16 Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 4

Его матрица Якобив произвольной точке (x1 , x2 ) ∈ R2 имеет вид1 ex2J(x1 , x2 ) =,ex1 −1ÔÍ-12ÔÍ-12−1ϕ0 (y) = − Fx0 (ϕ(y), y) Fy0 (ϕ(y), y).ÌÃÒÓÌÃÒÓпричем функция ϕ(y) непрерывно дифференцируема, а ее матрица Якоби равнаz2 = 2x1 ,(16.24)найдем те точки множества в области значений отображения, в окрестности которых определенообратное отображение G−1 . Для это воспользуемся теоремой об обратной функции. Отображение G непрерывно дифференцируемо в R2 , а его матрица Якоби имеет вид1 2x2J(x1 , x2 ) =.2 0{(z1 , z2 ): z1 = x1 , z2 = 2x1 } ,или z2 = 2z1 .Итак, обратное отображение G−1 определено в окрестности любой точки (z1 , z2 ), принадлежащей области значений отображения G и не лежащей на прямой z2 = 2z1 .

Теорема об обратнойÔÍ-12Вычисляем определитель матрицы Якоби: det J(x1 , x2 ) = −4x2 . Отсюда заключаем, что матрица Якоби невырождена во всех точках (x1 , x2 ), для которых x2 6= 0. Таким образом, вовсех точках (x1 , x2 ), удовлетворяющих условию x2 6= 0, можно применить теорему об обратной функции.

Точки (x1 , x2 ), в которых матрица Якоби вырождена, удовлетворяют условиюx2 = 0 и в совокупности составляют прямую — координатную ось Ox1 . Найдем ее образ приотображении G. Для этого в уравнения (16.24) отображения G подставим x2 = 0. В результатенаходим образ координатной оси Ox1 :ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12z1 = x1 + x22 ,ÌÃÒÓÌÃÒÓне обращается в нуль ни в одной точке в R2 . Согласно теореме об обратной функции, в любойточке b ∈ R2 , b = G(a), существует окрестность, в которой определено обратное отображениеG−1 , причем G−1 (b) = a.б. Для отображения G: R2 → R2 , заданного уравнениямиÔÍ-12ÔÍ-12det J(x1 , x2 ) = −1 − ex1 +x2ÌÃÒÓÌÃÒÓа определитель матрицы ЯкобиÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Это представление показывает, что областью значений отображения G является полуплоскостьz1 > z2 /2.

Каждая внутренняя точка z = (z1 , z2 ) этой полуплоскости является образом приотображении G двух точек a = (a1 , a2 ) и ea = (a1 , −a2 ), отличающихся знаком второй координаты. В окрестности каждой точки z = (z1 , z2 ), z1 > z2 /2, существуют два обратныхотображения, первое удовлетворяет условию G−1 (z) = a, а второе — условию G−1 (z) = ea. Обаотображения определены в области z1 > z2 /2.Любая точка z 0 = (z10 , z20 ) на прямой z1 = z2 /2 не имеет окрестности, в которой определенообратное отображение G−1 , и тому есть две причины. Во-первых, такие точки не являютсявнутренними точками области значений отображения G.

Во-вторых, каждая такая точка z 0является образом единственной точки x0 в области определения отображения, но при этом влюбой окрестности точки x0 можно выбрать такие две точки, в которых отображение G принимает одинаковые значения.ÔÍ-12ÔÍ-122ÌÃÒÓфункции не позволяет ответить на вопрос, существует ли обратное отображение G−1 в окрестности какой-либо точки прямой z2 = 2z1 . Для ответа на этот вопрос нужно использовать другиеметоды. В данном случае уравнения (16.24) можно разрешить относительно переменных x1 иx2 и тем самым получить аналитическое представление функции G−1 :z2x1 = ,2qx = ± z − z2 .21ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ89ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ7878808485ÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓ.....ÌÃÒÓÔÍ-12.....ÔÍ-12ÌÃÒÓпеременных. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 16. Дифференцируемость векторных функций нескольких16.1. Частные производные .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.2. Дифференцируемые векторные функции . . . . . . . . . . . . . .16.3. Дифференциал векторной функции . . . . . . . . . . . . . . . . .16.4. Теорема о неявной функции (общий случай) . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.