Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление

В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление, страница 5

Описание файла

Файл "В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление" внутри архива находится в папке "В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление". PDF-файл из архива "В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление", который расположен в категории "лекции и семинары". Всё это находится в предмете "вариационное исчисление и операционное управление" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 5 страницы из PDF

‘®£« á­® ¯à¨­æ¨¯ã ¬ ªá¨¬ã¬  DZ®­âà­  ­ ©¤¥âáïªãá®ç­®-­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ïA(t)h_ (t), t ≤ τ ;p(·) =t ≥ τ.0,DZ®áª®«ìªã h_ (τ + 0) = 0, â® ¨§ ­¥¯à¥à뢭®á⨠p(·) ¯®«ãç ¥¬ h_ (τ ) = 0; ­®h(τ ) = 0 ¯® ¯à¥¤¯®«®¥­¨î, §­ ç¨â, ¯® ⥮६¥ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ h(t) ≡ 0, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î h_ (0) = bh_ (0) = 1.„®¯ã饭¨¥ ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ᮯà省­®© â®çª¨ ¯à¨¢¥«® ª ¯à®â¨¢®à¥⊓⊔ç¨î.2.3.’¥®à¨ï ¯®«ï ¢ ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥ ¨ ãà ¢­¥­¨¥ƒ ¬¨«ìâ®­ -Ÿª®¡¨.‡¤¥áì ¬ë ¢ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ { ¯p®á⥩襩 § ¤ ç¨ ¢ à¨ æ¨®­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï { ®¡á㤠¥¬ ¥éñ ®¤¨­ ¢ ­ë© ¯à¨­æ¨¯ ⥮ਨ íªáâ६㬠 |¯à¨­æ¨¯ £«®¡ «ì­®£® á­ïâ¨ï ®£à ­¨ç¥­¨©, ¯®áâ஥­­ë© ­  ®á­®¢¥ ¢®§¬ã饭¨ï íªáâ६ «ì­ëå § ¤ ç. O­ ¯p¨¢®¤¨â ª ¯®áâ஥­¨î ¯®«¥© íªáâ६ «¥©.b(t) ∈ C 2 ([t0 ; t1 ℄)‹¥¬¬  (® ¯®«¥ íªáâ६ «¥©).

DZãáâì ¢ § ¤ ç¥ (P2 ) x3ï¥âáï íªáâ६ «ìî,   ¨­â¥£à ­â L ¯à¨­ ¤«¥¨â ª« ááã C (V ),£¤¥V| ­¥ª®â®à ï ®ªà¥áâ­®áâì ¬­®¥á⢠bx(·)= {(t, xb(t), xb(t)), t ∈ [t0 ; t1 ℄}.26DZãáâì â ª¥ ¢ë¯®«­¥­ë ãᨫ¥­­ë¥ ãá«®¢¨ ‹¥ ­¤à  ¨ Ÿª®¡¨ (â. ¥.b x_ x_ (t) > 0 ­  [t0 ; t1 ℄) ¨ ­  (t0 ; t1 ℄ ­¥â â®ç¥ª, ᮯà省­ëå á t0 ). ’®Lb(·) ¬®­® ®ªàã¨âì ¯®«¥¬ íªáâ६ «¥©, â® ¥áâì áãé¥áâ¢ãî⣤  xᥬ¥©á⢮ íªáâ६ «¥© {x(·, λ)}|λ|≤δ ¨ ®ªà¥áâ­®áâì U £à ä¨ª Gbx(·)= {(t, xb(t), t ∈ [t0 ; t1 ℄}(τ, ξ ) ¨§ Ux(τ, λ) = ξ .â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨λ(τ, ξ ), |λ| ≤ δ,â ª®¥ ç⮄®ª § â¥«ìá⢮.­ ©¤¥âáï ¥¤¨­á⢥­­®¥=λ á¯¨è¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ©«¥à −dLx_ + Lxdt=0¢ à §¢¥à­ã⮩ ä®à¬¥:Lx_ x_ (t, x, x_ )x + Lxx_ (t, x, x_ )x_ + Lxt_ (t, x, x_ ) − Lx (t, x, x_ ) = 0.(i)‚ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠Lx_ x_ ¨ ãᨫ¥­­®£® ãá«®¢¨ï ‹¥ ­¤à  ­ ©¤¥âáïâ ª ï ®ªà¥áâ­®áâì U1 ∈ IR3 , çâ® ∀(t, x, x_ ) ∈ U1 Lx_ x_ (t, x, x_ ) > 0, ¨ §­ ç¨â, ¢U1 ãà ¢­¥­¨¥ ©«¥à  à ¢­®á¨«ì­® á¨á⥬¥, à §à¥è¥­­®© ®â­®á¨â¥«ì­®¯à®¨§¢®¤­ëå:x_ = y, y_ = (t, x, y ),£¤¥ ¢ ᨫã (i)(t, x, y) = L−x_ x_1 (t, x, y)(Lx (t, x, y) − Lyt (t, x, y) − Lxy (t, x, y)y ).‚ ᨫã ⥮६ ¨§ ªãàá  ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© (® áãé¥á⢮¢ ­¨¨, ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨, ® ¯à®¤®«¥­¨¨ à¥è¥­¨ï, ® ­¥¯à¥à뢭®© § ¢¨á¨¬®á⨠®â ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©) áãé¥áâ¢ãîâ ε > 0 ¨ δ > 0 â ª¨¥, çâ®: ) à¥è¥­¨¥ xb(·) ¯à®¤®« ¥âáï ­  ®â१®ª [t0 − ε; t1 + ε℄;¡) à¥è¥­¨¥ x(·, λ) § ¤ ç¨ Š®è¨x_ = yy_= (t, x, y)nb(t0 − ε), y (t0 − ε) = xb_ (t0 − ε) + λx(t0 − ε) = x£¤¥ |λ| < δ, áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­á⢥­­® ­  [t0 − ε; t1 + ε℄;¢) äã­ªæ¨ï (t, λ) 7→ x(t, λ) ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬  ¨(t,λ) = hb (t), £¤¥ bh(·) | à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ¢ ¢ à¨ æ¨ïå£) ∂x∂λ272.

“‘‹Ž‚ˆŸ ‚’ŽŽƒŽ DZŽŸ„Š€x_ = y,y_= b x (t)y⇐⇒ −d(A(t)x_ ) + B (t)x = 0,dth(t0 − ε) = 0, h_ (t0 − ε) = 1.(ii)‚ ᨫã â¥®à¥¬ë ® ­¥¯à¥à뢭®© § ¢¨á¨¬®á⨠à¥è¥­¨ï ®â ­ ç «ì­ëåãá«®¢¨© ¨ ãᨫ¥­­®£® ãá«®¢¨ï Ÿª®¡¨ ε > 0 ¬®­® ¢§ïâì áâ®«ì ¬ «ë¬,çâ® hb (t) 6= 0 ¯à¨ ¢á¥å t ∈ [t0 ; t1 ℄. DZਬ¥­ïï ⥮६㠮¡ ®¡à â­®© ä㭪樨 ª ®â®¡à ¥­¨î (t, λ) = (t, x(t, λ)) ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥ θ ∈ [t0 ; t1 ℄¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì: ′ (θ, 0) = x_ (θ,1 0) x (0θ, 0) = xb_ (1θ) hb (0θ) 6= 0.λ‡­ ç¨â, áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ (θ, 0) â ª ï, çâ® ¤«ï «î¡ëå (τ, ξ )¢ í⮩ ®ªà¥áâ­®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ λ = λ(τ, ξ ) â ª®¥, çâ®(τ, λ(τ, ξ )) = (τ, ξ ) ⇐⇒ x(τ, λ(τ, ξ )) = ξ.‚롨à ï ¨§ ¯®«ã祭­®£® ®âªàë⮣® ¯®ªàëâ¨ï £à ä¨ª  Gx_ (·) ª®­¥ç­®¥¯®¤¯®ªàë⨥, ¯à¨å®¤¨¬ ª § ª«î祭¨î ⥮६ë.’¥®à¥¬  2b (ãà ¢­¥­¨¥ ƒ ¬¨«ìâ®­  { Ÿª®¡¨).

DZãáâì ¢ ãá«®¢¨ïå «¥¬¬ë ® ¯®«¥ íªáâ६ «¥© {x(·, λ)}|λ|<δ | ¯®«¥ íªáâ६ «¥©, ¨ ¯®ªà뢠î饥 ®¡« áâìU, S (τ, ξ ) =’®£¤  äã­ªæ¨ïSZτt0 −壤¥∂S (τ, ξ )+ H τ, ξ,∂ξ=0(ii)H(τ, ξ, p) = −L(τ, ξ, x_ (τ, λ(τ, ξ ))) + p · u(τ, ξ ))),u(τ, ξ ) = x_ (τ, λ(τ, ξ ))„®ª § â¥«ìá⢮.ç ¥¬∂S (τ, ξ )∂τ(i)㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î∂S (τ, ξ )∂τ£¤¥L(t, x(t, λ(τ, ξ )), x_ (t, λ(τ, ξ )))dt.äã­ªæ¨î ­ ª«®­  ¯®«ï{x(·, λ)}.„¨ää¥à¥­æ¨àãï ¨­â¥£à « (i) ¯® ¯ à ¬¥âàã τ , ¯®«ã-=L (τ, ξ, u(τ, ξ )) +Zτt0 −εLx (t, x(t, λ(τ, ξ )), u(τ, ξ )) · xλ (t, λ(τ, ξ ))λτ (τ, ξ )+Lx_ (t, x(t, λ(τ, ξ )), u(τ, ξ )) · xλ (t, λ(τ, ξ ))λτ (τ, ξ ) dt28ˆ­â¥£à¨àãï ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¨­â¥£à «¥ ¯® ç áâï¬ á ãç¥â®¬ (iii) ¨¨á¯®«ì§ãï â®, çâ® x(·, λ) ¥áâì íªáâ६ «ì, ¨¬¥¥¬ ¤ «¥¥∂S (τ, ξ )τ=τL (τ, ξ, u(τ, ξ ))+ Lx_ (t, x(t, λ(τ, ξ )), u(τ, ξ )) ·xλ (t, λ(τ, ξ ))λτ (τ, ξ ) t0 −ε(iv)DZ®áª®«ìªã ¯® ãá«®¢¨î x(t0 − ε, λ) ≡ xb(t0 − ε), â® xλ (t0 − ε, λ(τ, ξ )) = 0;¯à®¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ¢ ãà ¢­¥­¨¥ x(τ, λ(τ, ξ )) = ξ ¯® τ , ¯®«ãç ¥¬u(τ, ξ ) = x_ (τ, λ(τ, ξ )) + xλ (τ, λ(τ, ξ ))λτ (τ, ξ ) = 0.(v)DZ®¤áâ ¢«ïï (v) ¢ (iv) ¨ ãç¨â뢠ï, çâ® x(τ, λ(τ, ξ )) = ξ , ¯®«ãç ¥¬∂S (τ, ξ )τ= L(τ, ξ, u(τ, ξ )) − Lx_ (τ, ξ, u(τ, ξ ))u(τ, ξ ).€­ «®£¨ç­® (¯à®¤¥« ©â¥ íâ® á ¬¨) ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ®∂S (τ, ξ )∂ξ= Lx_ (τ, ξ, u(τ, ξ ));®âá ¨ ¨§ ¢ëà ¥­¨ï ¤«ï H ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥.2.4.⊓⊔„®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪  ¢ ¯à®á⥩襩§ ¤ ç¥.2 (¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ᨫ쭮£® ¬¨­¨¬ã¬ ).

DZãáâì ¢ § ¤ (P2 ) ¨­â¥£à ­â âà¨¤ë ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¨ ª¢ §¨à¥£ã2«ï७ ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠£à ä¨ª bx(·) ¤¢ ¤ë ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨b(·). ’®£¤  ¥á«¨ ­  í⮩ íªáâ६ «¨ ¢ë¯®«­¥­ëà㥬®© íªáâ६ «¨ x’¥®à¥¬ ç¥ãᨫ¥­­ë¥ ãá«®¢¨ï ‹¥ ­¤à  ¨ Ÿª®¡¨, â® íâ  íªáâ६ «ì ¤®áâ ¢«ï¥â ᨫì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ § ¤ ç¥(P2 ).„®ª § â¥«ìá⢮.

„¥©á⢨⥫쭮,¨âì íªáâ६ «ì xb(·) 業âà «ì­ë¬ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë ¯®§¢®«ïîâ ®ªà㯮«¥¬ íªáâ६ «¥© x(·, λ), ¯®ªà뢠î騬 ­¥ª®â®àãî ®¤­®á¢ï§­ãî ®ªà¥áâ­®áâì £à ä¨ª  {(t, xb(t)) | t ∈2 â®¢ë¯ãª« ®§­ ç ¥â, çâ® ¢ «î¡®© â®çª¥ (t, x) ¢¡«¨§¨ (t, xb(t)) äã­ªæ¨ï x_→ L(t, x, x_ )292. “‘‹Ž‚ˆŸ ‚’ŽŽƒŽ DZŽŸ„Š€[t0 , t1 ℄}. DZãáâì x(·) ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¤®¯ãá⨬ ï (ªãá®ç­® ­¥¯à¥à뢭®¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï) äã­ªæ¨ï, £à ä¨ª ª®â®à®© «¥¨â ¢ í⮩ ®ªà¥áâ­®áâ¨. ’®£¤ S (t1 , x1 ) − S (t0 , x0 ) =Zt1t0dS (t, x(t)) =b x_ (t)xb_ (t))dt +LZt1t0t1Zb(t)) =dS (t, xt0b x_ (t)dxb(t)L=Zt1t0Zt1t0(Lb (t)−b (t)dt = J (xb(·)).LŽâá ¢ë⥪ ¥â ®á­®¢­ ï ä®à¬ã«  ‚¥©¥àèâà áá :b(·)) =J (x(·)) − J (xZt1t0Zt1t0L(t, x(t), x_ (t))dt −Zt1t0dS (t, x(t)) =(L(t, x(t), x_ (t)) − L(t, x(t), u(t, x(t)))−Lx_ (t, x(t), u(t, x(t)))(x_ (t) − u(t, x(t)))dt =Zt1t0E (t, x(t), u(t, x(t)), x_ (t))dt.ˆ§ ãá«®¢¨ï ® ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®á⨠⥮६ë á«¥¤ã¥â ­¥®âà¨æ â¥«ì­®áâì ä㭪樨 ‚¥©¥àèâà áá  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠£à ä¨ª  {(t, xb(t)) | t ∈[t0 , t1 ℄}, §­ ç¨â, ¢ í⮩ ®ªà¥áâ­®á⨠J (x(·)) ≥ J (xb(·)), â.

e. xb(·) ¤®áâ ¢«ï¥â § ¤ ç¥ (P1 0) ᨫì­ë© ¬¨­¨¬ã¬.⊓⊔2.5.¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪  ¢ £« ¤ª®©§ ¤ ç¥ á à ¢¥­á⢠¬¨.DZãáâì fi : IRn → IR, 0 ≤ i ≤ m.  áᬮâਬ § ¤ çã, ª®â®àãî à áᬠâਢ «¨ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯ à £à ä¥:f0 (x) → min,fi (x) = 0,1 ≤ i ≤ m.(P3 )Žâ®¡p ¥­¨¥ ¨§ IRn ¢ IRm , § ¤ ¢ ¥¬®¥ p ¢¥­á⢠¬¨, ®¡®§­ ç¨¬ ç¥p¥§ F .Ž¡®§­ ç¨¬ F ′ (xb) = A, L = KerA.

DZ®¤¯à®áâà ­á⢮ L § ¤ ñâ ᮢ®ªã¯­®áâì ¤®¯ãá⨬ëå ¢ à¨ æ¨©. ‚ ⥮p¥¬¥ 3  (¯à¨­æ¨¯¥ ‹ £à ­ ¤«ï § ¤ ç á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ⨯  à ¢¥­áâ¢) ¡ë«® ¤®ª § ­®, çâ® ¥á«¨¢ § ¤ ç¥ (P3 ) ¢ë¯®«­¥­ë ­¥ª®â®àë¥ ãá«®¢¨ï £« ¤ª®áâ¨, â® ­ ©¤ñâáï­ ¡®à ¬­®¨â¥¥© ‹ £à ­  λ = (λ0 , λ1 , . . . , λm ), ­¥ à ¢­ë©­ã«î â P′ b) = 0.ª®©, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ áâ æ¨®­ à­®á⨠L(xb, λ) = mλfi=0 i i (xDZà¨í⮬, ¥á«¨ ¯p¥¤¯®«®¨âì, çâ® F ′ (xb) áîpꥪ⨢­ë© ®¯¥p â®p, â®Pmi=1 λi 6= 0.30’¥®à¥¬  3′ ) (­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¬¨­¨¬ã¬  ¢â®à®£® ¯®à浪  ¢ § ¤ ç¥(P3 )). DZãáâì ¢ § ¤ ç¥ (P3 ) ä㭪樨 fi , 0 ≤ i ≤ m ¯à¨­ ¤«¥ â D2 (xb)¨ ®¯¥p â®p F ′ (xb) áîpꥪ⨢¥­.

’®£¤ , ¥á«¨ xb ¤®áâ ¢«ï¥â «®ª «ì­ë©¬¨­¨¬ã¬ § ¤ ç¥ (P3 ), â® ­ ©¤¥âáï ­ ¡®à ¬­®¨â¥«¥© ‹ £à ­  λ =(1, λ ), λ = (λ1 , . . . , λn ) â ª®©, çâ® ¢ë¯®«­ïîâáï á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:(i) Lx (xb, λ) = 0, (ii) xT Lxx(xb, λ)x ≥ 0∀x ∈ L.b) (¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¬¨­¨¬ã¬  ¢ § ¤ ç¥ (P3 )). DZãáâì ¢ ¯p¥¤¯®«®¥­¨ïå ⥮p¥¬ë 3 a) ¤«ï ­¥ª®â®à®£® λ = (1, λ ), λ = (λ1 , . . .

, λm )¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ áâ æ¨®­ à­®á⨠(i) ¨ ¯à¨ í⮬b, λ)x > 0xT Lxx (x∀x ∈ L \ {0},’®£¤  xb ¤®áâ ¢«ï¥â «®ª «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ § ¤ ç¥ (P3 ).a) “á«®¢¨¥ (i) á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 3. „®ª ¥¬ (ii).ˆ§ â¥®à¥¬ë à ãíà  ¬®­® ¢ë¢¥á⨠᫥¤ãî騩 १ã«ìâ â: ¤«ï «î¡®£®x ∈ L áãé¥áâ¢ã¥â ®â®¡à ¥­¨¥ α 7→ r (α), α ∈ (−ε, ε) â ª®¥, çâ®b + αx + r (α)) = 0. ˆ¬¥¥¬:F (x„®ª § â¥«ìá⢮. · F (xb + αx + r(α)) =b + αx + r (α)) = f0 (xb + αx + r (α)) + λf0 (xb, λ) + Lx (xb, λ) · (αx + r (α)) + (αx + r (α))T Lxx (xb, λ)(αx + r (α)) + o(α2 ) =L(xb)x + o(α2 ).xT Lxx (x‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, xT Lxx(xb)x + o(α2 ) ≥ 0.b) DZãáâì ¤«ï ¢á¥å x ∈ L ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ xT Lxx(xb, λ)x ≥b ∈αkçk2 ¡ ­® x/ strong lomin(P3 ). ’®£¤  ­ ©¤¥âáï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâìb + xn ) ≤ 0, fi (xb + xn ) ={xn }n∈IN suh that xn 6= 0 ∀n, limn→∞ xn = 0, f0 (x0, 1 ≤ i ≤ m.

Ž¡®§­ ç¨¢ εn = |xn | ¨ ¢ë¡à ¢ ¯®¤¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâìxnk, ¯®«ãç ¥¬, çâ® xnk = εnk (x + x~nk ), εnk → 0, |x~nk | → 0, |x| = 1.|xnk | → xε2’®£¤  L(xb + xnk ) = n2k xT L(xb, λ)x + o(ε2nk ) = f0 (xb + xk ) ≤ 0. DZà®â¨¢®à¥ç¨¥.⊓⊔“á«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪  ¤«ï £« ¤ª®© § ¤ ç¨ á ­¥à ¢¥­á⢠¬¨ ¤®ª §ë¢ îâáï á ¯®¬®éìî ­¥¡®«ìè¨å ¬®¤¨ä¨ª æ¨©.313. ‘“™…‘’‚Ž‚€ˆ… …˜…ˆ‰3.‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ à¥è¥­¨©Ÿ ã¡¥¤¥­, çâ® ¡ã¤¥â ¢®§¬®­® ¤®ª §ë¢ âì ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ­¨ï á ¯®¬®éìî ®¡é¥£® ¯à¨­æ¨¯ , çìï áãé­®áâì ­ ¢¥ï­  ¯à¨­æ¨¯®¬ „¨à¨å«¥. â®â ®¡é¨© ¯à¨­æ¨¯, ¢®§¬®­®¯à¨¡«¨§¨â ­ á ª ®â¢¥âã ­  á«¥¤ãî騩 ¢®¯à®á: ¨¬¥¥â «¨ à¥è¥­¨¥ ª ¤ ï ॣã«ïà­ ï ¢ à¨ æ¨®­­ ï ¯à®¡«¥¬ , ¥á«¨ á ¬®¬ã ¯®­ïâ¨î \à¥è¥­¨¥" ¯à¨ á«ãç ¥ ¯à¨¤ ¢ âì à áè¨à¥­­®¥â®«ª®¢ ­¨¥.„.

ƒ¨«ì¡¥à⒥¬ , à áᬠâਢ ¥¬ ï ¢ í⮬ äà £¬¥­â¥, ­¥¯®á।á⢥­­® á¢ï§ ­ á ¤¢ ¤æ â®© ¯à®¡«¥¬®© ƒ¨«ì¡¥àâ  | ®¤­®© ¨§ ¤¢ ¤æ â¨ âà¥å §­ ¬¥­¨âëå ¯à®¡«¥¬, ¯®áâ ¢«¥­­ëå ¢ ¥£® ¤®ª« ¤¥ ­  ¯ à¨áª®¬ Š®­£à¥áá¥1900 £®¤  | ¯à®¡«¥¬®© áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨© § ¤ ç ¢ à¨ æ¨®­­®£®¨áç¨á«¥­¨ï.

Свежие статьи
Популярно сейчас