1598004876-ea2cd03673c5d2c1073eb9d0dce244cb (Линейная алгебра и аналитическая геометрия)

Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 1-2. 1Линнейная аллгебра и аналитиическая геометригияКрааткий консппект лекций.Лекциии 1- 2. Веккторная аллгебраГеоометричесские вектооры. Линнейные опперации с вектораммиСначчала вспомнним известтные из шккольной проограммы оппределенияя и свойстввагеомметрическихх векторов.Опрееделение. ГеометричеГским вектоором назыввается напрравленный отрезок.Обоззначаем: AB, А — наччало, B — кконецвектоора.Геомметрическиие векторы такжеобоззначают однной буквойй: , , ̅ и т. п.Опрееделение.

ДлинаДвектоора AB— ррасстояние между точчками A и BB.Обоззначаем: ∣ AB ∣, ∣ ∣, ∣ ̅ ∣ и т.п.Опрееделение. ДваД вектораа называюттсяравнными, если они коллиннеарны (лежжат напарааллельных прямых),подинаковоонапрравлены и ихи длины равны.Обоззначаем:.Опрееделение. ДваД вектораа называюттсяпроттивоположнными, еслии ониколлиинеарны, равны по дллине ипроттивоположнно направлены.Обоззначаем:.Опрееделение. НулевымНнаазывается ввектор, имееющий нулевую длинуну. Направллениенулеевого векторра не опредделено. Оббозначаем: 0.Свеккторов и называетсся вектор ̅, определеннный на риисункеОпрееделение. Суммой(праввило паралллелограммма или праввило треугоольника). ОбозначаемОм: ̅.Опрееделение.

ПроизведенПнием векторра на числло называается вектоор длины ∣ ∣⋅∣ ∣,0совпадаетт с направлколллинеарный вектору , направленние которогго прилениемвектоора , а0 — проотивоположжно направвлению векктора .Опрееделение. ОртомОвекттора назыывается векттор единиччной длиныы, направлеение котороогосовппадает с напправлениемм вектора .Обоззначаем: ̅ , ̅AB и т.п. Понятноо, что ̅⋅ .∣ ∣∣ ∣Линеейная алгеббра.

Краткиий конспеккт. Лекции 1-2. 2Опрееделение. ОперацииОсложения веекторов и умножениеуе вектора наа число наззываютсялинейными оперерациями с векторамии.Извеестно (нетррудно доказзать), что ддля линейныых операциий с векторрами справеедливо:11.;22.̅̅;33.0;44.0;55. 1 ⋅;66.;77.α ;αβ88..РРавенства 1-81 справеддливы для ппроизвольнных вектороов , , си ддля любых чисел , .Декарттовы кооррдинаты.

Координаты вектоора. Линеейные опеерации свектораами в кооординатноой формеВВспомним, как опредееляютсяддекартовы координатыкы точки вппространствве: MM′0 , ′00X, ′0Y, MM0Z,, 0,0,0, , 0, 0,0, —, , .ЕЕдиничныее векторы кооординатныыхоосей обознаачаем ,̅ ,̅ или ,̅ ,̅ :ККоординатыы вектора ABA :, ,,, ,, AB,,.ООбозначаемм:, , ,, , и т.п.тННапомним, что коордиинаты вектоора — это ортогональьные проеккции векторра наккоординатнные оси: еслли, , , топр ̅ ,пр ̅ ,пр ипр ̅ ⋅̅ пр ̅ ⋅ ̅ пр ⋅̅̅⋅ .ЛЛегко видетть (по своййствам оперраций сложжения вектооров и умноожения векктора наччисло), что если, , ,, , , то,,и,,.ДДействителльно:Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт.

Лекции 1-2. 3,̅,̅̅̅̅,ааналогичноо и,,̅̅̅,ДДлина вектора: если̅и̅;̅ППример. Заапись ̅,,̅̅,, то ∣̅,, т.е .∣,..2,3,7равнносильна зааписи ̅237√62.ППример. Пуусть 0,3, 1, 2, 55,3 .ТТогда AB 2 0, 5 3,31∣ AB ∣284√844.,т.е.,2, 8,42̅2̅3 ̅8 ̅7 ; ∣ ̅∣4 ,ООпределениие. Вектор OAO называеетсяррадиусом-веектором точкитA:, , , OA, ,Пространствво R3 ариифметичесских вектторовООпределениие. Трехмеррным арифмметическиим векторомм называеттся упорядоченнаясовоокупность 3 чисел.

Оббозначаетсся ̅, , . Числаа , , нназываютсяякомппонентами арифметичческого векктора.Для ариффметическихх векторов оопределены линейные операциио— сложениеариффметическихх векторов и умножениее вектора наа число: для любых ̅ и и любого числач—̅,,,,,, ̅,,,Вектоор 0 0,0,0называетсяннулевым векктором, а веекторвектоором для векктора ̅ .̅,̅,,,— противооположным,Определеение. Множеество трехммерных ариффметическихх векторов, ддля которыхх определенныопераации сложенния и умножжения на чиссло называеется простраанством ариифметическиих векторовR3.Очеввидно, что длля любых ̅ , , ̅из Rn и любых чисел α, β справедливо:1.̅̅ , сложенние коммутаативно;2.̅̅̅̅,сложениие ассоциатиивно;3.̅ 0̅;4.̅̅0;5.1⋅ ̅̅;6.̅, умножениеунна число диистрибутивно относителльно сложенния векторовв;̅7.αβ ̅ , умножжение на чиисло ассоциаативно;̅8.̅̅̅ , умножениеуввектора на числочдистррибутивно оттносительноо сложениячиселл.Мы ввидим, что операцииослложения и уммножения гееометрическких и трехммерных ариффметическиххвектооров имеют одинаковыее свойства.

ТТогда можноо проделать такое сопосставление:Выбеерем в трехммерном геомметрическомм пространсстве декартову систему координат. ТогдаТдлякажддого геометррического веектора ̅ одноозначно опрределены координаты , , : ̅, , , чттоозначачает ̅,̅,, причем, ккак показанно выше, ̅̅,̅,,.,,,,,, ̅Линеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 1-2. 4Это оозначает, чточ любой геометричегеский вектоор можно рассматриварать как треехмерныйариффметическиий вектор, а пространнство геомметрическихх векторовв можно иззучать какпросстранство трехмерныых арифметтических векторов.вДелениеДоотрезка в заданномзотношеннииООпределениие.

Рассмоттрим отрезоок AB.ГГоворят, чтоо точка M , принадлежжащаяоотрезку ABB делит егоо в отношеннии ,еесли ∣ AM ∣: ∣ MB ∣.AAM,ппроекций ессли,, то∣MB∣ааналогичноо,, MBB∣AM∣,. По изввестному сввойству∣MA∣, т.е.∣MB∣,и;.ТТочка,,делитт отрезок AB,A, , ,, , в отношениии .В частностии, точка,,делит отрезок ABB,, , ,, , пополамп(1).ЗЗадача.

Наййти длину медианыттреугольникка ABC, проведеннуюю изввершины A,, если A(1, 0, 2), B(0,11,1),СС(3, 0,-2).,РРешение. ТочкаТM — середина BBC,ТТогда AMООтвет. AM∣ AM√∣1,0,,,2 ∣∣ ∣ , ,,, ,∣.√27√..Скалярнное произзведение вектороввООпределениие. Скалярннымппроизведением двух вектороввнназывается число, раввноеппроизведению длин эттих вектороов наккосинус углла между ниими.ООбозначаемм: , , ,∣ ∣⋅∣ ∣ ⋅ccos .ППоскольку ∣ ∣⋅ cosпр и∣ ∣⋅ cosпр , то ,∣ ∣⋅ ∣ccos∣ ∣⋅⋅ пр∣ ∣⋅ пр∣⋅ССвойства скалярноого произвведения. НетрудноНпоказать,пчтто для проиизвольныхввекторов а, и ̅, и дляя любого чиисла спрааведливо:1.

,, ;2., ̅, ̅, ̅;Линейная алгебра. Краткий конспект. Лекции 1-2. 53.,, ;4. ,0, причем ,0тогда и только тогда, когда0.Доказательства свойств 1, 3 и 4 очевидно следуют из определения. Докажемсвойство 2:, ̅, ̅, ̅., но по известному свойству проекцийДействительно:, с ∣ с ∣⋅ прспрспрспрс , тогда, с ∣ с ∣⋅ прс∣ с ∣⋅ прспрс∣ с ∣⋅прс ∣ с ∣⋅ прс, ̅, ̅, что и требовалось доказать.Из свойств 1- 4 можно вывести весьма важные и полезные следствия:1. ,̅,, ̅;2. ,0, тогда и только тогда, когда векторы аи ортогональны (посколькунаправление нулевого вектора не определено, его можно считатьортогональным любому вектору);3.

,∣ ∣; выражение называют скалярным квадратом вектора;4. если ,0для любого вектора а, то вектор — нулевой, т.е. из ,0, ∀ следует0;5. если— угол между векторами а и , то cos,;∣ ∣⋅∣ ∣6. если векторы аи заданы своими координатами в некоторой декартовой системекоординат:, , ,, , , то ,.Следствия 1, 2 , 3 и 5 очевидно следуют из определения скалярного произведения.Докажем свойство 4.Пусть ,0для любого вектора а. Значит, и для а, тогда ,0, но ,∣ ∣ 0, следовательно,0.Докажем свойство 6 — вычисление скалярного произведения в координатах.Если векторы аи заданы своими координатами в некоторой декартовой системекоординат:, , ,, , , то̅̅,̅̅.Вычислим , :,̅̅, ̅̅, из свойства 2 и следствия 1 следует:̅̅, ̅̅,̅̅,̅̅,̅,̅̅,̅̅,̅, ̅,̅,,из свойства 3 и следствия 2 следует:,̅̅,̅̅,̅,̅̅,̅̅,̅, ̅,̅,̅,̅ ̅,̅,̅ ̅̅,̅, ̅, ̅,поскольку ̅1, ,̅ ̅ 0, ,̅0, ,̅ ̅ 0, ̅1, ,̅0, , ̅ 0, , ̅ 0,1.Доказано, что ,.Скалярное произведение векторов можно использовать для вычисления углов,между векторами: если — угол между векторами а и , то cos.∣ ∣⋅∣ ∣Равенство нулю скалярного произведения векторов — признак ортогональностивекторов: ,0, тогда и только тогда, когда векторы аи ортогональны.Задача (Типовой расчет!).

Найти косинус угла между векторами ABи AC, еслиA(1, 2, 0), B(0, 2, -1) и C(0, 0, 1).Решение. cosBAC10⋅ 2ними равен , cosAB,AC; AB∣AB∣⋅∣AC∣1 ⋅10.1,0, 1, AC1, 2,1, AB, AC1 ⋅0— векторы ABи AC— ортогональны, угол междуЛинеейная алгеббра. Краткиий конспеккт. Лекции 1-2. 6Если не вспомнилии признак оортогональьности, то можномпроддолжать выычисления:01С∣121∣ AB ∣1√2, ∣ AС√6, cosAB,ACBAC∣AB∣⋅∣AC∣0.

ООтвет. cos√ ⋅√0.0BACЗадача.Найти всев внутреннние углы,стороныы, площадь, медианы,средниее линии и выысотытреуголььника ABCC, если A(1, 1, 0),B(0, 2, –1)– и C(0, 1, –1).Решениие. Не будемм здесь прииводить всее вычисленния. Найдемм BAC, меедиану BD,,высоту BEB и средннюю линиюю FG.AB,AACACBAcos∣ AС ∣√2, cos√1,ABB,ACBAC√∣ABB∣⋅∣AC∣√ ⋅√√⋅∣ AB ∣⋅∣ AC ∣ sinnABCC√⋅∣ BE ∣⋅∣ AC ∣ABC1,0,, 1, AB, AACA1,1, 1, AC; AB∣AB∣⋅∣AAC∣, ∣ BE ∣, sinnBAC⋅ √3 ⋅ √22 ⋅BAC⋅√⋅∣AAC∣√1,1 ∣ FG ∣√2, ∣ ABA ∣1cos√√√3,BAC,√⋅∣ AC ∣,√D — серредина AC —, 1,, BD, 1, , ∣ BDD∣.Остальнные элеменнты треуголльника выччисляются аналогичноао.B(0, 2, –1)–Опредделители 2-го и 3-гго порядккаОпрееделение.

Оппределителеем 2-го поряядка называеется число, вычисленновое по квадраатной таблиццеиз 4-хх чисел следдующим обрразом:∣11122122∣1⋅11⋅1⋅12⋅11⋅2212⋅21 .Опрееделение. Оппределителеем 3-го поряядка называеется число, вычисленновое по квадраатной таблиццеиз 9-тти чисел слеедующим оббразом:∣111213321222333132333Приммер.586∣91∣47258∣∣5⋅936∣91 ⋅∣11⋅∣6⋅8586∣922233233454∣482 ⋅∣1⋅4 6∣7 932123313312⋅∣3; ∣475∣83 ⋅∣4 5∣7 82⋅6∣133⋅∣2122231332∣.4⋅85 ⋅7321⋅5⋅96⋅82⋅4⋅93⋅331229350.67;6⋅73⋅4⋅85⋅7Линеейная алгеббра.