mordkovitch-gdz-11-2001 (Алгебра и начала анализа 10-11 класс - Задачник - Мордкович), страница 2

а) y = 1 − x 2 , y = -x-1; 1 − x = − x − 1 ; x 2 − x − 2 = 0 ; x = −1, x = 2;122∫∫∫S = (1 − x 2 )dx + (−1 − x )dx − (1 − x 2 )dx =−1−11⎛x ⎞⎟= ⎜x −+⎜3 ⎟⎠⎝−1312⎛x⎞⎛x3⎜+ x⎟ − ⎜x −⎜ 2⎟⎜3⎝⎠ −1 ⎝22⎞⎟ =⎟⎠11118121 7= 1 − + 1 − + 2 + 2 − + 1 − 2 − − 1 + = 2 − + 5 − − + 1 = 4,5.3323332 3б) y = x 2 -3x + 2, y = x-1; x 2 − 3x+2=x − 1 ; x 2 − 4x + 3 = 0 ; x = 3, x = 1;3333⎛ x2⎞⎛ x3 3⎞S = ∫ (x − 1)dx − ∫ (x 2 − 3x + 2)dx = ⎜− x ⎟ − ⎜ − x 2 + 2x ⎟ =⎜⎟⎜⎟23211⎝⎠1 ⎝⎠113=91271 332 11 4− 3 − +1− 9 +− 6 + − + 2 = −15 ++ = 1+ = .2223 22 33 3в) y = x 2 -1, y = 2x + 2; x 2 − 1 = 2 x + 2 ; x 2 − 2x − 3 = 0 ; x = 3, x = −1;33−1−1(S = ∫ (2x + 2)dx − ∫ (x 2 − 1)dx = x 2 + 2x)3⎛ x3⎞−⎜ − x⎟ =⎟−1 ⎜⎝ 3⎠ −1312= 9 + 6 − 1 + 2 − 9 + 3 − + 1 = 10 .33г) y= − x 2 +2x+3, y=3 − x; − x 2 +2x+3=3 − x ; − x 2 + 3x = 0 ; x = 0, x = 3;3333⎛ x3 3 ⎞S = ∫ (− x 2 +2x+3)dx − ∫ (3 − x)dx= ∫ (− x 2 +3x)dx= ⎜ − + x 2 ⎟ =⎜ 3 2 ⎟000⎝⎠0= −9 +27= 4,521037.

а) y = x 2 -4x, y = −(x-4) 2 ; x 2 − 4 x = − x 2 + 8x − 16 ;2x 2 − 12x + 16 = 0 ; x 2 − 6 x + 8 = 0 ; x = 2, x = 4;4⎞4 ⎛ x31S = ∫ (−(x − 4) )dx − ∫ (x − 4x)dx = − (x − 4)3 − ⎜ − 2x 2 ⎟ =⎜⎟23322⎝⎠424228 64864 8=0− −+ 32 + − 8 = 24 −= .3 333 3б) y = x 2 + 2x-3, y = − x 2 + 2x + 5; 2x 2 − 8 = 0 ; x = ±2 ;2∫S=2∫(− x 2 + 2 x + 5)dx − ( x 2 + 2x − 3)dx =−2−222⎛ x3⎞⎛ x3⎞= ⎜−+ x 2 + 5x ⎟ − ⎜+ x 2 − 3x ⎟ =⎜ 3⎟⎜⎟⎝⎠ −2 ⎝ 3⎠ −2888832 64= − − 4 + 10 − − 4 + 10 − − 4 + 6 − + 4 + 6 = 32 −= .333333в) y = x 2 -6x + 9, y = (x + 1)(3-x); ( x − 3) 2 = ( x + 1)(3 − x ) ;( x − 3)( x − 3 + x + 1) = 0 ; x = 3, x = 1;33⎛ x3⎞13S = ∫ (x + 1)(3 − x)dx − ∫ (x − 3) 2 dx = ⎜ − + x 2 + 3x ⎟ − ( x − 3) =⎜⎟11⎝ 3⎠1 3331187 8= −9 + 9 + 9 + − 1 − 3 − = 5 − = .333 314г) y = x 2 -4x + 3, y = − x 2 + 6x − 5; x 2 - 4x + 3 = − x 2 + 6x − 5 ;2x 2 - 10x + 8 = 0 ; x 2 - 5x + 4 = 0 ; x = 4, x = 1;44∫∫S = (− x 2 + 6 x − 5)dx − ( x 2 − 4x + 3)dx =1144⎛ x3 5⎞= ∫ ( −2x 2 + 10x − 8)dx = 2 ⎜ − + x 2 − 4x ⎟ =⎜⎟1⎝ 3 2⎠11 55⎛ 64⎞= 2 ⎜ − + 40 − 16 + − + 4 ⎟ = 2(28 − 21 − 2,5) = 2 ⋅ 7 − 2 ⋅ = 9.3 22⎝ 3⎠π1038.

а) y = cos x, y = − x, x = 0; x = ;2π2∫ cos xdx = sin xπ20=1;0π π 1 π2⋅ ⋅ =+1.2 2 28S = 1+π2б) y = sin 2x, y = x- , x = 0;π2πS = ∫ sin 2xdx +0π π 111 1 π2π2⋅ ⋅ = − cos 2 x 02 = + += 1+ .2 2 222 2 88π2в) y = sin x, y = − x, x = 0, x = ;π2πS = ∫ sin xdx +0π π 1π2⋅ ⋅ = − cos x 02 = 1 + .2 2 28x2г) y = cos , y = x − π, x = 0, x = π;ππx1 π2xπ2S = ∫ cos dx + π ⋅ π ⋅ =+ 2sin= 2+ .22 2202000(x 2 -2x)(3-2x)2 ⎞3 213⎛3dx= ∫ (3x-2x 2 )dx= ⎜ x 2 - x 3 ⎟ = − − = − .x-223236⎝⎠−1−1−101039. а) ∫3 (x 2б) ∫− 4)(x 2 − 1)x2 + x − 223322dx = ∫ (x − 2)(x + 1)dx = ∫ (x 2 − x − 2)dx =3⎛x⎞x989 8 11=⎜−− 2x ⎟ = 9 − − 6 − + 2 + 4 = 9 − − = .⎜ 3⎟2232 3 6⎝⎠232153 (x 2в) ∫233− 3x + 2)(2 + x)dx = ∫ (x − 2)(x + 2)dx = ∫ (x 2 − 4)dx =x −1223⎛ x3⎞88 7= ⎜ − 4x ⎟ = 9 − 12 − + 8 = 5 − = .⎜ 3⎟33 3⎝⎠21г) ∫−1(9 − x 2 )(x 2 − 16)2x − 7x + 121dx = − ∫ (9 + x)(4 + x)dx =−11⎛ x 3 13x 2⎞= ∫ (− x − 13x − 36)dx = ⎜ − −− 36x ⎟ =⎜⎟32−1⎝⎠ −1121 131 132= − − − 36 − + − 36 = −723 23 23π2π121040.

а) ∫ sin 2x cos3xdx= ∫ (sin 5x − sin x)dx=2001⎛1⎞− ⎜ cos5x + cos x ⎟2⎝ 10⎠π20=1 5− =-0,4.10 10πx1π12 32π π πб) ∫ cos 2 dx= ∫ (1+ cos x)dx= ( x+sin x ) π = − −= π−.22π22 84 84π444π3π13в) ∫ cos 7x cos5xdx = ∫ (cos12x + cos 2x)dx =200π1⎛ 113⎞ 3 1⎛ 3 ⎞.= ⎜ sin12x + sin 2x ⎟ = ⎜⎜⎟=2 ⎝ 122⎠ 0 2 ⎝ 4 ⎟⎠ 8ππ⎛1⎞1⎛11⎞ππ πг) ∫ sin 2 3xdx= ∫ ⎜ − cos 6x ⎟ dx= ⎜ x − sin 6x ⎟ = + = π.12⎠⎝2⎠ −π 2 2−π−π ⎝ 2 231041. а) ∫ f (x) = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅−2312121 3⋅3−=−3.222212б) ∫ f (x) = 1 ⋅ − 2 ⋅ + 2 ⋅ = − 1 + 2 =−2⎧⎪x 2⎪⎩6 − x1042.

а) f ( x ) = ⎨16−3 ≤ x ≤ 2x>2;3.262⎛x2 ⎞+ ⎜ 6x −⎟ =⎜2 ⎟⎠2−3−3−3 ⎝2882= + 9 + 36 − 18 − 12 + 2 = 17 + = 19 .3336262∫ f (x)dx = ∫ x dx + ∫ (6 − x)dx =⎧ 1⎪б) f ( x ) = ⎨ x⎪x 3⎩211414∫ f (x)dx = ∫41043. а)∫0 < x ≤1x33;x >1211x4dx + ∫ x 3dx = 2 x 1 +4x1416 − x 2 dx =02= 2 −1+ 4 −11 2πr = 4π ; б)40∫1045. а)∫4 − x 2 dx = πr 2 ⋅04б)∫64 − x 2 dx = πr 2 ⋅−431046. а)0∫− x 2 − 2x dx =−16032+ 4 ⋅ 8 sin 60 o =π + 16 33603514∫ x − 1dx = 1⋅ 2 + 4 ⋅ 2 = 8,5 .01047. а) y = 2cos3x − 3sin 2x + 6, y = 0, x = 0, x =π61 2 ππr = .44452 π+ 2⋅= +1;3602223x dx = 2 ⋅ + 3 ⋅ = 6,5 ; б)22−2∫1 2 25π.πr =4425 − x 2 dx =−54111044. а) ∫ 4x − x 2 dx= πr 2 = ⋅ 4π=2π ; б)220213=4 .44π;6π3⎛2⎞6∫ (2cos3x − 3sin 2x + 6)dx = ⎜ sin 3x + cos 2x + 6x ⎟ =2⎝3⎠002 3 1 31= + − − +π= π− .3 2 2 212π5πб) y = 2sin 4x + 3cos 2x + 7, y = 0, x = , x = ;445π45π443⎛ 1⎞ 4S = ∫ (2sin 4x + 3cos 2x + 7)dx = ⎜ − cos 4x + sin 2x + 7x ⎟ =22⎝⎠ππ17= 2+3 7π3 35π+−2− −= 7π .2 4241048.

а) y = x 3 , y = 10-x, x = 0; x 3 = 10 − x ; x = 2 ;2200S = ∫ (10 − x)dx − ∫ x 3dx =10x −x222−0x442= 20 − 2 − 4 = 14.021002б) y = x 3 , y = 10-x, y = 0; S = ∫ x 3 dx + ∫ (10 − x )dx = 4 + 32 = 36.3в) y = − x , y = 5 + 4x, x = 0;0000−10−1−1S = ∫ (5x + 4x)dx − ∫ (− x 3 )dx = ∫ (5 + 4x)dx + ∫ x 3dx =−1= (5 x + 2 x 2 )0−1+4x4= 5−2−−113=244г) y = –x , y = 5 + 4x, y=0; − x 3 = 5 + 4 x ; x = −1 ;3−1054−13∫ (5 + 4x)dx + ∫ − x dx−= −5 + 2 +1049. а)−1=5x + 2x 2 5−4x4−40=−125 25 127 3−+ = −3 += .48 48 8y = x , y = - x + 2.

Полученная фигура будет квадратом со2 , его площадь равна 2, S = 2.б) y = x + 1 , y = -(x-1)2 + 2; x + 1 = -(x - 1) 2 + 2 ; x + 1 = ± (x - 1) 2 m 2 ;сторонойx = 0, x = 1;1211⎞1 11⎛ 1⎞⎛ xS= ∫ -(x − 1) 2 +2 dx- ∫ x + 1 dx= ⎜ - (x-1)3 +2x ⎟ ⎜ +x ⎟ =2 − − − 1= .⎜⎟326⎝ 3⎠⎝ 200⎠()0x2в) y = x -2, y = ; x - 2 =xx4; x = ± m 2 ; x = 4, x = − ;32204xx2S = ∫ dx − ∫ (− x − 2)dx − ∫ (x − 2)dx =442404−3−34 8 841= 4− − + −8+8 = 4+ = 5 .9 9 3331804−434⎛ x2⎞⎛ x2⎞+⎜+ 2x ⎟ − ⎜− 2x ⎟ =⎜ 2⎟ 4 ⎜ 2⎟⎝⎠−⎝⎠03г) y = (x-1)2 , y = - x + 1 + 2; x + 1 = 2 - (x - 1) 2 ; x + 1 = ±2 m (x - 1) 2 ;x = 0, x = 1;1111⎛ x2⎞11 1 1S = ∫ ( − x + 1 + 2 )dx − ∫ (x − 1)2dx = ⎜ −+ x ⎟ − (x − 1)3 = − = .⎜ 2⎟32 3 6000⎝⎠01050.

а) y = 3 − x 2 , y = 1 + x ; 3 − x 2 = 1 + x ; x = ±1 ;11⎛1⎛ x 2 ⎞ ⎞⎟⎛1⎞ ⎜⎛x3 ⎞⎛8 3⎞ 72S=2 ⋅ ⎜ ∫ (3 − x )dx − ∫ (1+ x )dx ⎟ =2 ⎜ 3x − ⎟ − ⎜ x+ ⎟ =2 ⋅ ⎜ − ⎟ = .⎜⎜ ⎜⎟⎟⎜⎟3 ⎠2 ⎠ ⎟⎝3 2⎠ 30⎝0⎠0 ⎝0⎠⎝⎝б) y = x 2 , y = 2 − x ; x 2 = 2 − x ; x = ±1 ;11⎛⎛1⎞x 2 x3 ⎞1 1⎞ 7⎛S = 2 ⋅ ⎜ ∫ (2− | x |)dx − ∫ x 2dx ⎟ = 2 ⎜ 3x −− ⎟ = 2⋅⎜2 − − ⎟ = .⎜⎟232 3⎠ 3⎝0⎝0⎠⎝⎠01051. а) y = sin 2x, y =π416x 2π2; sin 2 x =π4 16x 216x 2π2; x=π4x=0;ππ314 16 ⎛ x ⎞ 4S = ∫ sin 2xdx − ∫ 2 dx = − сos2x − 2 ⎜ ⎟ =2π ⎜⎝ 3 ⎟⎠00 π00=1 16 π 31 π 6−π− 2⋅= − =.2 π 64 ⋅ 3 2 1212б) y = x 2 − 1, y = cosπxπx2; x = ±1 ;; x − 1 = cos221111⎛ x3⎞ππ2S = ∫ cos xdx − ∫ (x 2 − 1)dx = sin x − ⎜ − x ⎟ =⎟π22 −1 ⎜⎝ 3−1−1⎠ −1=2 2 2 2 4 4+ + + = + .π π 3 3 π 322⎛ 2x ⎞π⎛ 2x ⎞− 1⎟ ; x = , x = 0 ;в) y = cos x, y = ⎜ − 1⎟ ; cos x = ⎜2⎝ π⎠⎝ π⎠π2π2 ⎛ 2x2πππ ⎛ 2x ⎞ 2π⎞S = ∫ cos xdx − ∫ ⎜− 1⎟ dx = sin x 02 −− 1⎟ = 1 − .⎜π3⋅2π6⎠⎝⎠000⎝г) y = x 2 − 2x, y = sinπxπx; x 2 − 2x = sin ; x = 0, x = 2;221922 ⎛ 32⎞π2πxS = ∫ sin xdx − ∫ (x 2 − 2x)dx = − cos x − ⎜ − x 2 ⎟ =⎜⎟2π2 0 ⎝ 300⎠204 42 2 8= + − +4= + .π π 3π 32222⎛⎛ x2⎞x3 ⎞− 2x ⎟ =1052.

а) S = ∫ (2x − x 2 )dx − ∫ (x − 2)dx = ⎜ x 2 − ⎟ − ⎜⎜⎟⎜⎟3 ⎠2−1−1⎝⎠ −1−1 ⎝8111= 4 − − 1 − − 2 + 4 + + 2 = 7 − 3 + = 4,5.332222⎛⎛ x31 ⎞⎛5⎞x2 ⎞5 ⎞⎛б) S = ∫ (1 − x)dx − ∫ ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ dx = ⎜⎜ x − ⎟⎟ − ⎜⎜ − x 2 − x ⎟⎟ =22234 ⎠⎠⎝⎠−1−1 ⎝⎝⎠ −1 ⎝−122= 2 − 2 +1+1 85 155− + 4 + − − 1 + = 7 − 3 + = 5, 25 (в ответе задачника2 32 344опечатка).x∫11053.

а)dttx=x;б)042 tx144x = x + 2x + 1 ;x 2 − 2x + 1 = 0 ;x =1.x∫52t − 12t − 1x5= x − 11 ;= x − 11 ;2x − 1 − 3 = x − 11 ;2x − 1 = x − 8⎧⎪2 x − 1 = x 2 − 16 x + 64;⎨⎪⎩x ≥ 8⎧⎪x 2 − 18x + 65 = 0;⎨⎪⎩x ≥ 8202t + 4x0= 2;=2;2x + 4 = 4 ;x=6.xdtdt2t + 4= x ; 2 x −1 = x ;2в)∫г)∫2dtt+22 t+2x2=2=22 x+2 =6x=7x = 9 + 4 = 13 ;x = 9 − 4 = 5 — не подходит;x = 13 .x∫1054. а)xx x⎛ 1 1x ⎛11x⎞⎞; ∫ ⎜ + cos 2t ⎟ dt = ; ⎜ t + sin 2t ⎟ = ;2 ⎝242 0⎝ 2 2⎠⎠0 2cos 2 tdt =0πn11x.x + sin 2x = ; x =2422x∫б)xx∫πcos 2tdt + sin 2tdt = 0 ;011sin 2t − cos 2t2204sin 2x − cos 2x = 0 ; tg 2 x = 1 ; x =xxπ4=0;π πn+.8 2xx⎛ 1⎞в) 2 sin tdt = x ; (1 − cos 2 t )dt = x ; ⎜ t − sin 2t ⎟ = x ;⎝ 2⎠000∫x−∫2πn1sin 2 x = x ; x =.22x∫ (2 cos 2t + 6 cos 6t )dt = 0 ; (sin 2t + sin 6t ) 0 = 0 ; sin 2x + sin 6x = 0 ;г)x0sin 4 x cos 2 x = 0 ; sin 4x = 0 ; x =x=πn.4x1 t21055.

а) ∫ tdt < ;2 20∫ (3txб)2x<0)(–+01; x 2 < 1 ; x ∈ (− 1;1) .2− 8t + 3 dt > 0 ; t 3 − 4t 2 + 3t0xπnπ πn; cos 2 x = 0 ; x = +;44 2–11 t4в) ∫ t dt < ;4 40+3хx3<0)x0>0;x 3 − 4 x 2 + 3x > 0 ;x ( x − 1)( x − 3) > 0 ;x ∈ (0;1) ∪ (3;+∞) .1; x 4 < 1 ; x ∈ (− 1;1) .421∫ (2t + 5)dt > 6 ; (txг)2+ 5t)0x0> 6 ; x 2 + 5x − 6 > 0 ; ( x − 1)(x + 6) > 0 ;x ∈ (−∞;−6) ∪ (1;+∞) .x1056.

а)11x11∫ sin tdt < 2 ; − cos t 0 < 2 ; − cos x + 1 < 2 ; cos x > 2 ;0π⎛ π⎞x ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ .3⎝ 3⎠xб)1∫ cos 2tdt >2 2π2;1sin 2t2xπ2>12 2; sin 2x >2;23π3π⎛π⎞⎛π⎞2x ∈ ⎜ + 2πn;+ 2πn ⎟ ; x ∈ ⎜ + πn;+ πn ⎟ .48⎝4⎠⎝8⎠xв) ∫ cos tdt <0333x; sin t 0 <; sin x <;222π⎛ 4π⎞x ∈⎜−+ 2πn; + 2πn ⎟ .33⎝⎠xг) ∫ sinπxttx3x3dt > 3 ; − 2 cos> 3 ; − cos >; cos < −;22π22227π⎛ 5π⎞x ∈⎜+ 4πn;+ 4πn ⎟ .33⎝⎠1057.

а) Вершина параболы y = 2 x − x 2 , x в = −2= 1 ⇒ касательной−2в этой точке будет прямая у = 1.1(S = 1 ⋅ 1 − ∫ 2x − x02)1⎛x3 ⎞1 1dx =1 − ⎜ x 2 − ⎟ = 1 − 1 + = .⎜⎟33 3⎝⎠0б) Аналогично предыдущей задачеy = 2 x 2 − 6 x , у = 4,5 —касательная в точке х = 1,5.323⎛ x 3 3х 2 ⎞ 2 27 9 27 927S = 4,5 ⋅ 1,5 + 2 ∫ x 2 − 3x dx = + 2 ⎜ −+ −= .⎟ =⎜ 342 ⎟⎠4 4 4 40⎝022()у = 3х − 21058. а)у = х 3 , х = 0,у(1) = 1; у' = 3х 2 ; у'(1) = 3;касательнаякграфикуу=х3вточкех=1100S = ∫ x 3dx − ∫ (3x − 2)dx =x441—1;1⎛ 3x 2⎞1 33−⎜− 2x ⎟ = − + 2 = .⎜ 2⎟424⎠00 ⎝б) у = х 3 ; y '(x) = 3x 2 ; у '(0) = 0; y(0) = 0; у'(1) = 3; y(1) = 1;y = 0, у = 3х − 2 — касательная к графику у = х3 в точках х = 0 и х =1;23x4S = ∫ x dx − ∫ (3x − 2)dx =400131059.

а) y = 3 −12⎛ 3x 2⎞3 1−⎜− 2x ⎟ = .⎜ 2⎟⎠ 0 120 ⎝1 2x ;2111y = 3 − x 02 − x 0 ( x − x 0 ) = − x 0 x − x 02 + x 02 + 3 = − x 0 x + x 02 + 3.222y' = − x 0 = −1 , y' = − x 0 = 1 ; x 0 = 1 , x 0 = −1 ;17y = − x + + 3 = − x + , — искомые касательные;221 277y = x + ; 3 − x = − x + ; x 2 − 2x + 1 = 0; x = 1;222111⎛⎛ x2 7 ⎞⎛⎛1⎛7⎞1 ⎞ ⎞x3 ⎞S = 2 ⎜ ∫ ⎜ − x + ⎟ dx − ∫ ⎜ 3 − x 2 ⎟ dx ⎟ = 2 ⎜ −+ x ⎟ − 2 ⎜ 3x − ⎟ =⎜⎟⎜2⎠2 ⎠ ⎠6 ⎠⎟0⎝⎝ 0⎝⎝ 2 2 ⎠0⎝01 1= .3 3151515б) y = x 2 + ; y = x 02 + + x 0 ( x − x 0 ) = xx 0 + x 02 + ;222222y '=x 0 =1 ; y '=x 0 = − 1 ; y=x+2 ; y = − x + 2 — искомые касательные;15x + 2 = x2 + ; x = 1 ;22= −1 + 7 − 6 +111⎛ x3 5 ⎞⎛ x2⎞⎛1⎛ 1⎞5⎞S = 2 ⎜ ∫ ⎜ x 2 + ⎟ dx − ∫ ( x + 2 ) dx ⎟ = 2 ⎜+ x ⎟ − 2⎜+ 2x ⎟ =⎜⎟⎜⎟22622⎠0⎝ 0⎝⎠⎝⎠0⎝⎠0=11+ 5 −1− 4 = .331060.

а) у =х 20 3х2 33х 02; у=+ х 0 3 ( х − х 0 ) = 3х 0 х −;222231) y ' = 3x 0 = 3, y' = 3x 0 = − 3;x 0 = 1, x 0 = −1;y = 3x −2)33, y = − 3x −− уравнение искомых касательных;22y ' = 3x 0 = − tg30o ; y ' = 3x 0 = tg30o ;11x0 = − ; x0 = ;33y=−3333x−, y=x−− уравнение искомых касательных;3183181⎛⎛1⎛3 ⎞⎟3 ⎞⎟ ⎞⎟dx − ∫ ⎜ 3x −dx =1) S = 2⎜ ∫ ⎜ x 2⎜⎜ ⎜2 ⎟⎠2 ⎟⎠ ⎟⎠0⎝⎝0⎝11⎛ x3 3 ⎞⎛ 3x 23 ⎞33= 2⎜−x⎟ =− 3+ 3=;⎟ − 2⎜⎜ 6 ⎟⎜ 2⎟2 ⎠33⎝⎠0⎝0111⎛1⎞3⎛ 3⎛ 3x 2⎜ 3⎛ 2 3 ⎞3 ⎞ ⎟ ⎛ x3 3 ⎞ 33 ⎞32) S=2 ⎜ ∫ ⎜⎜ x−x−x⎟ =⎟ − 2⎜⎟ dx − ∫ ⎜⎜⎟ dx ⎟ =2 ⎜⎜ 62 ⎟⎠18 ⎟⎠ ⎟ ⎜⎝ 6 ⎟⎠18 ⎟⎠0⎝ 3⎝⎜⎜ 0 ⎝⎟00⎝⎠=3333.−+=27 27 27 27б) у = −х22 3; у=х 202 3+х0хх2( х − х0 ) = − 0 х + 0 ;333x0x33=−, y' = − 0 =;3333x1x1x 0 = 1, x 0 = −1; y =+, y=−+− искомые касательные;3 2 33 2 3xx2) y ' = − 0 = 3, y ' = − 0 = − 3;331) y ' = −x 0 = −3, x 0 = 3; y = − 3x +⎛1⎛1) S = 2 ⎜ ∫ ⎜ −⎜⎝ 0⎝243 33 3, y = 3x +− искомыекасательные;2211 x2⎞ ⎛ x2x1 ⎞x ⎞x3++dx ⎟ = ⎜ −⎟ +⎟ dx + ∫⎟ ⎜3 2 3⎠33 ⎟⎠3 302 3⎠ ⎝01=01;3 3⎛ 3⎛⎜0⎝ ⎝2) S = 2 ⎜ ∫ ⎜⎜ − 3x +3 x2⎞3 3⎞dx ⎟ = − 3x + 3 3x⎟⎟ dx + ∫⎟2 ⎠02 3⎠(3 3) 0 + 3x 33= 3 3.01061.

а) у = х 3 − 6 х 2 + 9 х + 1 ; y' = 3x 2 − 12 x + 9 ;y(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1 ; y' (3) = 27 − 36 + 9 = 0 ;y = 1 — касательная к графику данной функции в точке х = 3;х 3 − 6 х 2 + 9 х + 1 = 1 ; х ( х 2 − 6 х + 9) = 0 ; х = 0, х = 3;3⎛ x4⎞9x 2− 2x 3 ++ x⎟ −3 =S = ∫ x − 6x + 9x + 1 dx − 3 ⋅ 1 = ⎜⎜⎟20⎝ 4⎠03=(3)2818127− 54 + + 3 − 3 = .424б) у = х 3 − 3х ; y(−1) = −1 + 3 = 2 ; y' = 3x 2 − 3 ; y' (−1) = 0 ;y = 2 — касательная к графику данной функции в точке х = –1;х 3 − 3х = 2 ; х = −1, х = 2;22⎛ x 4 3x 2 ⎞−S = 3 ⋅ 2 − ∫ x 3 − 3x dx =6 − ⎜⎟ = 6,75.⎜ 42 ⎟⎠−1⎝−1(1062. а) у =а1) S = ∫112) S = ∫a)1х2, у = 0, х = 1, х = а;a1177 1 117dx = ; −= ; − +1 = ; = ; a = 8 .28ax88 a 8х1171dx = ; −28xx1=a71 7 1 158; −1+ = ; =; a=.8a 8 a 8158, a = 8.Ответ: a =15б) у =1) S =2) S =1х2, у = 0, х = −1, х = а;аa−1−11101∫ х 2 dx = 11 ; − x−1110∫ x 2 dx = 11 ;a−1x=10110 12111; − −1 =; =− ; a=− .112111a11 a=101 10; 1+ =; a = −11 .11a 11−1a25Ответ: a = −11 , a = −11.21Глава 6.