...0...01200...00........................13220...00......rn0...т.е. 1min , , ij 0для всех, и ij 0для всех при. Важно понимать, то у.ступенчатой матрицы первые r диагональных элементов отличны от нуля: ii 0,Первые r строк этой матрицы линейно независимы. Действительно, приравняем к нулю0и вычислим ее в естественном базисе:линейную комбинацию этих строк: ∑, , , ,...,,11 , 12 ,...,,0, 22 ,..., , , , , , ,...,, …,0,0,..., 0,,,11 ,,,...,rn ,12 ,...,,,,,,...,0,0,0,..., 0,11 ,1222 ,...,,,22 ,...,,...,, ,,...,0,0,..., 0,0,0,..., 0.rn,,,,,,,,...,...,...,,...Равенство нулю линейной комбинации возможно тогда и только тогда, когда:0, поскольку 11 0,0, поскольку0и 22 0, …,0, поскольку0,0, …,0и rr 0.Итак, первые r ненулевые строки линейно независимы, а любые r+1 строки — линейнозависимы, т.к.
линейно зависима любая система векторов, содержащая нулевой вектор.Теорема доказана.Отсюда — алгоритм вычисления ранга матрицы.Приведем матрицу к ступенчатому виду (доказано, что это можно сделать гауссовымисключением), ранг исследуемой матрицы равен рангу ступенчатой матрицы (вышедоказано, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы) , ранг ступенчатойматрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы (по только чтодоказанной теореме).Пример. Вычислим ранг матрицы1211322112683413 10050⇒3403 24 06 28 0210000ступенчатой форме (см.
пример в конце предыдущей лекции).311000432, приведенной к000В ступенчатой форме матрицы 3 ненулевые строки, следовательно, RgA=3.Метрические соотношения в RnОпределение. Если каждой паре векторов ̅ , из пространства Rn поставлено всоответствие действительное число ̅ , , так, что для любых ̅ , , ̅из Rn и любогодействительного числа справедливы следующие равенства:1. ̅ ,, ̅;2.̅,̅, ;3. ̅, ̅̅, ̅, ̅;4.
̅ , ̅ 0,при ̅ 0, ,0, — нулевой вектор,то говорят, что в пространстве Rn определено скалярное произведение ̅ , .Пример. Легко проверить, что изученное в разделе «аналитическая геометрия»скалярное произведение известное из школьного курса скалярное произведение втрехмерном пространстве геометрических векторов (в R3) является скалярнымпроизведением в определенном выше смысле.Пример. Рассмотрим пространство арифметических векторов R2 ={X=(x1, x2)}.Определим скалярное произведение следующим образом:(X, Y) = 2x1y1 + 3x2y2.Легко убедиться, что для определенного таким образом скалярного произведениясправедливы аксиомы 1.
— 4.:(X, Y) = 2x1y1 + 3x2y2 = 2y1x1 + 3y2x2 = (Y, X),(X, Y) = 2(x1)y1 + 3(x2)y2 = (2y1x1 + 3y2x2) = (X, Y),(X+Y, Z) = 2(x1+y1)z1 + 3(x2+y2)z2 = (2x1z1 + 3x2z2) + (2y1z1 + 3y2z2) = (X, Z) + (Y, Z),(X, X) = 2x1x1 + 3x2x2 = 2x12 + 3x22 >0 если, если же X = (0, 0), то (X, X) = 0.Вернемся к пространству арифметических векторов Rn = { ̅, ,..., }nОпределим в R естественное скалярное произведение: каждой паре векторов ̅ и из∑этого пространства поставим в соответствие действительное число ̅ ,.Нетрудно доказать, что для любых векторов ̅ , и ̅и любого действительного числа для∑̅,справедливо:1.̅,2., ̅,̅,3.̅4.̅, ̅̅, ,, ̅̅, ̅0при ̅, ̅,̅, и ̅, ̅̅,0тогда и только тогда, когда ̅̅ — нулевой вектор.Пространство арифметических векторов Rn с определенным в нем естественнымскалярным произведением называют евклидовым пространством арифметическихвекторов и иногда обозначают En.Свойства скалярного произведения.
Неравенство Коши-БуняковскогоТеорема (неравенство Коши-Буняковского). Для любых векторов ̅ , из пространства Rn̅, ̅ ⋅ , .справедливо следующее неравенство ̅ ,Доказательство теоремы. Возьмем произвольное число и рассмотрим ̅, ̅.По последнему свойству скалярного произведения для любых векторов ̅ , и любого числасправедливо: ̅, ̅0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
