шпорэ (Экз мжг), страница 4

Расход. Уравнение расходаРасходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечениепотока в единицу времени.(м3/с);Объемный -Q = V*S,Массовый -Qm = ρV*S, (кг/с);ВесовойQG = ρg*Q, (Н/с);-где V - мгновенная скорость в данной точке, δS – площадь сечения струйки.Для потока конечных размеров в общем случае скорость различна Q   VdS .SЕсли использовать среднюю по сечению скорость Vср = Q/S, то средний расход дляструйки или потока равен Qср = Vср*S.5.3 Уравнение неразрывности потока.Условие неразрывности потока основывается на законе сохранения вещества.А также на следующих допущениях:а) трубка тока имеет свойство непроницаемости для внешних, обтекающих еепотоков;б) предположение о сплошности (неразрывности) среды для установившегосятечения несжимаемой жидкости.На этих основаниях можно утверждать, что объемный расход во всех сеченияхэлементарной струйки (см.

рис.5.2) один и тот же.Уравнение неразрывности для элементарной струйки (уравнение расхода дляэлементарной струйки).δQ = V1 *δS1 = V2 *δS2 → const (вдоль струйки).(5.6)Уравнение неразрывности для потока, ограниченного непроницаемымистенками (уравнение расхода для потока).Q = Vср1 *S1 = Vср2 *S2 → const (вдоль потока),(5.6’)где Vср1 , Vср2 - средние скорости.Из этого уравнения (5.6') следует, что средние скорости в потоке несжимаемойжидкости обратно пропорциональны площадям сечений:Vср1Vср 2S2.S1Уравнение расхода (5.6‘) является следствием общего закона сохранения веществапри условии сплошности (неразрывности) течения.235.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйкиидеальной жидкостиВозьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, выделим сечениями 1 и2 участок этой струйки произвольной длины.

Пусть площадь первого сечения равна δS1,скорость в нем V1 , давление P1, а высота от плоскости сравнения Z1. Во втором сеченииδS2, V2 , P2 и Z2.За бесконечно малый отрезок времени δt выделенный участок струйки переместитсяв положение 1’ – 2’.Используя формулировку теоремы, подсчитаем работу сил давления, сил тяжести иизменение кинетической энергии участка струйки за время δt:(mV22)/2 - (m V12)/2 = G*( Z2- Z1) = G*hРабота силы давления в первом сечении положительна (p1*δS1)*(V1δt)Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус - (p2*δS2) *(V2δt).δA = (p1*δS1) *( V1δt)— (p2*δS2) *(V2δt).Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии выделенногообъема струйки.

δG = ρ*g* V1*δS1*δt = ρ*g* V2*δS2*δt .Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силутяжести δG: (z1-z2) *δG.Таким образом, приращение кинетической энергии на участке струйки равно(V22- V12)* δG/(2g),Сложив работу сил давления с работой силы тяжести и приравняв эту суммуприращению кинетической энергии (5.10), получим исходное уравнение для трех видовуравнения Бернулли.(p1*δS1) *( V1δt)— (p2*δS2) *( V2δt) +(z1-z2) *δG=(V22- V21)* δG/(2g245.5. Первая форма уравнения БернуллиРазделим это уравнение на δG - изменение силы тяжести элементарной струйки завремя δt и произведя сокращения наδG = ρ*g* V1*δS1*δt = ρ*g* V2*δS2*δt , получимp1 p2V2 2 V12 ( z1  z2 ) 2g 2g2g 2gСгруппировав члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, ачлены, относящиеся ко второму сечению, в правой, получим"Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости(первая форма уравнения Бернулли)":z1 p1 V12p V2 z2  2  2  H  constвдоль(струйки )2g 2g2g 2g(5.12)где z - геометрический напор,Р/ρg - пьезометрический напор,V2/2g - скоростной напор.Уравнение Бернулли (5.12) записано для двух произвольно взятых сечении струйки ивыражает равенство полных напоров Н в этих сечениях.

Так как сечения взятыпроизвольно, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напорбудет иметь одно и то же значение.Для идеальной движущейся жидкости вдоль струйки тока сумма трех напоров:геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная.Линия изменения уровней жидкости в пьезометрах называетсяпьезометрической линией.Поскольку в уравнении Бернулли суммарный напор постоянен, из уравнения расходаследует: при уменьшении площади поперечного сечения струйки, скорость теченияжидкости увеличивается и увеличивается скоростной напор, а пьезометрический напоруменьшается, если площадь струйки увеличивается, скорость уменьшается, апьезометрический напор возрастает.255.6. Вторая форма уравнения Бернулли.Разделив исходное уравнение (5.11) на элементарный объемδW =δQ*δt= δS1V1*δt = δS2V2*δt,учитывая, чтоδG = ρ*g*δW, δW = δG/ρg,получимp1 - p2 +(z1-z2) * ρ*g = ρ* (V22- V21)/2.g  z1  p1  илиV12V2 g  z2  p2   2  gН22.Во второй форме члены уравнения Бернулли имеют размерность давления:ρzg — весовое давление;р — гидромеханическое давление;ρv2/2 — динамическое давление.5.7.

Третья форма уравнения Бернулли.Разделив исходное уравнение на массу δm = ρ*g*δW элементарного объема, равнуюδm = ρ*( V1*δS1*δt) = ρ*( V2*δS2*δt) = δWρ = δG/g, а δG= gδm, преобразовав этоуравнение, получимgz1 p1 V12p V2 gz2  2  2  gH22Удельной энергией жидкости, называется отношение энергии жидкости к ее массе.В третьей форме члены уравнения Бернулли имеют размерность энергии:gz — удельная потенциальная энергия.Р/ρ - удельная энергия давления жидкости.V2/2 - удельная кинетическая энергия жидкости.Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальнойжидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости.Механическая энергия жидкости может иметь три формы: потенциальная энергия,энергия давления и кинетическая энергия.Первая и третья формы механической энергии известны из механики, онисвойственны твердым и жидким телам.Энергия давления является специфической для движущихся жидкостей.

В процесседвижения идеальной жидкости одна форма энергии может преобразовываться в другую,однако полная удельная энергия идеальной жидкости при этом как следует из уравненияБернулли, остается без изменений.265.8. Вывод дифференциальных уравнений движенияидеальной жидкости и их интегрирование (уравнений Эйлера).Единичные массовые силы или проекции ускорений на оси: Х, У и Z.Если давление в точке М обозначить через Р, давление вдоль оси Х в точке N РР х будет сумой давления в точке М и приращения по координате Х.хРСила давления: Fх  y z *(  ) .хСкорость движения жидкости в точке М обозначим через V , а ее проекции через Vх,Vy Vz . Проекции ускорения, с которыми движется выделенный объем, будут равны: Vх/dt,Vy/dt, Vz/dt.Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатныеоси будут иметь видρ*δхδyδz*(dVх/dt) = Xρ δхδyδz - (dp/dx)* δхδyδz;{ ρ*δхδyδz*(dV /dt) = Yρ δхδyδz - (dp/dy)* δхδyδz;yρ*δхδyδz*(dVz/dt) = Zρ δхδyδz - (dp/dz)* δхδyδz;Система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости, называемаяуравнениями Эйлера. dVx1 p dt  X   x dVy1 pY  y dt dVz1 pZ z dt(5.16)Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений(5.16) на проекции элементарного перемещения по осям и сложим уравнения:27В проекциях на ось X:dVx1 pVx * dt  X * dx dx,dt xВ проекциях на ось Y: dVy *Ve  Y * dy 1 pdy yВ проекциях на ось Z: dVz *Vz  Z * dz 1 pdz. zdVx *Vx  X * dx 1 pdx xПросуммировав эти проекции, получим:Xdx  Ydy  Zd 1 ppp( dx  dy  dy )  Vx dVx  VyуdV z V zdV xyy(5.17)Учитывая, что выражение в скобках является полным дифференциалом давления:dP  (pppdx  dy  dy ) .xyyПроизведение проекции скорости на дифференциал скорости можно выразитьследующим образом:2Vx dVx  d (VVx2V2), Vy dVy  d ( y ), Vz dVz  d ( z ), Vx2  Vx2  Vx2  V 2222Уравнение (5.17) можно переписать в следующем видеXdx +Ydy + Zdz = (1/ρ)*(dp) + d(V2/2),(5.18)или dU = (1/ρ)*(dp) + d(V2/2).где U – силовая функция.Интегрирование этого уравнения выполним для основного частного случаяустановившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь однамассовая сила - сила тяжести.

При направлении оси вертикально вверхX = 0, Y= 0, Z = - g.Подставляя эти значения в уравнение (5.17) получимgdz + dp/ρ + d(V2/2) = 0 или dz + dp/(gρ) + d(V2/2g) = 0.Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можнопереписать в видеd(z + p/(gρ) + (v2/2g)) = 0, z + p/(gρ) + (v2/2g) → const.Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1-1 и 2-2, оно примет видпервой формы уравнения Бернулли: z1 P1 v12v2 Pz 2  2  2 = Нg 2 g2 g g286.1.Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости.При движении реальной жидкости на преодоление сопротивлений, связанных связкостью, требуются затраты энергии, поэтому удельная энергия движущейся вязкойжидкости не остается постоянной, как в случае идеальной жидкости, а уменьшается вдольпотока.При выводе уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости вместо неравномерногораспределения скоростей рассматриваются средние скорости и средние значения удельнойэнергии жидкости в данном сечении.