1598004876-ea2cd03673c5d2c1073eb9d0dce244cb (Линейная алгебра и аналитическая геометрия), страница 4

Здесь ∈ ∞, ∞Заметим, что при t =0 получим координаты точки, , .Связь различных видов уравнений прямой.Общие уравнения прямой — система двух линейных уравнений первойстепени относительно трех неизвестных.Как записать общие уравнения прямой, если известны ее каноническиеуравнения?Цепочка равенствэквивалентна системеЛинейная алгебра. Краткий конспект. Лекции 3-4. 9,,а это — система двух линейных уравнений первой степени относительнотрех неизвестных, т.е. общие уравнения прямой.Как записать общие уравнения прямой, если известны ее параметрическиеуравнения?а это — система двух линейных уравнений первой степени относительнотрех неизвестных, т.е. общие уравнения прямой.lt,,mt,ntСистемаэквивалентна системеа это — системадвух линейных уравнений первой степени относительно трех неизвестных,т.е.

общие уравнения прямой.Как записать канонические уравнения прямой, если известны ее общиеуравнения?Для того чтобы записать канонические уравнения прямой, нужно найтинаправляющий вектор прямой и точку на прямой.0,0Если прямая задана общими уравнениями, то еенаправляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей:, , и, , , т.е. направляющий вектор прямойможно вычислить как векторное произведение нормальных векторов:,. Координаты точки на прямой можно найти как,0,0одно из множества решений системы.Когда точка и направляющий вектор найдены, можно записать каноническиеуравнения прямой.Задача (Типовой расчет!).

Записать канонические уравнения прямой2x 3y 2z 6 0,3y3 0.Линейная алгебра. Краткий конспект. Лекции 3-4. 10Направляющий вектор прямой ортогонален нормальным векторам обеихплоскостей:2, 3, 2и1, 3,1, т.е. направляющийвектор прямой можно вычислить как векторное произведение нормальных̅̅,∣29 ̅ 4 ̅ 3 . Координаты точкивекторов:32∣13 1на прямой можно найти как одно из множества решений системы2x 3y 2z 6 0,3y3 0.2xПоложим3y 63y 30,0,0. Тогда3,0, т.е.

точка (-3,0,0)лежит на искомой прямой. Теперь можно записать канонические уравненияпрямой, проходящей через точку (-3,0,0) с направляющим вектором9̅ 4 ̅ 3 :или, что то же самое,.Ответ. Канонические уравнения прямой.Взаимное расположение прямой и плоскостиПараллельность прямой и плоскости. Прямаяпараллельна плоскости Axнаправляющий вектор прямойплоскости, , :Al Bm Cn 0.ПрямаяBy,Cz0тогда и только тогда, когда, ортогонален нормальному вектору0,0параллельна плоскости Ax0тогда и только тогда когда нормальные векторы, , компланарны:∣∣,,By,0.Пересечение прямой и плоскости. Если прямая и плоскость непараллельны, то они пересекаются.

Точка пересечения прямойи плоскости AxByCz0— решение системыCz,,иЛинейная алгебра. Краткий конспект. Лекции 3-4. 11AxBy0,Czlt,mt,nt.0,0и плоскости AxТочка пересечения прямойByCz0— решение системыAxByCz0,0,0.Задача (Типовой расчет!). Найти точку пересечения прямойи плоскости 2x7z 3 0.Решение. Запишем уравнения прямой в параметрической форме3t 7,3,2t 1,и найдем точку пересечения прямой и плоскости как решение3t7,3,2t 1,7z 3 0.Имеем:системы 2x3t6t147,3,2t 1,3 1473t30,7,3,2t 1,1,10,4,3.Проверим:101. Верно.2x7z 3 20 4 21 3 0,Ответ.

Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (10, 4, -3).Задача (Типовой расчет!). Найти точку, симметричную точке2,0,3 относительно плоскости 2x 2y 101 0.Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 3-4.3 12Решение.Точкка, симметрричная данннойотноосительно плоскости,плежит наперппендикулярре к плоскости иудаллена от плосскости на такоетжерассттояние, чтоо и заданнаая точка.Запиишем парамметрическиие уравнениия прямой, проходящей через тоочку Mперппендикуляррно плоскоссти 2x 2yy 101 0. Напрравляющийй векторпряммой — норммальный веектор плосккости2, 2,10.2t 2,2t,2103.Парааметрическкие уравненния прямойй:Найддем точку M0 пересеччения этой ппрямой и плоскости:п2t 2,2t 2,2tt,2t,103,103,2x 2y 101 0,4t 4 4t 10030 1 0,Точкка, , — середдина отрезкка, гдее,,2t2,2t,103,,,— искоммаясиммметричная точка. Тогдда,,и3,2.1,Отвеет. Симметтричная точчка —3,1, 2.Задаача (Типоввой расчет!).

Найти тоочку, симмметричную точке,,6t3,1, 2отнносительно прямойРешение.Точкка, симметрричная даннной точкеотноосительно прямой,плежжит наплосскости, перпендикуляррнойпряммой и удалеена от пряммой на.такое же расстоояние, что изаданнная точка.,,.Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 3-4.3 13Запиишем уравннение плосккости, прохходящей чеерез точку M перпенддикулярно,6t,пряммой.1,6,1.1 0.Норммальный веектор плосккости — нааправляющщий вектор прямойУраввнение плоскости:36120,6yНайддем точку M0 пересеччения этой ппрямой и плоскости:п,,,6t66yТочкка6tt,,1,6tt,,0,363симмметричная точка. Тогдда0,3.Отвеет. Симметтричная точчка —,,.0,0,, гдее,,,1, , — середдина отрезкка,,и— искоммая2,2,0,3.Взаиммное распположениие прямыххПарраллельноость прямых. Прямааяпараллельнпна прямойтогда и только тоггда, когда ихи направляяющие вектторыколллинеарны:.Рассстояние ото точки дод прямойй.Из рисунка виддно, что рассстояние d отточкки, , до прямойравнно высотепарааллелограмма, построоенного наорахвекто,, ,, , и,каак на стороннах;— точкатна пррямой.Линеейная алгеббра.

Краткиий конспеккт. Лекции 3-4.3 14∣Тогдда, ∣∣ ∣.Рассстояние междумдвуумя непарраллельныыми пряммыми. Рассстояние dмеждду двумя непараллелььными пряммыми,, равно проекциипвеектораи,,наобщиий перпенддикуляр пряямых.Общщий перпенддикуляр пррямыхколллинеарен веекторному произведенниюих нааправляющщих вектороов:,.Апосккольку,,∣,∣⋅∣ пр ,пр ,,∣ии,,, , , то∣,,∣,,,∣∣. Здесь,,,— точкитна пррямых,, , и, , —напрравляющие векторы прямых.пЗадаача. Найти расстояниее междуребррами AC и SBS тетраэдрра ABCS:A(1,00,0), B(1,3,00), C(2,7,0)), S(1,1,1).Решение.

Напрравляющийй вектор пррямой, прооходящей чеерез вершиины A и C —AC 1,7,,0. Направлляющий веектор пряммой, проходдящей черезз вершиныыSиB—SB 0,2, 1. ТогдаТрасстотояние d меежду ребрамми AC и SBB вычисляеется0 1 1̅̅∣AS, , ∣формуле; AS, ,∣ 1 7 0 ∣ 3,,∣1 7 0 ∣по ф∣, ∣0 210 21√7,11,2, ∣,∣ 3√6,.√Линейная алгебра. Краткий конспект. Лекции 3-4.

151Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 5. ОпределителиОсновные понятия, определения, обозначенияМатрицы. Определение. Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в mстроках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или простоматрицей.Числа m и n называются порядками или размерностями матрицы.Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка m.Примеры:01 2— квадратная матрица порядка 2, 0.3— прямоугольная матрица,3 42 √310.75 1 9— матрица-строка.0 —матрица-столбец,3Для обозначения матрицы используют круглые скобки (), квадратные скобки [ ] или двевертикальные черты ∥∥∥∥. Чаще используют круглые скобки.Будем обозначать матрицы заглавными буквами, элементы матриц — той же строчной буквойс двумя нижними индексами (первый индекс — номер строки, второй — номер столбца),столбцы матрицы — той же заглавной буквой с верхним индексом (номер столбца), а строки— заглавной буквой с нижним индексом (номер строки).

В сокращенной записи будемзаключать элементы матрицы в фигурные скобки, указывая внизу порядки матрицы.Таким образом, обозначаем:A — матрица, ij — элемент матрицы A, расположенный в i-й строке, j-м столбце,— j-й столбец матрицы A, — i-я строка матрицы A —...1112...2122ij...... ... ...,...mn...ij,j-й столбец матрицы A,mj11211112...,...Пример.— 1-й столбец матрицы A,,...114in02,7ij,¯ ,1,Транспонирование матрицы— i-я строка матрицы A,— 1-я строка матрицы A.02,74 7.Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования.Определение.

Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица,получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называетсятранспонированной по отношению к матрицеA и обозначается AT:211............122122......112112... ,22...mn.................. .mnОПРЕДЕЛИТЕЛИДля каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы,детерминантом матрицы или просто определителем (детерминантом).Определение.

Определителем квадратной матрицы первого порядка называется число,равное единственному элементу этой матрицы: A={a}, detA=|A|=a.Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, n>1:11............122122......... .nnОпределение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядкаn), n>1, называется число, равное11det21∣ ...1222.................. ∣1⋅,nnгде— определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиваниемпервой строки и j-го столбца.Для определителей 2-го и 3-го порядка легко получить простые выражения через элементыматрицы.Определитель 2-го порядка:∣11122122∣1⋅11⋅111⋅12⋅1211⋅2212⋅21 .Определитель 3-го порядка:∣111213212223313233∣111⋅∣⋅2223323311∣⋅11112⋅∣⋅21233133∣12⋅13112⋅∣21223132⋅13⋅13∣.Введем полезные в дальнейшем определения — минор элемента матрицы, алгебраическоедополнение элемента матрицы.В этих новых терминах определение определителя n-го (n > 1) порядка звучит иначе.Определение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядкаn), n>1, называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на ихалгебраические дополнения:......2122det∣ ...⋅1⋅....

... ... ∣...nnСправедливо следующее утверждение, которое мы не будем доказывать.1112Теорема о вычислении определителя разложением по любой строке (столбцу).Определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов любой строки(столбца) на их алгебраические дополнения.Пример. Вычислим определитель разложением по второй строке:31 2 3∣4 5 6∣7 8 91⋅4⋅4 ⋅∣4 ⋅6211⋅5⋅1222 31 31 2∣ 5 ⋅∣∣ 6 ⋅∣∣8 97 97 85 ⋅ 126⋅ 624 60⋅6⋅230.36Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональныхэлементов.

(Доказать самостоятельно).Свойства определителейДля определителей справедливы следующие утверждения — свойства определителей.1.2.3.4.Определитель не изменяется при транспонировании: det AT = det A.При перестановке любых двух строк, определитель меняет знак.Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю.Если все элементы строки определителя умножить на отличное от нуля число, то11...определитель умножается на это число: ∣5.6....12....................................11...in...∣∣12............nn...............Если в определителе есть две пропорциональные строки, то он равен нулю.Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю...................in...∣.nnЕсли квадратные матрицы A, B и С отличаются только i-й строкой и при этом iя строка а матрицы С равна сумме соответственных элементов i-х строк матриц A и B,то detC=detA + detB:7.11...∣..................11...in...nn...in∣ ∣..................11...in......∣∣...nn..................in...∣.nn8.Определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить элементылюбой другой строки, умноженные на одно и то же число.9.Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения другой0,.строки равна нулю:∑ij ⋅ kjПоскольку определитель не меняется при транспонировании — утверждения 2—9справедливы и для столбцов.Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителя.1321444 572134Пример.