16 Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1216.1. Частные производныеПусть векторная функция нескольких переменных f : Rn → Rm определена в δ-окрестностиU(a, δ) точки a ∈ Rn .

Обозначим через ∆xi такое приращение независимого переменного xiв точке a, при котором точка a = (a1 , . . . , ai−1 , ai +∆xi , ai+1 , . . . , an ) принадлежит U(a, δ).Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство |∆xi | < δ. Тогда определена разностьзначений функции f , соответствующая приращению ∆xi :∆i f (a, ∆xi ) = f (a1 , . . .

, ai−1 , ai + ∆xi , ai+1 , . . . , an ) − f (a1 , . . . , an ).Эту разность называют частным приращением функции нескольких переменных f вточке a по независимому переменному xi . Частное приращение обозначают также через ∆i f (a)или ∆xi f (a).∆i f (a)∆xi →0 ∆xi(16.1)limотношения частного приращения функции по переменному xi к приращению ∆xi этого жепеременного при ∆xi → 0, то этот предел называют частной производной векторнойфункции нескольких переменных f в точке a по переменному xi и обозначают fx0 i .78ÔÍ-12J Пусть ∆xi — приращение независимого переменного xi в точке a. Тогда соответствующееприращение функции f в точке a можно записать в виде f1 (a1 , .

. . , ai−1 , ai + ∆xi , ai+1 , . . . , an )f1 (a)  .. ..∆i f (a) = − . =.fm (a1 , . . . , ai−1 , ai + ∆xi , ai+1 , . . . , an )fm (a) ∆i f1 (a)f1 (a1 ,...,ai−1 ,ai + ∆xi ,ai+1 ,...,an ) − f1 (a) ....==...fm (a1 ,...,ai−1 ,ai + ∆xi ,ai+1 ,...,an ) − fm (a)∆i fm (a)ÌÃÒÓТеорема 16.1. Для того чтобы векторная функция f : U(a, δ) ⊂ Rn → Rm имела частнуюпроизводную в точке a по переменному xi , необходимо и достаточно, чтобы все ее координатныефункции имели частную производную в точке a по тому же переменному xi .ÔÍ-12Определение 16.1. Если для функции нескольких переменных f : Rn → Rm , определеннойв окрестности точки a, существует пределÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓМатрица Якоби ВФНП, якобиан (при n = m).

Дифференцируемость ВФНП, ее дифференциал.Производная сложной ВФНП в матричной форме. Теорема о неявной функции в общем случае.Теорема об обратной функции.ÔÍ-12ÔÍ-12ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 16ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓСогласно определению 16.1 частной производной, имеемÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ79∆i f1 (a) ∆xi ∆i f (a)∂f (a)= lim= lim ∆xi →0 ∆xi∆xi →0 ∂xi....∆i fm (a)lim∂f1 (a) ∂xi   ..  =  . ,  ∂f (a) ∆i fm (a)m∆xi∂xiПри доказательстве теоремы установлена формула, согласно которой частная производнаявекторной функции f (x) равна векторной функции, координатными функциями которой являются соответствующие частные производные координатных функций для f (x). Следовательно,вычисление частных производных векторной функции сводится к вычислению соответствующих частных производных ее координатных функций, которые являются функциями скалярными.Если функция f : Rn → Rm в точке a ∈ Rn имеет частные производные по всем независимымпеременным x1 , x2 , . .

. , xn , то из этих производных (а точнее, из частных производных координатных функций f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x) векторной функции f (x)) можно составить матрицу∂fi (a)∂xjтипа m × n, где i соответствует номеру строки матрицы, а j — номеру столбца. Этуматрицу называют матрицей Якоби функции f в точке a и обозначают∂f1 (a)∂f1 (a)∂f1 (a)...∂x2∂xn  ∂x1∂f2 (a)∂f2 (a)∂f2 (a) ∂f (a) 0...f (x) ==∂x2∂xn  . ∂x1∂x . . . . . . . . .

. . . . . . ∂fm (x)∂fm (x) ∂fm (x)...∂x1∂x2∂xnЧасто используют запись матрицы Якоби в виде блочной матрицы-строки∂f (x) ∂f (x)∂f (x)f 0 (x) =...∂x2 ∂f (x)1∂x..f 0 (x) = .∂fm (x)∂x∂xn(16.3).(16.4)Пример 16.1. Для векторной функцииf (x, y) = xe−y x2 y 3 yтдвух переменных x и y найдем все частные производные и запишем матрицу Якоби.ÔÍ-12В последнем случае каждый блок представляет собой матрицу Якоби соответствующей координатной функции.ÌÃÒÓили блочной матрицы-столбца(16.2)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ...что и требовалось доказать.

I∂x1ÔÍ-12∆xi →0∆xi →0∆i f1 (a)∆xi ÌÃÒÓÔÍ-12∂f (a) =∂xilimÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Используя теорему 15.1, получаемÌÃÒÓÌÃÒÓ∆xiÌÃÒÓÌÃÒÓu0x (x, y) = e−y ,u0y (x, y) = −xe−y ,vx0 (x, y) = 2xy 3 ,vy0 (x, y) = 3x2 y 2 ,wx0 (x, y) = 0,wy0 (x, y) = 1.Составляем из вычисленных частных производных матрицу Якоби:  −y 0ux (x, y) u0y (x, y)e−xe−yf 0 (x, y) =  vx0 (x, y) vy0 (x, y)  =  2xy 3 3x2 y 2  .01wx0 (x, y) wy0 (x, y)ÌÃÒÓ16.2. Дифференцируемые векторные функцииПусть векторная функция нескольких переменных f : Rn → Rm определена в некоторойтокрестности точки x ∈ Rn и ∆x = (∆x1 .

. . ∆xn ) — такой вектор приращений независимых переменных, что точка x + ∆x тоже принадлежит этой окрестности. В этом случаеопределено полное приращение функции fÔÍ-12ÔÍ-12Данная функция имеет три координатные функции u(x, y) = xe−y , v(x, y) = x2 y 3 и w(x, y) == y.

Вычисляем частные производные этих функций:ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ80p(∆x1 )2 + . . . + (∆xn )2 .Определение 16.2. Функцию f : Rn → Rm , определенную в некоторой окрестности точкиx, называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этойточки можно представить в виде∆f (x) = A∆x + α(∆x)|∆x|,(16.5)где A — матрица типа m × n, элементы которой не зависят от ∆x, а функция α(∆x) являетсябесконечно малой при ∆x → 0.ÔÍ-12Функцию f называют дифференцируемой в области X ⊂ Rn , если она дифференцируема в каждой точке этой области.При m = 1 функция f скалярная, и в равенстве (16.5) матрица A является строкой длиныn, т.е.

A = (a1 a2 . . . an ), а функция α(∆x) — это бесконечно малая при ∆x → 0 скалярнаяфункция. Поэтому в данном случае равенство (16.5) сводится к равенству (9.2).Следующая теорема сводит исследование дифференцируемости векторной функции к скалярному случаю.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Кроме того, напомним, что |∆x| =ÌÃÒÓÌÃÒÓт= (f1 (x) .

. . fm (x)) в точке x можно выразить через полные приращения координатных функций f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x): f1 (x + ∆x)f1 (x)  .. ..∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x) = − . =.fm (x + ∆x)fm (x) f1 (x + ∆x) − f1 (x)∆f1 (x) ....==...fm (x + ∆x) − fm (x)∆fm (x)ÔÍ-12ÔÍ-12соответствующее приращению ∆x переменных в точке x. Полное приращение функции f (x) =ÌÃÒÓÌÃÒÓ∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x),ÌÃÒÓJ Доказательство фактически состоит в переходе от матричной формы записи условия (16.5)дифференцируемости векторной функции к его записи в координатной форме. Действительно, вттравенстве (9.2) положим f (x) = (f1 (x) .

. . fm (x)) , α(∆x) = (α1 (∆x) . . . αm (x)) и A = (aij ).Тогда (9.2) можно записать следующим образом:  ∆f1 (x)∆x1α1 (x, ∆x)a11 a12 . . . a1n  ..... . . . . . . . . .   ...  + =|∆x|,..am1 am2 . . . amn∆fm (x)∆xnαm (x, ∆x)или в координатной записи∆f (x) = f 0 (x)∆x + α(∆x)|∆x|,(16.7)где α(∆x) → 0 при ∆x → 0.J При m = 1 утверждение следствия вытекает из следствия 9.1.

Поэтому остановимся на случаетm > 1. Согласно теореме 16.2, из дифференцируемости функции f (x) = (f1 (x) . . . fm (x)) вточке x следует дифференцируемость в этой точке всех ее координатных функций fi . При этомв представлении (16.6) коэффициенты aij есть значения частных производных координатнойфункции fi в точке x по соответствующим переменным:∆fi (x) =∂fi (x)∂fi (x)∆x1 + . .

. +∆xn + αi (∆x)|∆x|.∂x1∂xn(16.8)Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть ещеодно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное сее непрерывностью.Теорема 16.3. Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой точке,то она непрерывна в этой точке.ÔÍ-12Следствие 16.2. Если векторная функция дифференцируема в некоторой области, то вовсех точках этой области существуют частные производные ее координатных функций и, следовательно, в области существует ее матрица Якоби.ÌÃÒÓЗначит, в представлении (16.5) матрица A есть матрица, составленная из значений частныхпроизводных координатных функций в точке x, т.е. матрица Якоби f 0 (x), а векторная функцияα(∆x) имеет своими координатными функциями функции αi (∆x). Так как все функции αi (∆x)являются бесконечно малыми при ∆x → 0, то и векторная функция α(∆x) является бесконечномалой при ∆x → 0.

IÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓСледствие 16.1. Если функция f : Rn → Rm дифференцируема в точке x, то в этой точкесуществуют частные производные этой функции по всем переменным, определена ее матрицаЯкоби f 0 (x) и в окрестности этой точки полное приращение ∆f (x) можно представить в видеÌÃÒÓÔÍ-12где αi (∆x) → 0 при ∆x → 0.Итак, соотношение (16.5) эквивалентно (16.6), но представление (16.5) по определению означает дифференцируемость векторной функции f (x), а представления (16.6) — дифференцируемость координатных функций fi (x), i = 1, m.

IÔÍ-12ÌÃÒÓ(16.6)ÌÃÒÓÔÍ-12i = 1, m,ÔÍ-12ÔÍ-12∆fi (x) = ai1 ∆x1 + . . . + ain ∆xn + αi (∆x)|∆x|,ÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 16.2. Векторная функция f : Rn → Rm дифференцируема в точке x тогда и толькотогда, когда в этой точке дифференцируемы все ее координатные функции.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ81ÌÃÒÓтJ Пусть функция f (x) = (f1 (x) . . . fm (x)) дифференцируема в точке a. Тогда по теореме16.2 все ее координатные функции fi (x) дифференцируемы в точке a, а их полные приращенияв точке a можно записать в виде∆fi (a) =nX∂fi (a)∂xk∂xk∆x→0∆x→0означающий, что функции fi (x), i = 1, m, непрерывны в точке a.