1598004876-ea2cd03673c5d2c1073eb9d0dce244cb (Линейная алгебра и аналитическая геометрия), страница 11

Найдем координаты вектора ̅ в базисе ′Пример (ТР Линейная алгебра, Задача 4). Векторкоординатами в базисе̅′̅′̅′ , ̅′ , ̅′ : ̅′̅̅̅̅̅ ,̅ ,̅̅ .Решение. Используем формулу̅→ ⋅ ̅ преобразования координат векторапри изменении базиса. Запишем матрицу перехода от базиса̅ , ̅ , ̅ к базису′̅ ′ , ̅ ′ , ̅ ′ — ее столбцы — координаты векторов ̅ ′ , ̅ ′ , ̅ ′ в базисе ̅ , ̅ , ̅ ′ :→1 1 11 1 1.0 0 1Найдем обратную матрицу методом Гаусса-Жордана21 1 1 1 0 01 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 01 11 1 1 0 1 0→0 2 2 1 1 0→0 1 10→2 20 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1111 1 0 1 01 1 0 00221 11 11→0 1 02 210 1 02 20 0 1 0 0 10 0 1 0 0100111.→1и тогда ̅1⋅ 050 010 015̅Проверим:11⋅ ̅′11⋅ ̅′5 ⋅ ̅′⋅ ̅11̅⋅ ̅̅511115 ̅5 ̅5 ̅̅5 ̅5⋅ ̅̅̅10 .5Получили заданные в условии координаты вектора в исходном базисе.Ответ:̅115Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса̅ , ̅ ,..., ̅ — два базиса в Rn.Пусть̅ , ̅ ,..., ̅ иОбозначим ̅ , , и ̅ , , координаты векторов ̅ и из Rn и матрицу оператора A̅ , ̅ ,..., ̅ , а → — матрицу перехода отсоответственно в базисах̅ , ̅ ,..., ̅ и̅ , ̅ ,..., ̅ , т.е.

̅∑∑̅ , ̅ ,..., ̅ к базису̅ ,̅ , ̅базиса∑∑′ ̅,′ ̅,,̅ ,̅ .̅→ ̅ ,→Тогда̅→→⋅̅⋅→⋅̅→→⋅⋅→̅ ,откуда имеем формулы преобразования матрицы линейного оператора при⋅ → ,⋅ → .изменении базиса:→ ⋅→ ⋅Пример (ТР Линейная алгебра, Задача 7). Линейный оператор A,действующий в пространстве R3, задан в в базисе̅ , ̅ , ̅ матрицей1 12 31 271 . Найдем матрицу оператора A, в базисе ′1Решение. Используем формулу̅′̅′̅′ , ̅′ , ̅′ : ̅′̅̅̅̅ ,̅ ,̅̅ .⋅ → преобразования матрицы→ ⋅линейного оператора при изменении базиса.

Запишем матрицу перехода от базиса̅ , ̅ , ̅ к базису ′̅ ′ , ̅ ′ , ̅ ′ и вычислим обратную к ней (см. предыдущийпример):1 1 11 1 1,0 0 1→0001 1⋅1 2 31 21011→07 1 1 11 1 1 11 0 0 1011.3123Проверим. Проверить можно так: найти образы новых базисных векторов изаписать матрицу в новом базисе.Можно проверить «случайные» арифметические ошибки:detdet → ⋅ det ⋅ det →det :11det51, det∣∣3121 1∣ 2 31 271 ∣151.11Ответ:312Образ и ядро линейного оператораРассмотрим линейный оператор A, действующий из пространства Rn впространство Rm. Напомним, что множество элементов пространства Rn, которыеявляются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называютобразом оператора A и обозначают Im(A).Теорема. Образ Im(A) линейного оператора A — линейное подпространствопространства Rn.Доказательство теоремыРассмотрим произвольные векторы из образа линейного оператора:∈ Im и∈ Im .

Это означает: ∃ ̅ ∈ и ∃ ̅ ∈ такие, что̅и̅.A — линейный оператор, следовательно,̅̅̅̅ т.е.∈ Im ;для любого числа , ⋅⋅̅⋅ ̅т.е. ⋅∈ Im . Теоремадоказана.Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангомоператора, обозначается Rg(A): r=Rg(A)=dim Im(A).Определение. Ядром линейного оператора называется множество элементовпространства Rn, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора̅, ̅ ∈обозначают Ker(A): Ker̅: ̅.Теорема. Ядро линейного оператора — линейное подпространствопространства Rn.Доказательство теоремыРассмотрим произвольные векторы ядра линейного оператора: ̅ ∈ Ker и̅и ̅̅.̅ ∈ Ker .

Это означает:̅̅̅̅ т.е.A — линейный оператор, следовательно, ̅̅̅̅̅̅ ∈ Ker ;̅ т.е. ⋅ ̅ ∈ Ker . Теоремадля любого числа ,⋅ ̅⋅̅⋅ ̅доказана.Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектомоператора, обозначается def(A): r=def(A)=dimKer(A).Для линейного оператора , действующего из пространства Rn в пространство Rm,справедливы следующие утверждения:1) ранг оператора равен рангу его матрицы;2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однороднойсистемы с матрицей A; размерность пространства решений этой системы равнадефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядреоператора;столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образеоператора.4Эти утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора(найти размерность подпространства и построить его базис), заданного матрицей,на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.̅ 0,0,..., 0,тоImПримеры.

Ядро и образ нулевого оператора: поскольку̅̅ ,Ker,Rg0,def;ядро и образ тождественного (единичного) оператора: поскольку,KerIm̅ ,Rg,def̅̅ , то0;ядро и образ оператора проектирования пространства Rn на подпространствоRn-1 параллельно вектору ̅ 0,0,0,..., 1: поскольку̅, ̅, ,...,, ∈,, ,...,,0 ∈, тоIm,Ker̅0,0,..., ,Rg1,def1;ядро и образ оператора поворота пространства R3 против часовой стрелки на угол π относительно, , ∈ ,,, , ∈ , то Imоси вектора0,0,1: поскольку̅, ̅̅,Ker,Rg3,def0.Пример. Найдем ранг, дефект и образ ядра линейного оператора A, заданного внекотором базисе в R3 матрицей0.1250.250.3750.250.50.750.1250.25 .0.375Решение. Приведем матрицу оператора к ступенчатому виду:0.1250.250.3750.250.125120.50.25 → 240.75 0.37536Следовательно, RgRgA 1, def1 1 21 1 22→0 0 0 →0 030 0 00 0RgA 3 1 2.̅.Ядро оператора описывается равенством ̅10.0Методом Гаусса получили выражение для общего решения:что то же самое,2x.2xНайдем ФСР (базис в пространстве решений однородной системы):0или,21 ,0̅ — это и есть базис вБазис в пространстве решений однородной системы ̅3ядре оператора A, заданного в некотором базисе в R матрицей A.Ответ: Rg 1, def 2,базис в ядре оператора образуют векторы21 ,010.110.11Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 13Собственные значения и собственные векторы линейного оператораОпределение собственного значения и собственного векторалинейного оператораОпределение.

Пусть A — линейный оператор, действующий в линейномпространстве Rn. Число называется собственным значением, а ненулевойвектор ̅ из Rn — соответствующим собственным вектором линейного оператора̅.̅, ̅A, если они связаны между собой соотношением. ̅Примеры.̅ 0⋅ ̅̅ , т.е.1. Нулевой оператор :̅0— собственное значениенулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевыевекторы пространства Rn.2. Тождественный (единичный) оператор I: ̅̅̅ — т.е.1собственноезначение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы— все ненулевые векторы пространства Rn.3. Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 наподпространство R2 параллельно вектору ̅ 0,0,1:̅, ̅, , ∈ ,, ,0 ∈ ,̅, ,0̅, , 0, т.е.1— собственное значениеоператора, проектирования, а соответствующие собственные векторы — всененулевые векторы R3, третья координата которых равна нулю: , , 0.Пусть A— матрица оператора в некотором базисе в Rn.Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы̅ или, что то же самое,̅:связаны соотношением̅̅, ̅̅̅, ̅̅,̅, ̅̅ .

Здесь — единичный оператор.̅̅̅̅̅ , где EПо теореме о связи координат образа и прообраза имеем:̅n— единичная матрица, а ̅ — нулевой вектор R .Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым̅ . Ненулевое решение̅решением линейной однородной системыоднородной системы (система нетривиально совместна), существует тогда итолько тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю: det0.Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть0, а собственные векторы — каквычислены как корни уравнения detрешения соответствующих однородных систем.Легко видеть, что определитель det— многочлен n-й степениотносительно .Определение.

Уравнение det0называется характеристическим— характеристическимуравнением оператора, а многочлен detмногочленом оператора.Примеры.̅ , матрица нулевого оператора — нулевая̅1.Нулевой оператор :0матрица соответствующего порядка, т.е. det0∣...0...0............00∣...10,т.е.0— единственное собственное значение нулевого оператора, асоответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространстваRn.22.Тождественный (единичный) оператор I: ̅̅ , матрица тождественногооператора — единичная матрица соответствующего порядка, т.е.

det∣100...01...0...0...0......... 10, т.е.1 1∣1— единственное собственноезначение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы —все ненулевые векторы пространства Rn.3.Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 на̅, ̅, , ∈ ,подпространство R2 параллельно вектору ̅ 0,0,1:, , 0 ∈ , тогда матрица тождественного оператора — единичная матрицасоответствующего порядка, т.е. det10,т.е.0и1 0 0∣0 1 00 0 01 0 010 1 0∣ ∣ 00 0 101— собственные значения оператора.10000 ∣Найдем соответствующие собственные векторы.Пусть0, тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые решения̅ 0,0,т.е.системы1 0 00,0,0, свободная переменная,т.е. вектор0 1 0⋅0 0 00̅0— собственный вектор оператора, отвечающий собственному значению10 00и, следовательно, все векторы вида С 0 0 — собственные векторы оператора,1отвечающие собственному значению0.Теперь положим1, тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые̅ 0,1,т.е.решения системы0 0 00,0, , свободные переменные,т.е.

векторы0 0 0 ⋅0 0110̅0, ̅1— линейно независимые векторы, которые являются собственными00векторами оператора, отвечающими собственному значению1и, следовательно,10 Свсе векторы вида С 0 С 1 С — собственные векторы оператора, отвечающие000собственному значению1.4.. Оператор U поворота пространства R2 на угол φ относительно началакоординат против часовой стрелки:̅, ,U̅cossin , sincos .Матрица оператора∣detcossincossincossinsincos2λcossin, тогдаcoscos1 0∣ ∣sin0 11 0,4cossin∣cos44sin0.Характеристическое уравнение имеет единственный корень1прии0 001при0,2π.