1598004876-ea2cd03673c5d2c1073eb9d0dce244cb (Линейная алгебра и аналитическая геометрия), страница 3

Лекции 3-4.3 2Решение. BC 9 1,7 8,418, 1,33— нормалльный векттор плоскосстипрохходящей через точку A(2,A 5, -3). УУравнение плоскостии: 8 ⋅21 ⋅53⋅30.Расккрыв скобкии и приведяя подобныее, получимм искомое уравнение8x3z 2 0.Провверим. Точкка A(2, 5, -33) принадллежит плоскости: 8x3z 2 8 ⋅ 2 53⋅ 32 16 5 9 2 0. ННормальныый вектор плоскостип8, 11,3совпадает с векторром BC 88, 1,3. Заддача решенаа верно.Отвеет. 8x3z 2 0.Непполные урравнения плоскостии. Уравненние Ax ByBCz 00определяеетплосскость, прохходящую черезчначалло координаат. Действиительно, поодставив вураввнение плосскости кооррдинаты наачала коорддинат, О(0, 0, 0), полуучим тождеество.Ураввнение By Cz0определляет плоскоость, параллельную осси 0x.Дейсствительноо, нормальнный вектор этой плосккости0,0 , ортоггонален орртуоси 00x — вектоору ̅ 1,0,,0: ,̅1⋅0 0⋅0⋅0.0Ураввнение Ax Cz0— уравннение плосскости, парраллельнойй оси 0y, аAx By0— уравннение плосккости, парааллельной оси 0z.Ураввнение Ax0— уравнениее плоскостии, параллелльной плосккости y0z,посккольку ее ноормальныйй вектор, 0,0колллинеарен векторув̅ 1,0,0;Ураввнение By0— уравнениее плоскостии, параллелльной плосккости x0z, аураввнение Cz0— уравнениеуплоскостии, параллелььной плосккости x0y.Наррисуйте!Ураввнение пллоскости в отрезкаах.

Рассмоттрим плосккость, которрая непрохходит черезз начало координат. Еее уравнениие AxПреообразуем урравнение: AxABy Cz,1и обознаачимПолуучим уравннение,,By0,Cz0.01,.1—— уравнениее плоскостии «в отрезкках».имПлосскость, заданную такиураввнением леггко рисоватть. Нарисуунке изобраажен случай, когда0,0,0.

Дейсттвительно,легкоо убедитьсяя, что точкки скооррдинатами (a,( 0,0), (0,bb,0), (0,0,c))— этто точки пеересечения плоскостии скооррдинатнымии осями.Упраажнение. ИзобразитеИе сами плосскости, заданные ураввнением «вв отрезках»» дляразных сочетанний знаков коэффициеентов a, b и c.Упраажнение. РассмотритРте самостояятельно видд уравнениия плоскостти в отрезккахдля ннеполных уравненийуBy Cz0, Axx Cz0, Ax By0,Ax0, Byy0ии Cz0.Задаача. Изобраазить плосккость,заданнную уравннением1.Линеейная алгеббра.

Краткиий конспеккт. Лекции 3-4.3 3Ураввнение пллоскости,, проходящщей через три задаанные точчки. Извесстно,что ттри точки, не лежащиие на однойй прямой, однозначнооопределяюют плоскостть.Как оотличить точкитпринаадлежащиееплосскости, прооходящей через точкии, , ,, , ,, , , ото точек, кооторые этоййплосскости не принадлежапат? Понятноо,что тточка, , принаадлежитплосскости тогдда и только тогда, когддакомппланарны векторывMMM ,и, т.е.

когда MM ,,0.,,,,,,, записав смеешанное прроизведениие в коордиинатной форрме,MПосккольку MM,,имееем:∣∣0— ууравнение плоскости, проходящщей через трризаданнные точкии.Преообразуем урравнение. ПосколькуП∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,полуучим∣0— линейноелууравнение первойпстеппени.Замеетим, что ессли заданные точки ллежат на оддной прямой, то вектоорыиколлинеаарны, т.е. вссе коэффицциенты ураавнения нуллевые ∣0, ∣тожддество 0 = 0.0∣0, ∣∣0и вмеесто уравнеения получчим∣Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт.

Лекции 3-4.3 4Норрмальное уравнениие плоско сти. В ураавнении Axx ByCzz0коээффициентыы определяяют нормалльный векттор плоскоссти:, , . Длиннанорммального веектора ∣ ∣ √0.0 Найдем орт нормалльного векттора, ,плосскости: ̅,,.∣ ∣√√√√Легкко видеть, чточ координнаты ортавектоора (орт — вектор едииничнойдлинны) равны косинусамкуглов,обраазованных этимэортоммсполоожительнымми направллениямикооррдинатных осей:о̅,,̅̅пр ̅ ̅ ⋅ ̅пр ̅ ̅ ⋅ ̅пр ̅ ⋅∣ ̅ ∣ cos ⋅ ̅ ∣ ̅ ∣ cos ⋅ ̅ ∣ ̅ ∣ cos ⋅cos ⋅ ̅ cos ⋅ ̅ cos ⋅cos ,coss ,cos .оложительнными напрравлениямииЗдессь , , — углы, обраазованные оортом ̅ с покооррдинатных осей.оКосиинусы этих углов назыываются направляющиими косинуусамивекттора.Т.е. ккоординатыы орта норммали к плосскости — направляющнщие косинуусы нормалли:̅,,cos ,coos ,cos .√√√Здессь , , — углы, обраазованные ннормалью к плоскостис положиттельныминапрравлениямии координаттных осей.Разделив обе чаасти уравнения Ax By Cz0на √, получчим0иили, см.

вышше,√√√√coscoscos0— ноормальное уравнениее плоскостии,.√В ноормальном уравнениии плоскостии коэффицииенты при неизвестныных —напрравляющие косинусы нормали, а свободныый член p — измеряетт расстояниие отплосскости до началанкооррдинат. Деййствительноо, если точка, , лежит нанплосскости, то coscosccos0; тогдаcoscoscos и ∣ ∣ ∣ coscoscos ∣.Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 3-4.3 5С дрругой сторооны, расстоояние от наччала коорддинат до плоскости раавно, как леегковидееть (см.

рисс.)∣пр OM ∣∣ ∣̅ , OM∣coscos ∣.cosУголл между плоскостяпями. Угол между плооскостями равенруглу междунорммалями к пллоскостям. Рассмотриим две плоскости, задданные урававнениями0и00. КосинусКуглла между эттими,, , ,, , , cosплосскостями леегко вычислить:∣∣⋅∣∣.Здессь — угол между плооскостями.Задаача (Типоввой расчет!). Найти уугол междуу плоскостяямиx + 22y – 2z – 7 =0= и x + y – 35 = 0.1,2, 2,Решение.1,1,0, ccos,∣∣⋅∣√∣⋅√,.Рассстояние междумточчкой и плооскостьюю.Из пприведенного рисункаа видно, чтоо расстояниие от точкии до плоскоости равноразности длиннны проекциии радиусаа вектора тоочки на ортт нормали к плоскостииирассттояния от началанкооррдинат до пплоскости.пр OOMcos ,тогдаа,OM∣ ∣̅ , OMcoscoscosc ,coscosЛинейная алгебра. Краткий конспект.

Лекции 3-4. 6∣ coscoscoscoscoscos ∣ ∣ coscoscos∣Итак, расстояние d от точки, , до плоскости coscoscos0вычисляется по формуле∣ coscoscos∣.Задача. Найти расстояние от точки 1,2,3до плоскости x + y – 35 = 0.Решение. Запишем нормальное уравнение плоскости x + y – 35 = 0:351,1,0, ∣ ∣ √2, нормальное уравнение плоскости0. Тогда1,2,3до плоскостирасстояние от точки∣√⋅1√⋅235√∣38√√35√√√.Ответ. Расстояние от точки до плоскости равно38√.√0—√Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 3-4.3 7Ураавнения ппрямой в пространспствеОбщщие уравннения пряямой.

Пряммая в просттранстве оппределяетсся как линиияпереесечения дввух плоскосстей. Рассммотрим двее плоскостии, заданныее уравненияями0и00. ЭтиЭ плоскосстипереесекаются, если их нормальные ввекторы нее параллелььны:, , ,, , ,. Тогда кооординаты точек, принадлежащиих обеимплосскостям — координатыы точек пряямой — уддовлетворяюют системее уравненийй0,00— общиее уравненияя прямой.Задаача.

Записаать общие уравненияуооси 0x.Решение. Ось 0x0 — линиия пересечеения плоскоостей x0y и x0z. Уравннениеплосскости x0y — z = 0, урравнение пллоскости x0zx — y = 0. Тогда общщие уравнеения00,00.оси 00x —Ураввнения пррямой, прроходящейй через зааданную точкутпарраллельноозадаанному веектору. Пуусть заданаа точка, , и вектор, , .Извеестно, что существуетст единственнная прямаая, проходящщая через тточкупаараллельноо вектору . Вектор называетсяя направляюющим векттором пряммой.Как оотличить точкитпринаадлежащиеепряммой, от точеек, которыее этойпряммой не приннадлежат? Очевидно,,что тточка, , принаадлежитпряммой тогда и только тоггда, когдавектооры MM и коллинеарны, т.е.когдаа координааты этих векторовпроппорциональьны;,,, , ,— каноонические ууравнения прямой, прроходящей череззаданнную точкуу с заданныым направлляющим вектором.MM,Линейная алгебра.

Краткий конспект. Лекции 3-4. 8Задача. Записать уравнения прямой, проходящей через точку1,2,3 параллельно оси 0x.Решение. Направляющий вектор прямой — это вектор ̅ 1,0,0. Тогда искомыеуравнения прямой —. Деление на нуль следует понимать так:2 0,3 0.На нуль можно делить только числа, равные нулю, т.е.Таким образом получены не только канонические, но и общие уравнения прямой,проходящей через точку1,2,3 параллельно оси 0x.Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть заданыдве точки, , и, , .

Известно, что существует единственнаяпрямая, проходящая через эти две точки.Как отличить точки принадлежащие прямой, от точек, которые этой прямойне принадлежат? Очевидно, что как м в предыдущей задаче, точка, , принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы MM иколлинеарны (в этом случае вектор— направляющий векторпрямой) , т.е. когда координаты этих векторов пропорциональны;MM,,,,,,— канонические уравнения прямой, проходящей черездве заданные точки.Параметрические уравнения прямой. Вернемся к каноническимуравнениям прямой:. Обозначим.Переменная t принимает все значения из ∞, ∞.Тогда координаты точки, , , принадлежащей прямой, удовлетворяютсистеме уравненийlt,mt,nt— параметрические уравнения прямой, проходящей череззаданную точку с заданным направляющим вектором.