14 Условный экстремум (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 3

При n = 1 и K = [a, b] для поиска точек x∗ и x∗ можно поступить, как ужеотмечено, следующим образом:– в интервале (a, b) отобрать все критические точки функции f (x);– к критическим точкам добавить граничные точки a и b;– во всех отобранных точках вычислить значения функции f (x) и по этим значениям выделить те точки x∗ и x∗ , в которых значение функции является наименьшим наибольшим.Пример 14.7. В случае n = 2 рассмотрим функцию f (x, y), непрерывную на компакте K,который ограничен тремя кривыми g1 (x, y) = 0, g2 (x, y) = 0, g3 (x, y) = 0 (рис. 14.4). Будем считать, что функции gi (x, y), i = 1, 3, непрерывно дифференцируемы, а компакт K описываетсянеравенствамиg1 (x, y) > 0, g2 (x, y) > 0, g3 (x, y) > 0.yBg3(x, y) =0g2(x, y) =0ACOxРис.

14.4g2 (x, y) > 0, g3 (x, y) > 0;g1 (x, y) > 0, g3 (x, y) > 0;g1 (x, y) > 0, g2 (x, y) > 0;ÔÍ-12отбираем те, которые лежат на соответствующей дуге AC, BC, AB, т.е. удовлетворяют соответствующим неравенствам:ÌÃÒÓНаибольшее (наименьшее) значение функции может достигаться или во внутренней точкемножества K, или на одномерной границе (на одной из дуг AC, AB, BC), или в угловыхточках границы (A, B или C), являющихся точками пересечения дуг.

Поэтому для поиска точекс наибольшим (наименьшим) значением функции можно действовать следующим образом:– находим все критические точки функции f (x, y), которые являются внутренними для компакта K (они удовлетворяют неравенствам g1 > 0, g2 > 0, g3 > 0);– среди точек, подозрительных на условный экстремум, в каждой из трех задач(((f (x, y) → extr,f (x, y) → extr,f (x, y) → extr,g1 = 0;g2 = 0;g3 = 0ÔÍ-12Kg1(x, y) =0ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓx ∈ K.ÔÍ-12ÔÍ-12f (x∗ ) 6 f (x) 6 f (x∗ ),ÌÃÒÓÌÃÒÓмножестве наибольшего и наименьшего значений, но определение точек множества K, в которых достигаются эти значения, — более сложная задача, так как компактное множество в Rnв отличие от отрезка числовой оси может иметь границу очень сложной структуры.

В такихситуациях исследовать поведение функции весьма непросто.Пусть функция нескольких переменных f (x) непрерывна на компактном множестве K ⊂ Rnи достигает своего наименьшего и наибольшего значений соответственно в точках x∗ ∈ K иx∗ ∈ K. Тогда выполняются неравенстваÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ70ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. УСЛОВНЫЙЭКСТРЕМУМÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ71– к указанным точкам добавляем точки A, B, C, являющиеся решениями систем уравненийg(x,y)>0,g(x,y)=0,11g1 (x, y) = 0,g2 (x, y) = 0,g2 (x, y) = 0,g2 (x, y) > 0,g (x, y) > 0;g (x, y) = 0;g (x, y) = 0;333– во всех отобранных точках вычисляем значения функции и по этим значениям выделяемдве точки x∗ и x∗ , в которых значение является соответственно наименьшим и наибольшим.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12В общем случае при вычислении наименьшего и наибольшего значений функции f (x) n переменных на компактном множестве K, которое задано, например, m условиями gi (x) > 0,i = 1, m, задачу можно решать аналогично.

Отбираются точки в которых может достигатьсянаибольшее или наименьшее значение: а) среди внутренних точек множества K; б) на всех(n−k)-мерных частях границы (k = 1, n−1); в) все нульмерные элементы границы (такие, какточки A, B, C в примере 14.7). Отбор точек внутри K приводит к задаче на локальный экстремум, отбор точек на (n−k)-мерных частях границы приводит к задаче на условный локальныйэкстремум, как правило, с k уравнениями связи. Затем во всех отобранных точках вычисляютсязначения функции и выбираются точки с наименьшим и наибольшим значением.Реализация предложенной схемы опирается на «геометрическое представление компакта K».В самом общем случае такая схема часто оказывается очень сложной и трудной в применении.В таких случаях более выгодными могут оказаться численные методы конечномерной оптимизации.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14.

УСЛОВНЫЙЭКСТРЕМУМÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ...... . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ...............6262636669ÔÍ-12.....ÔÍ-12ÌÃÒÓ.....ÌÃÒÓÔÍ-12.....ÔÍ-12ÌÃÒÓ.....ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 14. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . .14.1. Общая постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14.2. Необходимое условие условного экстремума . . . . . . .

. . .14.3. Достаточные условия условного экстремума . . . . . . . . .14.4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений . . . . .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.