atnasyan-gdz-11-2001 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 2

Для вектораriпротивоположным будет вектор с обратным знаком:r- вектор (− j ) и т. д.rrrrrri {1; 0; 0}; − i {−1; 0; 0}, j {0; 1; 0}; − j {0; −1; 0}, k {0; 0; 1}; − k {0; 0; −1},rrrrrа {2; 0; 0}; − а {−2; 0; 0}, b {−3; 5; −7}; − b {3; −5; 7}, с {−0,3; 0; 1,75};r− с {0,3; 0; −1,75}.rr(− i ), для jrr413. а) Координаты вектора а {3; 6; 8} и вектора b {6; 12; 16}13 68=, где k= .пропорциональны: =6 12 162rrrrПоэтому а =k b , и, следовательно, векторы а и b коллинеарны.rrб) Координаты вектора с {1; −1; 3} и вектора d {2; 3; 15} не пропор-циональны, например1 1≠2 3Следовательно векторыr rс и d не коллинеарны.rrв) Координаты вектора i {1; 0; 0} и вектора j {0; 1; 0} не пропорцио-rrнальны, следовательно, векторы i и j не коллинеарны.rrг) Координаты вектора m {0; 0; 0} и вектора n {5; 7; –3} пропорциоrrrнальны при k=0, следовательно, векторы m и n коллинеарны.

m =0 коллинеарен любому вектору.r 1rд) Координаты вектора р { ; −1; 5} и вектора q (−1; −3; −15} не про313−1порциональны, например≠−1 − 3rrПоэтому векторы р и q не коллинеарны.414. Для коллинеарных векторов существуют коэффициент k такой, чтоr r xa y a z a===k.а =k b ;zbxb y bа)15 m 1 5== = ,18 12 n 6m=85⋅12=5⋅2=10,6б)m1(− )2m=−=0,41=− ,n511⋅(− )=0,1,5261=1 =1,2;n=−0,4⋅5=−2.55rrr415. а) Векторы а {−3; −3; 0}, i {1; 0; 0} и j {0; I; 0} являются комплаr r rнарными, т.к., записав равенство а =x i +y j через координаты, получимn=⎧− 3 = 1 ⋅ x + 0 ⋅ y,⎪⎨− 3 = 0 ⋅ x + 1 ⋅ y,⎪0 = 0 ⋅ x + 0 ⋅ y ,⎩Векторторы⎧ x = − 3,⎨⎩ y = −3.r r rrа можно разложить по векторам i и j : а =–3j–3j. Значит век-r r rа , i и j компланарны.r rrб) Запишем равенство b =x i +y j через координаты:⎧ 2 = 1⋅ x + 0 ⋅ y⎪⎨ 0 = 0 ⋅ x + 1⋅ y⎪− 3 = 0 ⋅ x + 0 ⋅ y⎩r r rСистема не имеет решений, следовательно, b , i и j не компланарны.rrr r rв) Запишем равенство с =x i + k у через координаты: с {1; 0; −2}, i {1; 0; 0},rk {0; 0; 1}.⎧1 = 1 ⋅ x + 0 ⋅ y,⎪⎨0 = 0 ⋅ x + 0 ⋅ y ,⎪− 2 = 0 ⋅ x + 1 ⋅ y,⎩⎧ 1 = x,⎪⎨ 0 = 0, ⇒⎪ − 2 = y.⎩r r rс = i -2 kr r rЗначит, векторы с , i и k компланарны.rrrrrтора d не пропорциональны координатам вектора e .

Если вектор f {5; -1; 0}r rr rrможно разложить по векторам d и e , то это значит, что векторы d , e и fr rrкомпланарны. В противном случае векторы d , e и f не компланарны.rrrЗапишем f =x d +y e в координатах, получимг) Векторы d {1; −1; 2} и e {−2; 0; 1} не коллинеарны, т.к. координаты век-⎧5 = x − 2y⎪⎨ − 1 = −x⎪0 = 2x + y⎩rСистема имеет решение: х=1, у=−2. Поэтому вектор f можно разложитьr rrrrпо векторам d и e , и, следовательно, векторы d , e и f компланарны.rrrд) Запишем равенство m =х n +у р в координатах:2=1⋅х+0⋅у,r r rСистема не имеет решений. Поэтому векторы m , n и р не компланарны.9rrrе) Запишем равенство q =x r +y s в координатах:⎧0 = 3 x + y ,⎪⎨5 = 3 x + y ,⎪3 = 3 x + 4 y ,⎩⎧⎪ y = −3x⎪⎨ y = 5 − 3x⎪33⎪⎩ y = − 4 − 4 xrrrСистема не имеет решений. Поэтому векторы q = r + s не компланарны.13; 0,75; −2 ), т.к. согласно п.44, коор34динаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиусвектора.417.

ОA {2;−3;0}, OB {7; −12; 18} ОС {−8; 0; 5}, т.к. если О — начало координат, то ОА, OB и ОС — являются радиус-векторами для точек A, B и Си согласно п.44 имеют координаты.418. а) АВ{2−3; −1+1; 4−2}, АВ {−1; 0; 2};б) AB {3+2; −1−6; 0+2}, AB {5; −7; 2};1 5 1 111 11в) АВ { −1; − ; − }, АВ {- ;− ; − }23 6 4 22 22419. А (1; 6; 2) и В (2; 3; −1). Координатами вектора АВ будут:АВ {хВ−хА; уВ− уА; zB − z A}, AB {2−1; 3−6; −1−2}, AB {1; −3; −3}.416. А (3, 2; 1); B (1; −3; 5); С (−rrrРазложив по координатным векторам i {1; 0; 0}, j {0; 1; 0} и k {0; 0; 1},rrrполучим: AB= i −3 j − 3 k .Точки В (2; 3; −1) и С (−3; 4; 5) —концы вектора ВС.BC {−3−2;4−3; 5+1},BС {−5; 1; 6},rТочки А (1; 6; 2) и С (−3; 4; 5) —концы вектора CA.СA {1+3; 6−4; 2−5},СA {4; 2; −3},rrrrBC=−5 i + j +6 k .rCA=4 i +2 j −3 k .420. Определим координаты: АВ {2−3; 3+1; −4−5}, АВ {−1; 4; −9},DС {7−8; 0+4; −1−8},DС{−1; 4; −9}.Т.к.

AB и DC имеют одинаковые координаты, то1) их длины равны;2) если их отложить от начала координат, то эти векторы совпадут.Значит, векторы AB и DC равны, что и требовалось доказать.Рассмотрим векторы ВС и AD.ВС {7−2; 0−3; −1+4}, ВС{5; −3; 3}. AD{8−3; −4+1; 8−5}, AD {5; −3; 3}.У векторов ВС и AD тоже совпадают координаты, а значит, рассуждаяаналогично, получим, что векторы совпадают.421. а) Если векторы AB и AC коллинеарны, то точки А, В и С лежат наодной прямой, а если не коллинеарны, то точки А, В и С не лежат на однойпрямой.

Вычислим координаты этих векторов: AB {−8; 11; −7},AC {24; −33; 21}. Заметим, AC=−3АВ, следовательно, векторы AB и АСколлинеарны, т.е. точки A, В и С лежат на одной прямой.б) Найдем координаты векторов AB и AC. AB {9; −15; −9},10AC {18; −30; −18}. Очевидно, что AC=2⋅AB, поэтому векторы AB и ACколлинеарны, значит точки А, В, и С лежат на одной прямой.В) Найдем координаты векторов AB и AC. AB {1; −9; 9}, AC {2; −18; −14}.Векторы AB и AC не коллинеарны, значит, точки A, B и С не лежат на одной прямой.422.

Рассмотрим векторы DA, DB, DC.а) Вычислим координаты векторов DA, DB и DC:rrrDC {−1; −1; -4}= c .r rrЗапишем равенство a =m b +n c в координатах (условие компланарности):DA {−2; −13; 3}= a ,⎧ xa = mxb + nxc ,⎪⎨ ya = myb + nyc ,⎪ z = mz + nz ,bc⎩ aDB {1; 4; 1}= b⎧m = n − 2 ,⎪⎨4m = n − 13,⎪m = 3 + 4 n ,⎩⎧− 2 = m − n ,⎪⎨− 13 = 4m − n ,⎪3 = m − 4n ,⎩⎧m = n − 2,⎪⎨n − 2 = 3 + 4n ,⎪4m = n − 13,⎩⎧n = − 5 ,⎪3⎨11⎪m = − .3⎩445−5 − 39=− −13=.Получаем равенство: −333511DB− DC.33По определению векторы DA, DB и DC компланарны. Следовательно,точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.б) Определим координаты предполагаемых векторов:Признак компланарности векторов выполняется DA=−rrrAD {2; −1; 3}= d ,AB {3; 3; −1}= b ,AC {−2; −4; 0}= c .Признак компланарности векторов в координатах:⎧x d = mx b + nx c ,⎧2 + 2n = 3m,⎧2 = 3m − 2n ,⎪⎪⎪⎨− 1 = 3m − 4n ,⎨4n = 3m + 1,⎨ y d = my b + ny c ,⎪z = mz + nz ,⎪3 = − m − 0 ⋅ n ,⎪m = −3,bc⎩⎩⎩ d⎧ 2 + 2 n = −9 ,⎪⎨ 4 n = −8 ,⎪m = −3,⎩⎧n = −5,5,⎪⎨ n = −2 ,⎪ m = − 3.⎩Система не имеет решений, следовательно, условие компланарностивекторов не исполняется, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.в) Рассмотрим векторы:rAD {−4; 2; −2}= d ,rAB {−7; 8; 1}= b ,rAC (7; −14; −7}= c .rr rПризнак компланарности векторов d =m b +n c в координатах x, y, z:⎧ xd = mxb + nxc⎪⎨ yd = myb + nyc ;⎪ z = mz + nzbc⎩ d⎧− 4 = −7 m + 7 n⎪⎨2 = 8m − 14n⎪− 2 = m − 7 n⎩;⎧7 m = 7 n + 4⎪⎨8m = 2 + 14n ;⎪m = 7 n − 2⎩11⎧6m = 6,⎪⎪m2⎨n = 7 + 7 ,⎪⎪⎩8m = 2 + 14n ,⎧7 n = m + 2,⎪⎨7 m = ( m + 2) + 4,⎪8m = 2 + 14n ,⎩⎧⎪m = 1,⎨3⎪⎩n = 7 .Подставляя эти значения в третье уравнение, получаем равенство:8=2+14 ⋅ 3; 8=8.733.

AD=AB+ AC.77При этом все три вектора отложены из одной точки, значит, точки А, В, С иD лежат в одной плоскости.423. Пусть AA1, BВ1 и CC1 — медианы треугольника ABC, а M — точкаих пересечения. Докажем, что точка M имеет координатыx +x +xy + y 2 + y3 z1 + z 2 + z3( 1 2 3 ; 1;).333Координаты точки равны координатамее радиус-вектора. Выберем произвольноначало координат и начертим радиус-век-Следовательно, векторы компланарны при m=1, n=→→→→торы ОМ , ОС , ОВ , и ОА . Их координаты будут соответствовать координатамточек M, С, В, А соответственно. По теореме о точке пересечения медиан тре→→угольника АМ =2 МА1 .→→→→→→→→Так как АМ = ОМ − ОА , МА1 = ОА1 − ОМ , то, подставив эти разностив наше равенство, получим:→→→→→→ОМ − ОА =2( ОА1 − ОМ ), или ОМ + 2 ОМ = ОА + 2 ОА1 ,→→→или 3 ОМ = ОА +2⋅→→→→→OC+ OBOC+ OB, т.к.

ОА1 =.22→→→OA + OB+ OCили,2x +x +xy + y2 + y3 z1 + z2 + z3;). Доказано.М( 1 2 3 ; 1333424. Координаты середины отрезка выражаются через координаты егоначала и конца:Следовательно, ОМ =111(хA+хв), уМ= (уА+уB), zM= (zA+zВ). Подставим координаты дан222ных нам точек:хМ=121151(0−2); хМ=-1, уМ= (3+2), уМ= =2,5; zМ= (−4+0), zМ=−2;2222111б) 3= (14+xB), xB=−8; −2= (−8+yB), yB=4; −7= (5+zB); −14=5+zB, zB=−19;222111в) −12= (xA+0), хA=−24; 4= (yA+0), yA=8,15= (zA+2), zA=28.22211425.

Пусть M — середина отрезка AВ. Тогда хМ= (хA+хв), уМ= (уА+уB),221zM= (zA+zВ). Т.к. точка лежит на Ох по условию, то справедливо:2111хМ= (хA+хв),0= (уА+уB),0= (zA+zВ).222a) хМ=⎧ x = 1 ( −3 + 2 ) ⎧ m = 1⎪2⎪ M 25⎪⎪ nа) ⎪0 = 1 (m − 2); ⎨ =−⎨222⎪⎪⎪0 = 1 (5 + n )⎪x = − 3 + 12⎪⎩ M⎩2⎧m = − 1⎧x = 1 (1 + 1)4⎪2⎪ M 2б) ⎪⎨0 = 1 (0,5 + m) ; ⎪⎨ 2n = 222⎪⎪⎪0 = 1 ( −4 + 2n ) ⎪x M = 12⎩⎩⎧x = 1 (0 + 1)⎪ M 2в) ⎪⎨0 = 1 (m + n )2⎪⎪0 = 1 ( n + 1 − m + 1)2⎩⎧x = 1⎪ M 2⎪⎨m = − n ;⎪2 m = 2⎪⎩r426.

| а |=х2 + у2 + z2⎧⎪m = 2⎪; ⎨n = −5 .⎪1⎪⎩x M = − 2⎧m = − 1 = −0,52⎪⎪; ⎨n = 2.⎪x = 1M⎩⎪⎧x = 1⎪ M 2⎪; ⎨m = − n⎪nm⎪⎩ 2 + 1 = 2⎧x = 1⎪ M 2⎪; ⎨m = − n ;⎪m = n + 2⎪⎩⎧x = 1⎪ M 2⎪⎨m = 1 .⎪n = −1⎪⎩по определению, тогда|AB|= ( х2 − х1 )2 + ( у 2 − у1 )2 + ( z 2 + z1 )2 , где А (х1; y1; z1), B (х2; у2; z2).а) A (−1; 0; 2), B (1; −2; 3),|AB|= (1 + 1) 2 + (−2 − 0) 2 + (3 − 2) 2 ,|AB|= ( 4 + 4 + 1 ) =3;б) A (−35; −17; 20), B (−34; −5; 8),|AB|= (−34 + 35) 2 + (−5 + 17) 2 + (8 − 20) 2 ,|AB|= 12 + 122 + (−12) 2 = 289 =17.13r427. | а |=х2 + у2 + z 2r, тогда | а |= 52 + (−1) 2 + 7 2 = 75 = 25 ⋅ 3 =5 3 ,r| b |= ( 2 3 ) 2 + (−6) 2 + 12 = 4 ⋅ 3 + 36 + 1 = 49 =7;r r r rrrс = i + j + k имеет координаты: с {1; 1; 1}, | с |= 12 + 12 + 12 = 3 .rrr rd =−2 k ; d {0; 0; −2}, ⇒ | d | = 02 + 02 + (−2) 2 = 2rrm {1; −2; 0}, | m |= 12 + (−2) 2 + 0 = 5rr428.