atnasyan-gdz-11-2001 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян)

А.А. КадеевДомашняя работапо геометрииза 11 класск учебнику «Геометрия 10-11 класс: Учеб. дляобщеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян и др. —11-е изд. — М.: Просвещение, 2002 г.»Глава V. Метод координат в пространстве400. а) ось абсцисс: точка С (2;0;0);б) ось ординат: точка Е (0;−1;0);в) ось аппликат: точка В (0;0;−7);г) плоскость Оху: точки Н (− 5 ; 3 ;0), Е (0;−1;0), С (2;0;0), А(3;-1;0);д) плоскость Оуz: точки В (0;0;−7), Е (0;-1;0), G(0;5;-7);е) плоскость Охz: точки В (0;0;−7), С (2;0;0) и D (−4;0;3).401. Координаты проекций точки А (2; −3; 5):а) на плоскость Oxz: А1 (2; 0; 5), на Оху: А2 (2; −3; 0); на Oyz: А3 (0; −3; 5);б) на ось Ох: А4 (2; 0; 0), на Оу: А5 (0; −3; 0), на Oz: А6(0;0;5).1Точка В (3; −5; ):2а) на плоскость Oxz: В1 (3; 0;11), на Оху: В2 (3; −5; 0), на Oyz: В3 (0;−5; );22б) на ось Ох: В4 (3; 0; 0), на Оу: В5 (0; −5; 0), на Oz: В6 (0;0;Точка С (− 3 ; −2;25 − 3 ):а) на плоскость Oxz: С1 ( 3 ; 0;Оуz: С3 (0; −2;21).25 − 3 ), на Оху: С2 (− 3 ; −2; 0), на25 − 3 );2; 0), на Оz: C6 (0; 0;2402.

А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А1 (1; 0; 0),следовательно, стороны куба равны 1. Куб помещенв пространстве, как показано на рисунке.Следовательно, по рисунку имеем:С(0;1;1), В1(1;0;1), С1(1;1;1), D1(1;1;0)rr r r403. а =3 i +2 j − 5 k ; х=3, у=2, z=−5; тогдаr rкоорди-наты вектора а : а {3; 2; −5}.rrr rrВектор b =−5 i +3 j − k ; х=−5, у=3, z=−1; b {-5; 3; -1}.r r rrВектор с = i − j ; х=l, у=−l, z=0; с {1;−l;0}.б) на ось Ох: С1 (− 3 ;0;0), на Оу: С5 (0; −r r rrrr5 − 3 ).Вектор d = j + k ; х=0, у=1, z=1; d {0;1;1}.r r rrВектор m = k − i ; x=−l, y=0, z=l; m {-1;0; 1}.rВектор n =0,7; k х=0, у=0, z=0,7; n {0; 0; 0,7}.rr r r r404.

Для а {5; -1; 2} по формуле а =x i +у j +z k координаты вектора х=5,2r r r r r r rу=−1, z=2; следовательно, а =5 i −1 j +2 k =5 i − j +2 k .rrr rrr rДля b {−3;-1;0} х=−3, у=−l, z=0; следовательно, b =−3 i − 1 j +0 z =−3 i − j .rДля с {0; -1; 0} х=0, у=−1, z=0;rr r r r rс =0 i −1 j +0 k =− j .Для d {0;0; 0} х=0, y=0, z=0 и тогда разложение будет выглядеть так:r rrrrd =0 i +0 j +0 k = 0 .405. Координаты точки равны соответствующим координатам радиус-вектора (п.44). Соответственно, для радиус-вектора ОА1 рассмотримточку А1.

Ее координаты и будут координатамивектора OA1: А1 (2;0;2) OA1 {2; 0; 2}. B1 (0;3;2).Значит, ОВ1 {0; 3; 2}. С1 (0;0;2). Значит ОО1{0; 0; 2}.С (2;3;0). Значит, ОС {2; 3; 0}. C1 (2;3;2). Значит, ОС1 {2; 3; 2}.Вектор ВС1 это разность векторов OC1 и OB. BС1=OC1 − OB; ОС1 {2; 3; 2},OB {0;3;0}. Следовательно, BC1 {2−0; 3−3; 2−0}, BC1 {2; 0; 2}.AC1=OC1−OA; OC1 {2; 3; 2}, OA {2; 0; 0}.AC1 {2−2; 3−0; 2−0}, AC1={0; 3; 2}.О1С=OC-OO1; ОС {2; 3; 0}, ОO1 {0; 0; 2}.О1С {2−0; 3−0; 0−2}, О1С {2; 3; −2}.406.

Рассмотрим общий случай. Рассмотрим два некомпланарных вектора AB и DC. Перенесем вектор DCпараллельно так, чтобы точка D1 его начала совпала сточкой В конца первого вектора. Получим вектор D1C1или, что то же самое, вектор ВС1, сонаправленный свектором DC и равный ему по длине. Согласно правилусложения векторов: AB+DC=AB+ВС1=AC1.Пусть АВ {X1; y1; Z1}, BC1 {х2; у2; z2}. Докажем, чтоАС1 {х1+x2; у1+у2; z1+z1}.Для доказательства выразим координаты этих векторов через координатыих начала и конца.

AB (хВ − хА; уВ − уА; ZВ − zА),ВС1 { xc 1 − хВ; yc1 − yB; zc1 ,− zB}, AC1 ( xc 1 − ХА; yc1 − уА; zc1 − zА}, из обо-значения координат вектора AB как х1, у1 и z1 и вектора BC1 как x2, у2, z2, получим х1=хВ−хА, y1=уВ − уА, z1=zВ − zA, x2= xc1 − xB, y2= yc1 − yB, z2= zc1 − zB.Вычислим суммы x1+x2, y1+y2, z2+z2: x1+x2=xB−xa+xC1 −xB=xC1 −xA;y1+y2=уВ − уА+уС1−уВ=уС1−уА; z2+z2=zВ − zА+zС1−zВ=zС1−zА;Суммы координат x1+x2, y1+y2, z2+z2 являются координатами вектораAС1, равного сумме исходных двух векторов AB и DC. Что и требовалосьдоказать.r r r407. а) Обозначим а + b = р ,yp=ya+yb; ya=−5; yb=7;хр=ха+хb; хa=3; хb=0;хp=3+0=3; уp=−5+7=2; zp=2−1=1;zp=za+zb; za=2; zb=−1;3rр {3;2;1}.r r rб) Обозначим а + с = e22ye=ya+yc=−5+0=−5;xe=xa+xc=3+ =3 ;33r2e {3 ;−5;2}.3r r rв) Обозначим b + с = f ,xf=xb+хc=0+2 2= ;3 3r 2f { ; 7;−1}.3ryf=yb+yc=7+0=7;rze=zа+zc=2+0=2;zf=zb+zc=−1+0=−1;rг) Обозначим d + b = r ,xr=xd+xb=−2,7+0=−2,7; yr=yd+yb=3,1+7=10,1;rr {−2,7; 10,1;−0,5}.zr=zd+z6=0,5 − 1=−0,5;д) Обозначим d + а = s ,xs=xd+xa=−2,7+3=0,3;ys=yd+ya=3,1−5=−1,9;rs {0,3; −1,9;2,5}.zs=zd+za=0,5+2=2,5;rr rr r r rе) Обозначим а + b + с = q22=3 ;33yq=ya+yb+yc=−5+7+0=2;zq=za+zb+zc=2−1+0=1;r 2q {3 ; 2; 1}.3хq=ха+xb+xc=3+0+rrrrж) Обозначим b + а + d = k ,xk=xb+хa+xd=0+3− 2,7=0,3;yk=yb+ya+yd=7−5+3,1=5,1;zk=zb+za-+zd=−1+2+0,5=1,5;rk {0,3; 5,1; 1,5}.r r r rrз) Обозначим а + b + с + d = m ,xm=xa+xb+xc+xd=3+0+220 27 ⋅ 320 − 8161 29−2,7=3+−=3+=3−=;30303030 303ym=ya+yb+yc+yd=−5+7+0+3,1=5,1; zm=za+zb+zc+zd=2−1+0+0,5=1,5;r29; 5,1;1,5}.m ={30408.

Согласно п.44 имеем: AC {XC−XA, ус−yA; zс−zA}По рисунку имеем: A(4; 0; 0); B(0; 9; 0); C(0; 0; 2).AC: XC−XA=0−4= −4; ус−yA=0−0=0;4zс−zA=2−0=2; AC {−4;0;2}.CB{XB−XC, уB−yC; zB−zC}.XB−XC=0−0=0; уB−yC=9−0=9; zB−zC=0−2=−2;СB {0;9;−2}.AB: {XB−XA, уB−yA; zB−zA}.XB−XA=0−4=−4; уB−yA=9−0=9;zB−zA=0−0=0; AB{−4;9;0}.MN {XN−XM, уN−yM; zN−zM}.Координаты точек M, N и P являются координатами векторов OM, ON иOP соответственно. Тогда согласно п. 45:1111111yC; zC}; ON { ⋅0; ⋅0; ⋅2};ON= ОС. Тогда ON{ xC;2222222ON {0;0,1}; N {0:0;l}.1Вектор OM: точка M — середина отрезка AC. Значит OM= (ОА+OC),21111(xA+xC)= (4+0)=2; yм= (yA+yC)= (0+0)=0222211ZM= (ZA+ZC)= (0+2)=l;22xM=M (2; 0; l); OM {2;0;l}.MN: xN−xM=0−2=−2; yN−yM=0−0=0; zN−zM=1−1=0; MN {–2;0;0}.Точка P — середина отрезка ВС.

Значит:111111ОР= (OB+OC), xp= (xB+xC)= (0+0)=0; yp= (yB+yC)= (9+0)=4 ;222222zp=11(zB+zC)= (0+2)=1;2211;1); OP {0; 4 ; 1}22BМ: {хм −хB; yм−yB; zм −zB};хм −хB=2−0=2;yм−yB=0−9=−9;zм −zB=1−0=1;BM {2; −9; 1}.NP: {хP −хN; yP−yN; zP −zN};1хP −хN=0−0=0;yP−yN=4 −0=4 1 ; zP −zN=1−1=0;221NP {0;3 ; 0}.2409. Чтобы найти координаты вектора разности, нужно найти разностисоответствующих координат этих векторов.xa=5; ya=−1; za=1,xb=−2; yb=1; zb=0,121xc=0; yc=0,2; zc=0,xd=− ; yd=2 ; zd=− .357P=(0;4r r ra) а − b = рrr rб) b − а = r ,5rр {xa−xb; ya−yb; za−zb},rр {5−(−2); −1−1; 1−0},rр {7, −2;1}.r r rв) а − с = q ,rq {5−0; −1−0,2; 1−0},rq {5;−1,2;1}.rr {xb−xa; yb−ya; zb−za},rr {−2−5; 1−( −1); 0−1},rr {−7, 2;−1}.r r rг) d − а = e ,re {xd−xa; yd−ya; zd−za},r121e {− −5; 2 −(−1); − −1},357r121e {−5 ; 3 ; −1 }.3r r rд) с − d = f ,57r121f {0−(− ); 0,2−2 ; 0−(− )},rf {xc−xd; yc −yd; zc−zd},357r 11f { ; −2,2, }.37r r rr r r r r r r r rе) а − b + с : пусть а − b = m , а − b + с = m + с = n , следовательноrrm { xa−xb; ya −yb; za−zb }.

n {(xa−xb)+xc; (ya−yb)+yc; (za−zb)+zc}rrn {5−(−2)+0; −1−1+0,2; 1−0+0}, n {7; −1,8; 1}.rrrrrж) а − b − с = l , l {xa−xb−xc; ya−yb−yc; za−zb−zc},rrl {5+2−0; −1−1−0,2; 1−0−0}, l {7; −2,2;1}.rз) Вектор 2 а будет иметь координаты {2xa; 2ya; 2za}, или {10;−2;2}.rи) Вектор –3 b будет иметь координаты: {–3xb; –3yb; –3zb}, или {6; –3; 0}.rrк) –6 c {–6xc; –6yc; –6zc}, или {–6‚0; –6‚0,2; –6‚0}, –6 c {0; –1,2; 0}.rr111111 21111л) – d {– xd; – yd; – zd}, – d {– ‚(– ); – ‚2 ; – ‚(– )},3333333312 11 r 11 r 14 1;}, или – d { ; – ;}.– d { ;–3915 21395 21537rrм) 0,2 b (0,2xb; 0,2yb; 0,2zb}, 0,2 b {0,2‚(–2); 0,2‚1; 0,2‚0},r0,2 b {–0,4; 0,2; 0}.410.

Согласно условиямrrra : xa=–1, ya=2, za=0; b : xb=0, yb=–5, zb=–2; c : xc=2, yc=1, zc=–3.rДля вектора р вычислим отдельно каждое слагаемое:rr3 b {3хb; 3уb; 3zb}, 3 b {3⋅0; 3⋅(−5); 3⋅(-2)},rrr3 b {0; −15; −6}, обозначим 3 b = m .rr−2 а {−2хa; −2уа; −2za}, −2 а {−2⋅ (−1); −2⋅2; −2⋅0},rr r−2 а {2; −4; 0}, обозначим −2 а = n .6rrr rrrrСледовательно р =3 b −2 а + с = m + n + с будет иметь координаты:rrр {хm+хn+хс; уm+уn+ус; zm+zn+zc}, р {0+2+2; −15−4+1; −6+0−3},rр {4;−18;−9}.rrДля вектора q аналогично вычислим: 3 с {3xc; 3yc; 3zc},rrr r3 с {3⋅2; 3⋅1; 3⋅(−3)}, 3 с {6; 3; −9}, обозначим 3 с = r .rr−2 b {−2xb; −2yb; −2zb}, −2 b {−2⋅0; −2⋅(−5); −2⋅(−2)},r rr−2 b {0; 10; 4}, обозначим −2 b = e .rr r r r r rСледовательно q =3 с −2 b + а = r + e + а ,rrq {хr+хе+ха; yr+ye+ya; zr+ze+za},q {6+0+(−1); 3+10+2; −9+4+0},rq {5; 15; −5}.411. По правилам суммы, разности, произведения векторов (п.

43) имеем:rrrrа) 3 а {3⋅(−1); 3⋅1; 3⋅1), 3 а {−3; 3; 3}. 2 b {2⋅0; 2⋅2; 2⋅(−2)}, 2 b {0; 4; −4}.rr rrrr r rОбозначим: 3 а +2 b − с =(3 а +2 b )− с = s − с ;r r rr r rrrs =3 а +2 b ; s {−3; 7; −1}; с {−3; 2; 0}; s − с = r ;rrr {−3−(−3); 7−2; −1−0}; r {0; 5; −1}.rrrб) 2 с {2 ⋅ (−3); 2 ⋅ 2; 2 ⋅ 0}; 2 с {−6; 4; 0}; а {−1; 1; 1};r r rr r r r r− а +2 с − d =(− а +2 с )− d = р − d ;rrrr r rр =2 с − а ; р {−6−(−1); 4−1; 0−1}; р {−5; 3; −1}; d {−2; 1; −2};r r r rrр − d = q ; q {−5−(−2); 3−1; −1−(−2)}; q {−3; 2; 1}.rrв) 0,1 а {0,1⋅ (−1); 0,1⋅1; 0,1⋅1}, 0,1 а {−0,1; 0,1; 0,1}.rr3 b {3⋅0; 3⋅2; 3⋅ (−2)}, 3 b {0; 6; −6}.rr0,7 с {0,7⋅ (−3); 0,7⋅2; 0,7⋅0}, 0,7 с {−2,1; 1,4; 0).rr5 d {5⋅(−2); 5⋅1; 5⋅(−2)}, 5 d {−10; 5; −10}.r rr rВсе сложим, тогда в выражении 0,1 а +3 b +0,7 с − d введем обозначение:r rr r r rr r r0,1 а +3 b = n , n +0,7 с = m m −5 d = l .rrn {−0,1+0; 0,1+6; 0,1+(−6)}, n {−0,1; 6,1; −5,9}.rrm {−0,1+(−2,1); 6,1+1,4; −5,9+0}, m {−2,2; 7,5; −5,9}.rrl {−2,2 − (−10); 7,5 − 5; −5,9 − (−10)}, l {7,8; 2,5; 4,1}.rrrг) 2 а (2⋅(−1); 2⋅1; 2⋅1), 2 а {−2; 2; 2}, 3 b {0; 6; −6}.rrr r r r2 b {0; 4; −4}, а −2 b = f , f {−1−0; 1−4; 1−(−4)}, f {−1; −3; 5}.rr r r r2 а +3 b = e , e {−2+0; 2+6; 2+(−6)}, e {−2; 8; −4}.rrrrrа − b = g , g {−1−0; 1−2; 1−(−2)}, g {−1; -1; 3}.rrr2( а − b )=2 g ={-2;-2;6}7rrrrСледовательно веутор (2 а +3 b )−( а −2 b ) имеет координатыrr{−2−(−1); 8−(−3); −4−5}, или {−1; 11; −9} и значит (2 а +3 b )−rrr r-( а −2 b )+2( а − b ) имеет координаты {−1+(−2); 11+(−2); −9+6},или {−3; 9; −3}.412.