atnasyan-gdz-11-2001 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 10

S сеч = BC ⋅ PA, Sсеч = 2h ⋅ 2h = 2h 2 ,223= 2 ⋅100 = 200 см2.Итак, CA =S сечODб) ∠РАО= 45o. PA = h 2 см = 10 2 см, OA = h, CA =h3,h21001 2h⋅⋅h 2 =⋅ 6=6 см2.33233hhв) ∠PAO = 60o ;,= tg 60o = 3 ; OA =OA3BC =2hCA =; Sсеч =OA3=h( 3)2=hhh⋅22hсм, CB ==см, PA =см.33sin 60 o32 3 ⋅100 200 31 2 h 2h 2h 2 2 h 2⋅⋅==см2. S сеч =см2.=2 3 39993 3556. Дано: α ⊥ оси конуса РО.Докажем, что1) сечение конуса плоскостью α будет кругом сцентром в точке О1;PO12) r1 =r.POВозьмем некоторую точку M 1 ∈ α и точку M 1 ∈ O1 ( r1 ). (на плоскостиS сеч =α строим окружность с центром в точке О1 и радиуса r и на этой окружности выбираем произвольную точку М1).Через точку Р и точку М1 проводим прямую РМ1, которая пересечетплоскость основания конуса в точке М. ∆РО1М1∼∆РОМ как прямоугольные,имеющие одинаковый острый угол.PO ⋅ O1 M 1PO1 O1 M 1 PM 1PO==; OM ==⋅ r1 = r = const при заданPOPOPMPO1PO1ной точке Р и окружности O1( r1 ).Тогда: точка М — произвольная, значит, все точки луча РМ1, пересекающие плоскость основания конуса, лежат на окружности О(r), т.е.

равноуда67лены от некоторой точки О на расстояние r, что видно из формулы. РМ —образующая конуса по определению.4) Образующие составляют коническую поверхность, поэтому докажем,что существует произвольная точка M1 ∈ α , M1 ∈ PM такая, чтоM 1 ∈ O1 (r1 ).5) ∆РО1М1 ∼ ∆РОМ (РМ — образующая).PO1PO1O1 M 1 =⋅ OM =⋅ r = r1 = const при заданной точке Р и r.POPOТогда: эта окружность будет сечением боковой поверхности, а круг, границей которого является O1 ( r1 ), будет сечением конуса плоскостью α.557.

См. рисунок к задаче 556:O1 M 1 PO1=, илиOMPOr1 PO1=; S1 = πr12 ; S 2 = πr22 .r2POS1PO12Запишем отношение: 2 =; π =.2S2r2POPO 2πr12558. 1) Sбок =πl 2α360oPO12= πrl ;2) l = r 2 + H 2 = 9 + 16 = 5 (см);3)π ⋅ 25 ⋅ α360o= π⋅3⋅5 ⇒ α =559. r = l cos 60o =Sбок =πl 2α360o360o ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 5= 72o ⋅ 3 = 216o.π ⋅ 2511, r= .22= π ⋅ r ⋅ l.Вычислим градусную меру дуги α: α =560.

Обозначим ∠APO = x.πl 2α360 or=π ⋅ l2 ⋅ 2= 180o.= π ⋅ r ⋅ l , где l = AP, r = OA.πl 2ααl=.o360 ⋅ πl 360 oа) r =68360o ⋅ π ⋅ l ⋅ l90 o ⋅ l 160 o ⋅ l 1180 o ⋅ l 1= ; в) r == .= ; б) r =oo246360360360 oИз ∆АРО: sin x =AO r= .PA l1o, x = 30 o , ∠ APB = 2 x = 60 ;211б) sin x = , x = arcsin , ∠ APB = 2 arcsin44111в) sin x = , x = arcsin , ∠APB = 2 arcsin .666а) sin x =1;4561. По условию r = 9 см, ϕ = 120o.Пусть l — длина дуги сектора, получающегося в результате разверткиконуса.l=2πrϕ2π ⋅ 9 ⋅ 120o= 6π .360o360oС другой стороны l — это длина окружности основания конуса, тогдаl6πрадиус основания R=== 3 см.2π 3π=Тогда Sосн = πr 2 = 9π см2.H = r 2 − R 2 = 81 − 9 = 72 = 6 2 см.562. ∆АОР — равнобедренный;r = OA = l sin 45 o =6 ,5 ⋅ 2; Sбок = πrl ,26,5 ⋅ 2⋅ 6 ,5 = 169 π 2 см2.82563.

Дано: H = 1,2 см, S сеч = 0 ,6 см2.Sбок = π ⋅1) Sполн = πr (l + r );11AB ⋅ PO = ⋅ 2r ⋅ H = r ⋅ H,220,6 6 1см;0,6 = r ⋅ 1,2r ===1,2 12 22) SAPB =l = H 2 + r 2 , l = 1,44 + 0,25 = 1,69 = 1,3 см;4) S полн = π ⋅ 0 ,5( 0 ,5 + 1,3 ) = π ⋅ 0 ,5 ⋅ 1,8 = 0,9π см2.564. По теореме синусов:aa= 2 r , следовательно, r =2 sin αsin αrr=cos ϕ , следовательно l =,lcos ϕ69l=a; Sполн = πr (r + l), тогда2 sin α cos ϕSполн = π ⋅=⎞a ⎛ aa⎜⎟=+2 sin α ⎜⎝ 2 sin α 2 sin α cos ϕ ⎟⎠a21πa 2 (1 + cos ϕ)πa⋅⋅ (1 +)=.cos ϕ2 sin α 2 sin α4 sin 2 α cos ϕ565. При вращении получим коническую поверхность.S бок = πrl, S полн = πr (l + r ).l = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 10 (см);S бок = π ⋅ 8 ⋅10 = 80π (см2);S полн = π ⋅ 8(10 + 8) = 18 ⋅ 8 ⋅ π = 144π (см2).566.

Sбок = 2Sбок =πrl.r = m sin ϕ , l = m;Sбок = πm sin ϕ ⋅ m = πm 2 sin ϕ;S пов = 2πm 2 sin ϕ.567. Дано: r1 = 3 см, r2 = 6 см, H = 4 см.Проведем А1М ⊥ ОА.А1М=Н=4 см, АМ=3 см,A1A = H 2 + AM 2 = 16 + 9 = 5 (см).568. Проведем А1М ⊥ ОА.А1М=О1О=Н см, АМ=6 см.а) H = 102 − 62 = 100 − 36 = 8 см;б) Sсеч=Sтрапеции SAA O O = 5 + 11 ⋅ 8 = 16 ⋅ 4 = 64 см2,1 12S сеч = 128 см2.569. Осевое сечение усеченного конуса—равнобедреннаятрапециясоснованиями 2r и 2R.

Вычислим высотутрапеции ОО1=Н. АК=R — r, ∆АВК —прямоугольный равнобедренный, ВК=О1О=Н=R — r.BC + AD2r + 2RS ABCD =⋅H =⋅ ( R − r ) = = (R + r )(R − r ) = R 2 − r 2 .22570. Дано S бок = 80 см2, PO = OM, CD⊥PM.Sбок = π(r + r1 )l, где r = OC , r1 = MA, l = CA. СО— средняя линия в ∆АРМ, АС=СР.Sбок = πr1 AP. Обозначим AC = CP = l, тогда70πr1 ⋅ 2l = 80, или πr1l = 40 (*).

∆POC ∼ ∆PMA.rPO OC PC rlr 1==;= ⇒ = , r= 1.r1 22PM MA PA r1 2lИз (*) l =r140 π ⋅ 3r1 ⋅ 4040; Sбок = π( + r1 ) ⋅== 60 .πr2πr12πr1571. Пусть CB = r1 , AD = r, l = DC ,H = BA.Проведем CM⊥DA.Из ∆DCM : DM = 3 2 cos 45 o =3 2⋅ 2=3;2DA = r = 3 + 4 = 7 см.Sбок = π(r + r1 )l; S бок = π(4 + 7)3 2 = π ⋅ 11 ⋅ 3 2 = 33 2 π см2;S полн = S бок + π(r12 + r22 ),S полн = 33 2 π + π(16 + 49) = 33 2 π + 65π.572.

Дано: 1 м2 – 150 г, N=100 ведер.S бок = π(r + r1 )l,S осн = πr12 , S полн = [π(10 + 15)30 + π ⋅10 2 ] ⋅ 2 == 2[π ⋅ 25 ⋅ 30 + 100 π] = 2 π[750 + 100 ] = 850 ⋅ 2 π = 1700π см2;1 м – 100 см,1 м2 – 104 см2,хм2 – 1700π см2,1700πx== 0,17π м2.100 ⋅ 100S = 0,17π м2; 100S = 17π м2.Расход краски составит: 0,15 ⋅17 π = 2,55π кг≈8,012 кг.573. Через три точки проходит единственная плоскость, тоесть через точки А, В и О. Сечение — это окружность,проходящая через центр сферы.а) Проведем радиусы ОА и ОВ.

∆АОВ — равнобедренный, ОМ — медиана. Тогда, ОМ также и высота, тоесть ОМ ⊥ АВ.б) Если ОМ ⊥ АВ, то ∆ОМА=∆ОМВ. (ОМ — общийкатет, ОА=ОВ=R). тогда, МА=МВ, точка М — середина АВ.574. Проведем секущую плоскость через точки А, В иО. Сечение серы этой плоскостью будет окружностьюрадиуса R с центром в точке О. ОМ — медиана вравнобедренном ∆АОВ, поэтому ОМ⊥АВ.а) R=50 см, АВ=40 см.1AM = AB = 20 см.2Из ∆АОМ: OM = OA 2 − AM 2 =R 2 − AM 2 = 502 − 202 =71= 2500 − 400 = 2100 = 10 21 см;б) R=15 мм, АВ=18 мм.1OM = R 2 − ( AB)2 = 152 − 92 = 144 = 12 мм;2в) R=10 дм, ОМ=60 см, найти АВ. ОМ=60 см=6 дм.AM = OA 2 − OM 2 = 102 − 62 = 64 = 8 дм, AB = 2 AM = 16 дм;г) R=а, ОМ=b.AM = OA 2 − OM 2 = R 2 − OM 2 = a 2 − b 2 .575.

Проведем плоскость через точки А, В и точку О— центр сферы. В сечении получим окружность радиусаR, проходящая через центр сферы. В равнобедренном∆ОАВ проведем ОМ⊥АВ. ОМ — высота в равнобедренном треугольнике, таким образом, ОМ — медиmана, MA = MB = . ОМ — искомое расстояние.2OM = OA2 − MA2 = R 2 −m2=44R 2 − m2.2576.

а) A( 2;−4;7 ), R = 3.( x − xo )2 + ( y − yo )2 − ( z − zo )2 = R 2 имеем:( x − 2 )2 + ( y + 4 )2 − ( z − 7 )2 = 9;б) A( 0;0;0 ), R = 2 , x 2 + y 2 + z 2 = 2; аналогично (a)в) A( 2;0;0 ), R = 4, ( x − 2 )2 + y 2 + z 2 = 16 , аналогично (a).577. а) A( −2;2;0 ), N ( 5;0;−1 ).Уравнение2сферы2сцентром2вточкеC ( xo ; yo ; z o ) имеет вид:2( x − xo ) + ( y − yo ) − ( z − zo ) = R .В нашем случае оно имеет вид: ( x + 2 )2 + ( y − 2 )2 + z 2 = R 2 .Т.к. точка N лежит на сфере, то ее координаты удовлетворяют данномууравнению:( 5 + 2 )2 + ( 0 − 2 )2 + ( −1 )2 = R 2 , 49 + 4 + 1 = R 2 , R 2 = 54 ,поэтому уравнение сферы имеет вид: ( x + 2 )2 + ( y − 2 )2 + z 2 = 54;а) A( −2;2;0 ), N ( 0;0;0 ). ( x − xo )2 + ( y − yo )2 + ( z − zo )2 = R 2( x + 2 ) 2 + ( y − 2) 2 + z 2 = R 2 .(0 + 2) 2 + (0 − 2) 2 + 0 2 = R 2 , 4 + 4 = R 2 , R 2 = 8.Уравнение имеет вид: ( x + 2 )2 + ( y − 2 )2 + z 2 = 8 ;72б) A( −2;2;0 ), N ( 5;3;1 ).( x − 0 )2 + ( y − 0 )2 + ( z − 0 )2 = R 2 , x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ,5 2 + 3 2 + 12 = R 2 , 25 + 9 + 1 = 35, R 2 = 35.Уравнение имеет вид: x 2 + y 2 + z 2 = 35.578.

а) x 2 + y 2 + z 2 = 49.( x − xo )2 + ( y − yo )2 + ( z − zo )2 = R 2 , где R — радиус сферы, ( x o ; yo ; z o )— координаты точки С, центра сферы. В нашем случаеx − x o = x; y − y o = y ; z − z o = z , поэтому x o = 0; y o = 0; z o = 0 ,а R = 49 = 7. Координаты центра (0;0;0), радиус: 7.б) ( x − xo )2 + ( y − yo )2 + z 2 = 2.( x − xo )2 + ( y − yo )2 + ( z − zo )2 = R 2 , x − 3 = x − x o , xo = 3;y + 2 = y − y o , yo = −2; z − z o = z , z o = 0; 2 = R 2 , R = 2 .Координаты центра: (3;–2;0), радиус:2.579. а) x 2 − 4 x + y 2 + z 2 = 0 ,x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 4 = ( x 2 − 4 x + 4 ) + y 2 + z 2 − 4 = 0,( x − 2 )2 + y 2 + z 2 = 22 − уравнение сферы.Координаты центра (2; 0; 0), радиус: 2;б) x 2 + y 2 + z 2 − 2 y = 24,x 2 + ( y 2 − 2 y + 1 ) − 1 + z 2 = 24 ,x 2 + ( y − 1 ) + z 2 = 25 = 52.Координаты центра (0; 1; 0), радиус: 5;в) x 2 + 2 x + y 2 + z 2 = 3,( x 2 + 2 x + 1 ) − 1 + y 2 + z 2 = 3,( x + 1 ) + y 2 + z 2 = 4 = 22 — уравнение сферы с центром (01; 0; 0), радиус: 2;г) x 2 − x + y 2 + 3 y + z 2 − 2 z = 2 ,5,111399( x 2 − 2 ⋅ x + ) − + ( y 2 − 2 ⋅ y + ) − + ( z 2 − 2 z + 1 ) − 1 = 2 ,5,244244221⎞ ⎛3⎞1 910⎛⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ + ( z − 1 )2 = 2,5 + + + 1 = 2,5 + + 1 =22444⎠⎝⎠ ⎝= 2,5 + 2,5 + 1 = 5 + 1 = 6 = ( 6 ) 2 ,221⎞ ⎛3⎞⎛⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ + ( z − 1 )2 = ( 6 )2 — уравнение сферы; в точке с ко2⎠ ⎝2⎠⎝⎛1 3 ⎞ординатами ⎜ ;+ ;1⎟ расположен ее центр, радиус равен⎝2 2 ⎠6.73580.

Сечение шара плоскостью — это круг. ОВ ⊥ плоскости сечения,ОВ=9 дм, ОА=R.Из прямоугольного треугольника ОВА:AB = OA 2 − OB 2 = R 2 − OB 2 == 412 − 9 2 = 1681 − 81 = 1600 = 40 дм.Площадь круга в сечении:S = π( AB ) 2 = π ⋅ 40 2 = 1600π дм2.581. Плоскость треугольника АВС пересекает сферус центром в точке О по окружности, которая описанаоколо ∆АВС. Из точки О проведем ОКперпендикулярно плоскости АВС, ОК — искомоерасстояние, точка К — центр описанной около ∆АВСокружности.

Соединим точку К с одной из вершин∆АВС, например, с А, проведем радиус в точку А.∆ОКА — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:OK = OA 2 − KA 2 = 13 2 − AK 2 .Найдем длину АК.AB ⋅ CB ⋅ CAAK =, S ∆ABC = p( p − AB )( p − AC )( p − CA ) ,4 ⋅ S ∆ABC6 + 8 + 10= 12 , S = 12 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 6 ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 6 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 см2,26 ⋅ 8 ⋅ 10 24 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 522= 5 см, OK = 13 − 5 = 169 − 25 = 144 = 12 см.=AK =4 ⋅ 2424 ⋅ 4582. Плоскость прямоугольника пересекает сферу по окружности, котораябудет описанной около прямоугольника ABCD.